Trong đại số tuyến tính, bài này chính là việc chứng minh tập $\{ \sin x, \sin 2x, \dots \sin nx \}$ là độc lập tuyến tính trong $\mathcal{C}([0,\pi], \mathbb{R})$.

 

Với $1 \leq i \leq n$, đặt $$g_i(x) = \left(\sum\limits_{j=1}^{n} a_j \sin jx\right) \sin ix$$ thế thì $g_i(x) = 0$ với mọi $x \in [0, \pi]$, do vậy $\int\limits_{0}^{\pi} g_i(x) dx = 0$. Nhưng $\int\limits_{0}^{\pi} g_i(x) dx = a_i\frac{\pi}{2}$, do vậy $a_i = 0$.

dạ, em cảm ơn ạ. em có chút thắc mắc chỗ $g_i(x) = \left(\sum\limits_{j=1}^{n} a_j \sin jx\right) \sin ix$ ý ạ. Tại sao lại có cái $sin ix$ ở ngoài ngoặc vậy ạ. Mong anh giải đáp.

À đúng là bị ngược bạn ạ, cảm ơn bạn đã lưu ý.

dạ vâng ạ. em cảm ơn anh ạ

em có 1 bài một góp vào, mong nhận được sự trợ giúp ạ. em cảm ơn ạ

Cho 2022 số thực $a_{1},a_{2}...,a_{2022}$. Chứng minh rằng nếu

$a_{1}sinx+a_{2}sin2x+...+a_{2022}sin2022x=0$

thì với mọi $x \in [0;\pi]$ thì $a_{1}=a_{2}=...=a_{2022}=0$

Vào lúc 06 Tháng 10 2023 - 15:03, Konstante đã nói:

Đấy chỉ là mẹo để khiến cho hàm $g_i(x)$ vẫn đồng nhất là $0$ trên đoạn $[0,\pi]$, nhưng tích phân cùa $g_i(x)$ trên đoạn đó lại liên quan đến duy nhất $a_i$. Do $$\int_{0}^{\pi} (\sin jx) (\sin ix) dx = \begin{cases}0 \ \text{khi} \ j = i \\ \frac{\pi}{2} \ \text{khi} \ j \neq i\end{cases}$$
Tại sao gọi nó là mẹo vì nó không liên quan mấy đến tính chất của các hàm $\sin jx$ (nó chỉ tận dụng tính chất tích phân của $(\sin jx)(\sin ix)$ trong đoạn $[0,\pi]$). Một kết luận mạnh hơn có thể chứng minh được nhờ vào Wronskian của các hàm này, khi đó ta có thể thay đoạn $[0,\pi]$ bằng một đoạn bất kỳ.

Dạ, nhưng mà cái chỗ $\int_{0}^{\pi} (\sin jx) (\sin ix) dx = \begin{cases}0 \ \text{khi} \ j = i \\ \frac{\pi}{2} \ \text{khi} \ j \neq i\end{cases}$ bị ngược hay sao ý ạ. Tại nãy em thử chứng minh thì tích phân này =0 khi i khác j và bằng pi/2 khi i=j ý ạ. Với cả anh có thể trình bày rõ ra mà không dùng cái dấu xích- ma được k ạ. Tại em không quen nhìn dấu này lắm. Em cảm ơn ạ.

5) Có ... (ký hiệu $2-2-2-2$)

    $n(M_5)=\frac{96.8}{2}=384$  ;  $n(\Omega _5)=C_8^2C_6^2C_4^2=2520$.

cho em hỏi chỗ này tại sao số cách lại là 96.8/2 vậy ạ?

 

4) Có ... (ký hiệu $3-2-2-1$)

    $n(M_4)=12.8.12=1152$  ;  $n(\Omega _4)=12C_8^3C_5^2C_3^2=20160$.

 

 

 

   
 

và cả chỗ này tại sao lại là 12.8.12 vậy ạ?? theo em tính thì là 12.8.18 mới đúng chứ ạ?

Cho ${n}$ là số nguyên dương và ${m}$ là số nguyên không âm, $m\leq n$. Chứng minh rằng:

$\sum_{n_{1}+n_{2}+n_{3}={m}}C_{n}^{n_{1}}C_{n}^{n_{2}}C_{n}^{n_{3}}=C_{3n}^{m}$

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x\geqslant y^{2}-4y+5 & \\ log_{x+1}(4y^{2}-12y+9)=\frac{x^{2}+2x+10}{y-9} & \\ y>\frac{3}{2}& \end{matrix}\right.$

Bài này nên đặt ở THPT

dạ vâng ạ, lần sau em sẽ rút kinh nghiệm. em xin lỗi ạ

Cho dãy số ${U}_{n}$ xác định bởi ${U}_{1} = \sqrt{5} ; {U}_{n+1} = {U}_{n}^{2} - 2$

Đặt ${S}_{n} = \frac{1}{U_{1}} + \frac{1}{{U_{1}}.{U}_{2}} + \ldots + \frac{1}{{U}_{1}.{U}_{2}\ldots {U}_{n}}$

Tính $\lim {S}_{n}$

Lần đầu em gõ latex nên có gì sai mong mọi người thông cảm ạ.

a) $\begin{vmatrix} x & 2 & 3 & ... & n\\ 1& x & 3 & ... & n\\ 1 & 2 & x &... & n\\ ... & ... & ... & ... & \\ 1 & 2 & 3 & ... & x \end{vmatrix}$

 

 

b)$\begin{vmatrix} x_{1} & a_{2} & a_{3} & ... & a_{n}\\ a_{1} & x_{2} & a_{3} & ... & a_{n}\\ a_{1} & a_{2} & x_{3} & ... & a_{n}\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & ... & x_{n} \end{vmatrix}$

Cho $A(-1;2),B(2;-1),C(-2;3),D(6;1)$ tìm điểm $M$ nằm trên đoạn thẳng $CD$ sao cho $MA+MB=5\sqrt{2}$

Cho dãy số {${u_{n}}$} xác định bởi $u_{1}=2022, u_{n+1}=\frac{u_{n}}{n.u^{2}_{n}+1}$. Chứng minh rằng dãy {$\frac{1}{n.u_{n}}$} có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left | 2z+2+i \right |^{2}=\left | z-\overline{z} \right |^{2}-\frac{5}{2}$ và số phức w có phần ảo bằng bình phương của phần thực. Giá trị nhỏ nhất của $\left | z-w \right |$ bằng bao nhiêu

Cho điểm $A(-2;1),B(1;-2)$ tìm tập hợp điểm M thỏa mãn: $2MA+3MB\leqslant 6\sqrt{2}$

Cho dãy số (U_n) được xác định bởi công thức truy hồi $U_{1}=1, U_{n+1}=U_{n}+\frac{1}{(n+2)\sqrt{n+1}}, n\geqslant 1$

chứng minh dãy số trên bị chặn

Cho Δ ABC. Lấy điểm M tùy ý trên cạnh BC. Lấy N tùy ý trên cạnh AM. Đường thẳng
DE // BC (D ∈ AB, E ∈ AC). Gọi P là giao điểm của DM và BN và Q là giao điểm của CN và EM.
Chứng minh rằng: PQ // BC.

Hình (H) là tập hợp số phức z thỏa mãn $2\left | z-1 \right |\leq \left | z+\bar{z}+2 \right |$ và khoảng cách từ điểm $M(z)$ thuộc (H) đến điểm $N(2;-5)$ ngắn nhất. Phần ảo của số phức $5z^{2}+5z+2023$ là bao nhiêu

Tập hợp biểu diễn các số phức $z=x+yi$ thoả mãn $x^{2}+2xy+y^{2}-12x+4y+52=0$ là một đường parabol có tung độ đỉnh bằng bao nhiêu?

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x\geq y^{2}-4y+5 & \\ log_{x+1}(4y^{2}-12y+9)=\frac{x^{2}+2x+10}{y-9}& \\ y> \frac{3}{2}& \end{matrix}\right.$

Bất phương trình $mcos2x-1\geq 2log_{2}\left ( sinx \right )$ có nghiệm đúng với mọi $x$ thuộc $\left ( 0;\pi \right )$ thì m thuộc khoảng nào?

Cho dãy số ($u_{n}$) biết $u_{1}=u_{2}=0$ và $u_{n+1}=\frac{1}{3}(u_{n}+u_{n-1}^{2}+\frac{5}{9})\forall n=2;3;...$

Chứng minh rằng $u_{n}$ có giới hạn và tìm giới hạn đó

Cho $\alpha$ và $\beta$ là 2 số thực lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số sau trên $\left [ 0;1 \right ]$:

$y= \left (\frac{2x}{1+x^{2}} \right )^{\alpha }.\left ( \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}} \right )^{\beta }$

Cho dãy số $(x_{n})$ xác định bởi: $x_{_{1}}=\frac{2019}{2}, x_{_{n+1}}=2 x_{_{n}}^{2}-5 x_{_{n}} + \frac{9}{2}$

với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $u_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}-1}$

a) Chứng minh rằng: $u_{n}=\frac{1}{1008}-\frac{1}{x_{n+1}-\frac{3}{2}}$

b) Tính $lim u_{n}$

có bao nhiêu cặp nghiệm nguyên $(x,y)$ thỏa mãn: $(2^{y}+3^{y})^{x}+4x^{2}\leq 20 + (2^{x}+3^{x})^{y}- 9y^{2}$