Chào các anh chị, anh chị có thể giúp em giải các bài tập sau được không ạ, em cảm ơn nhiều ạ

lim (x^2+y^2) e^-(x+y) khi (x,y) -> (+vô cùng, +vô cùng)

Dùng BĐT $e^u \ge \frac{u^3}{3!}$ với $u>0.$

Nếu hàm $f$ liên tục trên $[a,b]$ và khả vi trên $(a,b$) thì $f'$ có liên tục trên $[a,b]$ không?

Liệu $f$ có khả vi tại $a$ hay không mà... $f '$ liên tục tại $a$?

Giả sử √x=L.
Anh chị giúp e chứng minh dãy trên là hữu hạn và có giới hạn là L với.
Em rất cảm ơn ạ

Nếu không có giả thiết $a>0$ thì đề sai.

Khi $a>0,$ dùng BĐT Cauchy, suy ra $u_n\ge \sqrt{x} \forall n\ge 1.$ Hơn nữa, $u_{n}-u_{n-1}=\frac{x-u_{n-1}^2}{2u_{n-1}}\le 0 \forall n\ge 2.$
Vì thế $\left\{ u_n\right\}_{n\ge 2}$ là dãy giảm và bị chặn dưới. Do đó, dãy này hội tụ. Gọi $b= \lim u_n, b\ge \sqrt{x}.$

Cho hệ thức truy hồi qua giới hạn, ta nhận được phương trình: $b= \frac{1}{2}\left( b+\frac{x}{b}\right).$ Suy ra $b=L=\sqrt{x}.$ Điều cần phải chứng minh.

Sao Un-U(n-1) lại <0 ạ. Em chưa hiểu lắm

Nếu không có giả thiết $a>0$ thì đề sai.

 

Khi $a>0,$ dùng BĐT Cauchy, suy ra $u_n\ge \sqrt{x} \forall n\ge 1.$ 

 

Nếu không có giả thiết $a>0$ thì đề sai.

 

Khi $a>0,$ dùng BĐT Cauchy, suy ra $u_n\ge \sqrt{x} \forall n\ge 1.$ 

 

$\lim_{x\rightarrow 0} (1+x^2)^{\cot^2 x}.$

Ta có $$(1+x^2)^{\cot^2 x} = e^{\cot^2 x \ln{(1+x^2)}}.$$

Hơn nữa, 

$$\lim_{x\to0}\cot^2 x \ln{(1+x^2)}= \lim_{x\to0}\cos^2 x \frac{\ln{(1+x^2)}}{x^2}\frac{1}{\frac{\sin^2x}{x^2}}=1. $$

Suy ra $$\lim_{x\to0} (1+x^2)^{\cot^2 x} =e.$$

^{Khai triển Taylor của hàm}

                                           $Ln(2x+1)$ tại $x=2$

Basara có vấn đề khó khăn gì với nó?

$\int_{0}^{2} \frac{x.sin(x)}{1+2cos(x)^2}dx$

Basara nên xem lại đề.

$\lim_{x->0^+} \frac{\ln x}{1+2\ln x}$

\[\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln x}{1+2\ln x}= \lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{\frac{1}{\ln x}+2}=\frac{1}{0+2}=\frac{1}{2}.\]

Lưu ý: $\lim_{x\to 0^{+}} \ln x= -\infty.$

tính giới hạn

1.              $u_{n}=\sqrt{1+u_{n-1}} , u_{0}=\sqrt{3}$

2,              $u_{n}=\frac{1}{2}+\frac{(u_{n-1})^{2}}{2}, u_{1}=\frac{1}{2}$

1) Dãy giảm bị chặn dưới bởi 0. Giới hạn của dãy là $\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$

2) Dãy tăng và bị chặn trên bởi $1$.  Giới hạn của dãy là $1$.

Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$, $A \in M_n(\mathbb{Z})$.

1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên $k$ là một giá trị riêng của $A$ thì $det(A) \vdots k$.

2. Giả sử $m$ là một số nguyên và mỗi dòng của $A$ có tổng bằng $m$. Chứng minh rằng $det(A) \vdots m$. 

1) Đa thức đặng trưng $P(\lambda)=\det(A-\lambda I_n)$ là đa thức hê số nguyên và hệ số tự do chính là $\det(A).$

Từ $P(k)=0$, ta có $k$ là ước của hệ số tự do. Suy ra ĐPCM.

2) Dùng phép biến đổi: $c_1= c_1+c_2+...+c_n$. Suy ra ĐPCM.

a) y=e^xcosx
b) y^(n)(0) nếu y=arcsinx

1) Dùng công thức Newton- Leibniz.

2) Dùng khai triển Maclaurin của hàm $\arcsin x.$

Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ và $A^k=0$ với $k$ nguyên dương cho trước. Ký hiệu

 

$X=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$

Chứng minh rằng hai phương trình $AX=0$ và $(A+A^2+...+A^n)X=0$ đương đương.

Từ giả thiết, ta có $I-A$ khả nghịch.

Ta có

$(A+A^2+...+A^n)X=0 \iff (I+A+A^2+...+A^n)X=X.$

$\iff (I-A)(I+A+A^2+...+A^n)X=(I-A)X.$

$\iff (I-A^{n+1})X=X-AX$

($A^{n+1}=0$)

$\iff AX=0.$ 

1, tìm tất cả các ma trận vuông cấp 2 sao cho bình phương của nó băng ma trận không
2, tìm tất cả các ma trận vuông cấp 2 sao cho bình phương của nó bằng ma trận đơn vị

Bạn thử dùng tính chất $A^2-(a+d)+(ad-bc)I_2=0,$ trong đó $A=\begin{bmatrix} a &b\\ c&d\end{bmatrix}.$

Bất đẳng thức (Maclaurin, Cauchy)
Giả thiết $f(x)$ là một hàm đơn điệu giảm $\left(0,+\infty\right)$. Khi đó ta luôn có $$ \sum_{k=1}^{n}f(k)\leq \int_{a}^{b}f(x)dx\leq \sum_{k=0}^{n-1}f(k)$$
Đẳng thức xảy ra khi $f(x)$ là hàm nghịch biến.

Liệu ta có thể tổng quát bất đẳng thức trên thành

$$ \int_{a}^{b+1}f(x)dx\leq \sum_{k=a}^{b}f(k)\leq \int_{a}^{b}f(x)dx\leq \sum_{k=a-1}^{b-1}f(k)\quad a,b\in\mathbb N^*$$

Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Bạn xem kỹ cái đánh giá chính để dẫn đến BĐT gốc thì sẽ auto tự trả lời được vấn đề mới.   

Cho 2 ma trận A, B sao cho $A.B= \begin{pmatrix} 5 & 11\\ 11 & 25 \end{pmatrix}$, $B.A=\begin{pmatrix} x & 14\\ 14 & y \end{pmatrix}$. Hãy tìm x,y và A,B.

Dùng $\det(AB)=\det(BA)$ và $\text{trace}(AB)=\text{trace}(BA).$

Em xin chào các anh chị trên diễn đàn ạ. Nhờ mọi người giúp em bài này với, em cảm ơn nhiều ạ.

1. Xét tính hội tụ của tích phân suy rộng:

$\int_{1}^{+\infty}\frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx$

Tồn tại số thực dương $M$  sao cho $0<\ln (1+x) \le \sqrt{x}\, \forall x\ge M.$
Từ đó suy ra TPSR hội tụ.

Tìm tất cả cực trị của hàm số 2 biến sau: 

$f(x,y)= x^{4}+y^{4}-x^{2}-xy-y^{2}$ 
Ở chỗ $(x,y)=(0,0)$ thì e không biết làm. Mong mọi người làm giúp e với ạ

Cách 1:

Dùng điều kiện đủ.

Cách 2:

Ta có 

$$f(x,y)\le \left(x^2+y^2\right)^2 -\frac{x^2+y^2}{2} \le 0=f(0,0)\,  \forall (x,y) \in B_{\frac{1}{\sqrt{2}}}(0,0).$$

Suy ra $(0,0)$ là điểm cực đại địa phương của hàm số.

1/ lim($\frac{1}{n^{2}+1}+\frac{2}{n^{2}+2}+...+\frac{n}{n^{2}+n}$)

2/ lim ($\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}$)

1/  Vì  $\frac{k}{n^2+n}\le  \frac{k}{n^2+k}\le \frac{k}{n^2+1}\forall k\le n$ nên $$\frac{\sum_{k=1}^n k}{n^2+k}\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k} \le \frac{\sum_{k=1}^n k}{n^2+1}\,\forall n\in \mathbb{N}.$$

Áp dụng định lý kẹp, ta suy ra giới hạn cần tìm bằng $\frac{1}{2}.$

2/ Ta có $$ \frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} \le \frac{n}{\sqrt{n^2+1}} \forall n\in \mathbb{N}.$$

Áp dụng định lý kẹp, ta suy ra giới hạn cần tìm bằng $1.$

Chứng minh rằng nếu hàm số $f(x)$ có đạo hàm cấp n thì: 

$\left [ f(ax+b) \right ]^{(n)}=a^{n}f^{(n)}(ax+b)$

Dùng quy nạp sẽ thu được đpcm!

Cho hàm số f(x) = cos(2.$x^{4}$ - $x^{12}$). Tính giá trị $\frac{f^{(16)}(0)}{16!}$.

Vì $\cos u=1-\frac{u^2}{2}+\frac{u^4}{4!}+\text{o}{(u^4)}$ nên

$f(x)=\cos {(2x^4-x^{12})}=1-\frac{(2x^4-x^{12})^2}{2}+\frac{(2x^4-x^{12})^4}{4!}+\text{o}{(x^{16})}=...+\fra{29}{3}x^{16}+\text{o}{(x^{16})}.$

Suy ra $\frac{f^{(16)}(0)}{16!}=\frac{29}{3}.$

Cho dãy $(x_{n})$ xác định như sau: $x_{1}=2,x_{2}=10;x_{n+2}=\frac{8x_{n+1}^{2}-x_{n+1}x_{n}}{x_{n+1}+x_{n}},n\geqslant 1.$

Với mỗi số nguyên dương n, đặt $y_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k})}{x_{k+1}+x_{k}+3}$.

Chứng minh rằng dãy $y_{n}$ có giới hạn hữu hạn khi n dần ra vô cực và tìm giới hạn đó.

https://diendantoanh...rac-1kx-k1x-k3/

Xét sự hội tụ của các tích phân

1. $\int_{0}^{1}\frac{\sqrt[5]{x^{2}+x^{3}}lnx}{x(2-x)}dx$

2. $\int_{1}^{+\infty }\frac{lnx}{2+\sqrt[3]{x^{5}}}dx$

3. $\int_{0}^{1}\frac{sin(\pi x).ln(x-1)}{\sqrt{(x-1)^{3}}}$

 

Mọi người cho e xin phương pháp hay tài liệu giải các dạng này với ạ. E thực sự rất cần !

Dùng tiêu chuẩn so sánh "dạng giới hạn" thôi!

Bài 3 sai!

Xét sự hội tụ của các tích phân

1. $\int_{0}^{1}\frac{\sqrt[5]{x^{2}+x^{3}}lnx}{x(2-x)}dx$

[Tìm hàm $g$ để áp dụng tiêu chuẩn so sánh]

TPSR tại $0$.

Chú ý phân tích các số hạng mà tử và mẫu bằng 0 hoặc tiến về 0, tiến về  $\infty$ khi $x\to 0.$

(Khi các số hạng mà hàm số xác định tại 0 hoặc giới hạn của "số hạng đó" khi $x\to 0$ là một số thực hữu hạn thì loại chúng khỏi "hàm" g. )

Ta sẽ tạm ký hiệu $f\sim g$ nếu $\lim_{x\to 0} \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|$ là một số thực khác 0 nào đó.

Khi đó, $\sqrt[5]{x^2+x^5} \sim x^{2/5}\ln x$, và $x(2-x) \sim x.$ 

Xét $f(x)= \frac{\sqrt[5]{x^2+x^5}\ln x}{x(2-x)}$

Chính vì thế ta chọn hàm $g(x):= \frac{x^{2/5}\ln x}{x}=\frac{\ln x}{x^{3/5}}.$

Đến đây, ta có thể có làm theo một trong hai hướng khác nhau để tìm ra lời giải.

Lời giải 1 (phần đầu+ phần tiếp theo sau).

Ta nhận thấy $\lim_{x\to 0} \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|= \frac{1}{2}\neq 0.$

Áp dụng tiêu chuẩn so sánh dạng giới hạn, các TPSR $\int_0^1 |f(x)|dx$ và  $\int_0^1 |g(x)|dx$ cùng tích chất hội tụ. Do đó, nếu $\int_0^1 |g(x)|dx$ hội tụ thì $\int_0^1 f(x)dx$ hội tụ. 

Đến đây, dùng tích phân từng phần, dùng quy tắc l'Hospital, ta có thể kiểm chỉ ra $\int_0^1 x^{-3/5}\ln xdx$ hội tụ.

Lời giải 2 (phần đầu+ phần tiếp theo sau).

Hàm $g$ vẫn chưa đơn giản. Ta có thể thấy $|\ln x|\ll x^{-\alpha}$, với bất kỳ số thực dương $\alpha$.

Như vậy, ta sẽ cố tình 'đa thức hóa' một cách triệt để (thật ra là 'lũy thừa hóa').

Vì thế ta có thể chọn $h(x)= \frac{1}{x^{3/5+\alpha}}.$ Ngoài ra, ta mong muốn áp dụng được thì chọn $\alpha>0$ sao cho $3/5+\alpha<1$. Thí dụ chọn $\alpha=\frac{1}{5}.$

Vì thế, khi chọn $h(x)= \frac{1}{x^{4/5}},$ ta có

i) Ta nhận thấy $\lim_{x\to 0} \left|\frac{f(x)}{h(x)}\right|=0.$

ii) $\int_0^1 h(x)dx$ hội tụ.

Áp dụng tiêu chuẩn so sánh dạng giới hạn,  nếu $\int_0^1 |h(x)|dx$ hội tụ thì $\int_0^1 f(x)dx$ hội tụ. 

Suy ra $\int_0^1 f(x)dx$ hội tụ. 

Em thử áp dụng để giải bài 2!

[Tìm hàm $g$ để áp dụng tiêu chuẩn so sánh]

Ta có thể thấy $|\ln x|\ll x^{-\alpha}$, với bất kỳ số thực dương $\alpha$.

 

Khi $x\to 0^{+}.$

Chào mọi người,
Mình là sinh viên năm nhất chuyên ngành Toán, vào HKII này mình sẽ học môn Giải tích hàm nhiều biến. Mọi người có ai biết tài liệu (chủ yếu sách bài tập có hướng dẫn giải chi tiết) để tự học tốt môn này thì giới thiệu giúp mình với ạ.
Mình cảm ơn mọi người nhiều.
 

https://toantink10.w...p-giải-tich-a2/