Tính diện tích giới hạn bởi nửa mặt cầu $z=\sqrt{9-x^2-y^2}$ bị cắt bởi hình trụ: $x^2+y^2=5$.

Diện tích mặt $z=f(x,y)$ bị giới hạn bởi miền $(x,y)\in D$ được xác định bởi

\[\iint_{D}\sqrt{1+(f_x)^2+(f_y)^2} dxdy=\iint_{D}\frac{3}{\sqrt{9-x^2-y^2}} dxdy= \int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt{5}} \frac{3r}{\sqrt{9-r^2}}dr d\phi.\]

Áp dụng BĐT $|\sin x|\le 1, |\sin x| \le |x|, \forall x\in \mathbb{R},$

\[|\cos x-\cos y|=\left|2\sin\frac{x-y}{2}. \sin\frac{x+y}{2}\right| \le |x-y|.\]

Từ đánh giá trên và Định lý kẹp, ta suy ra giới hạn cần tìm bằng $0.$

BÀI TOÁN: Cho $lim\frac{\sqrt[3]{an^3+5n^2-7}}{\sqrt{3n^2-n+2}}=b\sqrt{3}+c$ . Tính 

$$P=\frac{a+c}{b^3}$$

Đề sai! Không thể tính $P.$

Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi:

$\left\{\begin{matrix} x_1=\frac{1}{2};\\ x_{n+1}=\frac{nx_n^2}{1+(n+1)x_n} \end{matrix}\right. ,\forall n\in \mathbb{N}^\ast$

 

Chứng minh rằng $x_n\leqslant\frac{1}{n(n+1)}$ và tính $limy_n$ , với $y_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{kx_k}{1+(k+1)x_k}.$

 

Giúp em với ạ, có thể chỉ mỗi phần chứng minh đầu tiên là được rồi ạ.

Nếu $x_n\leqslant\frac{1}{n(n+1)}$ thì $x_{n+1}\le nx_n^2 \le \frac{1}{n(n+1)^2} \le \frac{1}{(n+1)(n+2)} \forall n\ge 2.$

Dễ dàng kiểm nghiệm với $n=1, 2.$

Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi:

$\left\{\begin{matrix} x_1=\frac{1}{2};\\ x_{n+1}=\frac{nx_n^2}{1+(n+1)x_n} \end{matrix}\right. ,\forall n\in \mathbb{N}^\ast$

 

Chứng minh rằng $x_n\leqslant\frac{1}{n(n+1)}$ và tính $limy_n$ , với $y_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{kx_k}{1+(k+1)x_k}$

 

Giúp em với ạ, có thể chỉ mỗi phần chứng minh đầu tiên là được rồi ạ.

Em thử dùng qui nạp kết hợp với khảo sát hàm số!

bạn có thể làm chi tiết được không ạ , mình cảm ơn 

Vì $u_{n+1}\ge 3 u_n>0, \forall n\in \mathbb{N}$ nên $\lim u_{n}=\infty.$

Đặt $f(x)= \sqrt{9x^2+11x+3}.$

Khi đó, $\frac{u_{n+1}-u_n}{u_{n+1}+u_n}=\frac{f(u_n)-u_n}{f(u_n)+u_n}.$

Từ $\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)-x}{f(x)+x}= \lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{9+\frac{11}{x}+\frac{3}{x^2}}-1}{\sqrt{9+\frac{11}{x}+\frac{3}{x^2}}+1}=\frac{1}{2}.$

Suy ra 

$$\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{u_{n+1}-u_n}{u_{n+1}+u_n}=\frac{1}{2}.$$

cho dãy số $u_{n}$ được xác định bởi $u_{1}= \sqrt{3}$ và $u_{n+1} =\sqrt{9u_{n}^{2} +11u_{n} +3}$

Tính $lim \frac{u_{n+1}-u_{n}}{u_{n+1}+ u_{n}}$

Dùng thông tin $\lim u_n=\infty$ để tính giới hạn cần tìm như giới hạn hàm số!

Các cao nhân giúp mình với  tích phân đường loại 2

$\int (2x-y)dx +xdy$ trong đó C là đường cong $\left\{\begin{matrix}x=a(t- sint) & & \\y= a(1-cost) & & \end{matrix}\right.$ theo chiều tăng của t, $0\leq t\leq 2\pi $ và a>0

Rõ thấy dùng định nghĩa của nó thôi bạn!

Tính các tích phân đường sau :

1) $\int_{\overarc{AB}}(1-\frac{y^2}{x^2}\cos{\frac{y}{x}})dx+(\sin{\frac{y}{x}+\frac{y}{x}\cos{\frac{y}{x}}})dy$, với $A(1,\pi),B(2,\pi)$ và $\overarc{AB}$ không cắt trục $Oy$.

2) $\int_{\overarc{AB}}\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}$, với $A(1,1),B(2,4)$ trong hai trường hợp cung $\overarc{AB}$ tạo với đoạn AB thành đường cong kín không bao gốc toạ độ và bao gốc toạ độ.

2) Không kín mà bao quanh gốc tọa độ hiểu ntn ("bao quanh"?)?

Tính các tích phân kép sau:

$I=\int_{D}\sqrt{2x-x^2-y^2}d(x,y)$, $D$ giới hạn bởi $x^2-2x+y^2\leq 0$

$I=\int_{D}\left | {2x-x^2-y^2}\right |d(x,y)$, $D$ giới hạn bởi $x^2+y^2\leq2y.$

Bài 1: Dùng phép đổi biến $x=1+r\cos\theta,\, y=r\sin\theta$. Miền trong "tọa độ cực" này là $0\le r\le 1, 0\le \theta\le 2\pi.$

Định thức Jacobi phép biến đổi cũng là $r$.

Bài 2: tương tự bài 1.

Bạn kiểm tra thử!

Trên tập số phức phương trình $z^{2017}=i\bar {z}$ có bao nhiêu nghiệm?

$z=0$ là một nghiệm của PT.

Trên $\mathbb{C}\setminus \{0\}$,$ |z|^{2017}=|z|$ nên $|z|=1.$ Khi đó, PT tương đương (đã kiểm tra cẩn thận): $z^{2018}=i.$

PT này có $ 2018 $ nghiệm.

Vậy PT ban đầu có $2019$ nghiệm (phân biệt).

Tìm tất cả cực trị của hàm số 2 biến sau: 

$f(x,y)= x^{4}+y^{4}-x^{2}-xy-y^{2}$ 
Ở chỗ $(x,y)=(0,0)$ thì e không biết làm. Mong mọi người làm giúp e với ạ

Cách 1:

Dùng điều kiện đủ.

Cách 2:

Ta có 

$$f(x,y)\le \left(x^2+y^2\right)^2 -\frac{x^2+y^2}{2} \le 0=f(0,0)\,  \forall (x,y) \in B_{\frac{1}{\sqrt{2}}}(0,0).$$

Suy ra $(0,0)$ là điểm cực đại địa phương của hàm số.

Bạn đọc kỹ sẽ nhận ra rất nhiều lỗi sai!

Chứng minh rằng hàm số liên tục trên tập $X \subset \mathbb{R}^{n}$, khác rỗng, đóng, bị chặn thì liên tục đều trên $X$. Kết quả còn đúng không nếu bỏ một trong các giả thiết đóng hoặc bị chặn của $X$? 

"Người ta" chứng minh kết quả cơ bản này bằng phản chứng.

Về sự cần thiết của các giả thiết, cả tính đóng , tính bị chặn đều không thể bỏ qua. Điều đó được minh họa thông qua 2 thí dụ sau:

1) Với $n=1, \, X=(0,1), f(x)=\frac{1}{x}$ không liên tục đều trên $X$.

2) Với $n=1,\, X=(0,\infty), f(x)=\sqrt{x}$ không liên tục đều trên $X$.

^{Khai triển Taylor của hàm}

                                           $Ln(2x+1)$ tại $x=2$

Basara có vấn đề khó khăn gì với nó?

Mong mọi người thảo luận để đưa ra lời giải cho bài

Nếu đa thức (không phải phương trình) có ba nghiệm thỏa $\alpha<c<\beta\le \gamma$ thì 
$f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma).$

Suy ra $f(c)>0.$

Tuy nhiên $f(c)=c(b-ac)<0$ (vô lý).

Do đó, giả thiết phản chứng sai. Suy ra phương trình có ít hơn 2 nghiệm lớn hơn $c$.
Vì $\alpha \beta\gamma=c^3$ nên có ít nhất một nghiệm lớn hơn bằng $\alpha.$

Phần còn lại: bạn xử lý tiếp (còn dấu bằng).

Cho 2 ma trận A, B sao cho $A.B= \begin{pmatrix} 5 & 11\\ 11 & 25 \end{pmatrix}$, $B.A=\begin{pmatrix} x & 14\\ 14 & y \end{pmatrix}$. Hãy tìm x,y và A,B.

Dùng $\det(AB)=\det(BA)$ và $\text{trace}(AB)=\text{trace}(BA).$

Hàm số sau đây có bao nhiêu điểm gián đoạn
$$f(x)=\begin{cases}\frac{|x|}{x}, x \ne 0\\0, x=0\end{cases}$$

Dễ dàng kiểm tra hàm số này chỉ có duy nhất điểm gián đoạn: $x=0.$

Bài toán:

 Cho hàm $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ liên tục. Gọi D là hình tròn đóng tâm $O(0;0)$ bán kính $r$. Tính $\lim_{r\to0}\frac{1}{r^2}\iint_{D_r}f(x,y)dxdy$.

Giải:

Áp dụng định lý giá trị trung bình, ta có $\frac{1}{\pi r^2}\iint_{D_r} f(x,y) dxdy= f(x_r,y_r),$ trong đó $(x_r,y_r)\in D_r$.

Ý tưởng thô: Khi $r\to 0^{+}, \, (x_r,y_r)\to (0,0)$. Hơn nữa, $f$ liên tục tại $(0,0)$. Suy ra $\lim_{r\to0}\frac{1}{r^2}\iint_{D_r}f(x,y)dxdy=\pi f(0,0).$.

 

+ Cho hàm $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ liên tục. Gọi D là hình tròn đóng tâm $O(0;0)$ bán kính $r$. Tính $\lim_{r\to0}\frac{1}{r}\iint_{D}f(x,y)dxdy$.

Bạn có nhầm lẫn đề $\lim_{r\to0}\frac{1}{r}\iint_{D}f(x,y)dxdy$ với $\lim_{r\to0}\frac{1}{r^2}\iint_{D}f(x,y)dxdy$ không?
Nếu là cái thứ nhất có vẻ dễ hơn!

 

+ Cho hàm $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ liên tục. Gọi D là hình tròn đóng tâm $O(0;0)$ bán kính $r$. Tính $\lim_{r\to0}\frac{1}{r}\iint_{D}f(x,y)dxdy$.

Gọi $D_r$ là hình tròn đóng tâm $O(0;0)$ bán kính $r$ và $M_r= \displaystyle\max_{(x,y)\in D_r}\{|f(x,y)|\}$.

Khi đó, $\left| \iint_{D_r}f(x,y)dxdy\right|\le  \iint_{D_r} M_1dxdy= M_1 \pi r^2, \forall r\le 1.$

Dùng Định lý kẹp, ta có  $\displaystyle \lim_{r\to 0^{+}} \frac{1}{r}\iint_{D_r}f(x,y)dxdy=0. $

Cho dãy số (u_n) xác định bởi SHTQ u_n=$\frac{2}{(2n+1)(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}$

CMR: u₁+u₂+u₃+...+u_n<$\frac{n}{n+1}$

Sử dụng $u_{k} \le \frac{1}{\sqrt{k(k+1}(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})}=\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}.$

Giải phương trình vi phân:

\[ (x+1)y'-1= 3y+x(x+2). \]

PTVP này thiếu thông tin khiến cho việc giải quyết trở nên khó khăn. Ở đây, ta xem xét PTVP trên $\mathbb{R}.$

Phương trình vi phân được viết lại như sau

$$[(x+1)^{-3}y]^{\prime}=(x+1)^{-2},\ \forall x\in \mathbb{R}\setminus\{-1\}.$$

Do đó $(x+1)^{-3}y=-\frac{1}{(x+1)^2}+C_1$ với mọi $x>-1$

Do đó, $y= x+1+C_1(x+1)^3.$ với mọi $x> -1$.

Tương tự vậy, ta có $y= x+1+C_2(x+1)^3.$ với mọi $x< -1$. Nhờ tính liên tục, ta có $y(-1)=0=(-1)+1+C_1(-1+1).$

Do đó các hàm số $y(x)=\begin{cases} \begin{matrix} x+1+C_1(x+1)^3\quad if x\ge -1,\\ x+1+C_2(x+1)^3\quad if x<-1,\end{matrix}\end{cases}$

trong đó $C_1, C_2$ là các số thực tùy ý. Ở đây, ta đã kiểm những hàm số này thỏa các điều kiện về sự khả vi lẫn phương trình vi phân.

Chào mọi người,
Mình là sinh viên năm nhất chuyên ngành Toán, vào HKII này mình sẽ học môn Giải tích hàm nhiều biến. Mọi người có ai biết tài liệu (chủ yếu sách bài tập có hướng dẫn giải chi tiết) để tự học tốt môn này thì giới thiệu giúp mình với ạ.
Mình cảm ơn mọi người nhiều.
 

https://toantink10.w...p-giải-tich-a2/

cho các hàm số liên tục trên R, hệ B={sinx, cosx, sin2x, cos2x,...,sin10x, cos10x } là hệ độc lập tuyến tính.