Cho tam giác ABC nôi tiếp đường tròn (O) đường kính BC , AH là đường cao của tam giác . Đường tròn (I) đường kính AH cắt AB , AC lần lượt tại D và E , cắt lại (O) tại K , AK cắt BC tại M . Chứng minh bốn điểm M , D , I , E thẳng hàng .

Cho tam giác ABC nhọn có AB > AC . Cho AD , BE , CF là các đường cao . Chưng minh các tiếp tuyến tại E và F của đường tròn đường kính BC và AD đồng quy .

Đây là hình vẽ . Các bạn giải giúp nhé ! 

 

Hai tiếp tuyến của (O) tại E và F có phải cắt nhau trên AD ( tại I là trung điểm của AH , với H là trực tâm tam giác ABC ) không ?

Hệ có 4 nghiệm ( 3 nghiệm nguyên và  1 nghiệm vô tỷ )

Giải hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix} 2x^{3}-\left ( x+y \right )y^{2} +x^{2}y=-1& \\ x^{2}+x-y^{2}=-1& \end{matrix}\right.$

Hệ có bao nhiêu nghiệm ? 

Giải phương trình : 

$\frac{2x+1}{\sqrt{6x^{2}+6x+3}}=\frac{4x+3}{\left ( 2x^{2}+3x+3 \right )\sqrt{2x^{2}+3x+3}}$

Cho a , b , c là các số dương thỏa : a + b + c $\leq$ 1 . 

$ Tìm  GTNN  của   T = \sum \frac{1}{a^{2}+bc}$

Giải phương trình : 

$\frac{30}{\sqrt{30x+21}+9}+\frac{18}{\sqrt{18x}+6}=6x+1$

Có thể đặt : u = 2x , v = 1/y ta được hệ PT đẳng cấp theo u, v .
Giải theo phương pháp cơ bản : đặt u = tv ( v khác 0 ) .

Hệ có 2 nghiệm : (3/2;1/2) ; (-1;-1/3) 

từ phương trình (2) ta có:
$(2x-\frac{1}{y})(2x+\frac{1}{y})^2=25$
từ phương trình (1) ta có:
$(2x-\frac{1}{y})(2x+\frac{1}{y})^2-\frac{4x}{y}(2x-\frac{1}{y})=13$
từ đó ta có:
$\frac{4x}{y}(2x-\frac{1}{y})=12$
phương trình (1) được viết lại thành:
$(2x-\frac{1}{y})^3+\frac{4x}{y}(2x-\frac{1}{y})=13 \Rightarrow (2x-\frac{1}{y})^3=1\Rightarrow 2x-\frac{1}{y}=1$
đến đây tự xử lý tiếp nhé

Có thể giải đơn giản hệ hơn với hệ đẳng cấp .

Giải hệ phương trình sau : 

Đáp số : x = 1 

Biến đổi phương trình đã cho về dạng : f(x) = g(x) ; trong đó : f và g là hai hàm số biến thiên ngược chiều và f(1) = g(1) nên phương trình có nghiệm duy nhất x =1 . 

Giải phương trình : $\frac{1}{\sqrt{x}+1}-\frac{x+2}{\sqrt{2-x}+x}=\frac{x-2}{3}$

Giải phương trình : $(2x+5)(\sqrt{10-x^{2}}+3)(\sqrt{10-x^{2}}+1)=3-2x-x^{2}$

CM : $x^{3}\geq \frac{2}{3}x^{2}+\frac{5}{3}x - \frac{4}{3} \forall x>0$

Cho x = a  x = b , x = c ta duoc 3 BDT . Cong ve theo ve 3 BDT suy ra : $P=a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 3$

minP = 3 ( a = b = c = 1)

Cho $ a > 0 , b > 0 , c > 0 , 2\left (a^{2} +b^{2} +c^{2}\right )+5\left ( a+b+c \right )=21 $ . Tìm GTNN của  $P = a^{3}+b^{3}+c^{3}$

Minf(x) > 10 ? 

Tìm GTNN của : $f\left ( x \right )=2x^{6}+x^{5}+x^{4}+15x^{3}+25x^{2}+25x+25$

Giải hệ phương trình : 

$\left\{\begin{matrix} \left ( x+4 \right ) \left ( 5y-1+xy^{2}+3y^{2} \right )=y\left ( x^{2}+7x+13 \right )& \\ \left ( x+3 \right )\left ( 1-y \right )\left ( y+x+4 \right )=6y\left ( x+4 \right )& \end{matrix}\right.$

Đáp số : 

$\left ( -2\sqrt{3} \right ,4+2\sqrt{3}) , \left ( 2\sqrt{3} \right,4-2\sqrt{3} ) , \left ( -\frac{7}{4} \right-\frac{\sqrt{57}}{4},\frac{9}{4}+\frac{\sqrt{57}}{4} ) , \left ( -\frac{7}{4} \right +\frac{\sqrt{57}}{4},\frac{9}{4}-\frac{\sqrt{57}}{4})$

Hệ không có nghiệm hữu tỷ .