Định lí Fermat: Chứng minh rằng nếu p là một số nguyên tố thì hiệu số $a^p -a$ chia hết cho p, với a là một số nguyên bất kỳ .
.

Cách giải : giả sừ a không chia hết cho p. Lúc đó các số a, 2a, 3a, ...,(p-1)a đều không chia hết cho p, và phép chia các số này cho p để lại các số dư khác nhau. Vì, Nếu ka và la ( với p-1 $\geq$k>1) khi chia cho p để lại các số dư bằng nhau thì lúc đó ka - la = (k-l)a sẽ chia hết cho p; điều này không thể được vì p là một số nguyne6 tố, số a đã giả sử không chia hết cho p và k-1 thì nhỏ hơn p.
Vì tạo hợp các số dư được để lại, do từ phép chia các số a, 2a, 3a, ..., (p-1)a cho p, đã được dùng hết bởi p-1 số 1, 2, 3, ..., p-1, (hay nói cách khác tập hợp các số dư trên gồm p-1 phần tử, đó là các số 1, 2, 3, ..., p-1) nên:
a = $q_1p$ + $a_1$; 2a=$q_2p + a_2$; 3a=$q_3p + a_3$, ..., (p-1)a = $q_{p-1}.p + a_a{p-1}$
với $a_1, a_2, a_3, ..., a_{p-1}$ là các số 1,2,3, ..., p-1 không nhất thiết theo thứ tự. Nhân tấc cả các đẳng thức này vế theo vế, chúng ta được: [1.2.3....(p-1)]$a^{p-1}$ = Np + $a_1a_2...a_{p-1}$
Nghĩa là:
[1.2.3...(p-1)]$a^{p-1) - 1) = Np$
suy ra $ a^{p-1} -1 $ chia hết cho p và, do đó, $a^p -1$ cũng chia hết cho p. Trong trường hợp số a chia hết cho p điều khẳng định của địh lý Fermat là hiển nhiên.

1) Tìm 4 số nguyên dương sao cho tổng của số bình phương của mỗi số thuộc chúng và ba số còn lại là một số chính phương.
2)Trong 1000 số tự nhiên đầu tiên, hãy tìm các bộ ba nếu được sao cho tổng các bình phương của chúng thì chia hết cho tích của chúng.
3) Chứng minh tích của n số nguyên tạo thành cấp số cộng mà mỗi một số hạng của cấp số đó đều cùng nguyên tố với n! thì chia hết cho n!.
4) Chứng minh (n!)! chia hết cho (n!)^(n-1)!

Bài 1:cmr n 1, ta có;
a) 16^{n} - 15n - 1 225
b) 3^{3n+3} -26n -27 169
Bài 2: cmr
a) 1^{2002} + 2^{2002} + ... + 2002^{2002} 11
b) 220^{119 ^{69} } + 119^{69 ^{220} } + 69^{220 ^{119} } 102
:rose :rose :rose

.
Bài 1 chắc là dùng quy nạp.
Bài 2 thì chưa nghĩ ra

Cho X={0.1.3.5.8} tìm các số khác nhau có 7 chữ số chẵn đôi một khác nhau, Tính tổng các số đó