Chứng minh: ${\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^3} \ge {a^2}\sqrt {\dfrac{{3{b^2} - {a^2}}}{2}} {\rm{ }}\left ( {b\sqrt 3 > a > 0} \right)$

đặt $t=\dfrac{b}{a}$ sau đó khảo sát hàm số

em mới học lượng giác nên vẫn ko bik nhiều lắm, mong mọi người giúp
$0< a,b,c< \pi $. Cm $ sina+sinb+sinc \leq 3sin \dfrac{a+b+c}{3}$

he he.mình nghỉ đây là hệ quả BDT jensen(ko biết có đúng ko nữa)
nếu $f"(x)<0$ thì $\dfrac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} f(x_i) \leq f( \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} x_i)$
nếu $f"(x)>0$ thì $\dfrac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} f(x_i) \geq f( \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} x_i)$
vì trong một tam giác $sinx$ là hàm số lồi nên
$f(a)+f(b)+f(d)$ $\leq 3f(\dfrac{a+b+c}{3})$
=>$sina+sinb+sinc\leq 3sin(\dfrac{a+b+c}{3}$
P/s ke ke spam đã luôn

:cry :cry :cry :cry :cry :cry :

Giả sử A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng:

$\left(\dfrac{\sin A\sin B}{\sin C}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sin B\sin C}{\sin A}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sin C\sin A}{\sin B}\right)^{2}\geq\dfrac{9}4$

mình có cách này không hay nhưng cũng xài được
đặt $a=cotA; b=cotB;c=cotC$ ta có ngay $ab+bc+ca=1$
bất đẳng thức có thể viết lại
$ \dfrac{1}{(a+b)^2}+\dfrac{1}{(b+c)^2}+\dfrac{1}{(c+a)^2}\geq \dfrac{9}{4(ab+bc+ca)}$
bất đẳng thức cuối cùng đúng theo bất đẳng thức iran năm 96
nên bài toán được chứng minh xong

Đặt $\dfrac{1}{x}=a,\dfrac{1}{y}=b,\dfrac{1}{z}=c$
thì $a+b+c=3$

và $VT= \sum \dfrac {a^2}{a+1} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{a+b+c+3}=\dfrac{3}{2}$

lời giải 2
ta có $\dfrac{1}{x(x+1)}\geq \dfrac{3}{4x}-\dfrac{1}{4} $ $\Leftrightarrow (x-1)^2\geq 0$ (đúng)
xây dựng tương tự cộng lại ta có điều phải chứng minh
nhờ mọi người post tiếp lời giải ạ

em lập ra cái topic này để hỏi bài BDT này có bao nhiêu cách giải
cho x,y,z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn $ \dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=3$
Chứng minh rằng
$\dfrac {1}{x(x+1)} + \dfrac{1}{y(y+1)}+ \dfrac{1}{z(z+1)} \geq 3/2$