BĐT 18 là holder thì phải. Bạn chứng minh luôn nhé mình đang cần cái chứng minh của holder

Chứng minh BĐT 18
Sử dụng BĐT AM-GM ta có:

$\dfrac{{{a^3}}}{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}} + \dfrac{{{x^3}}}{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}} + \dfrac{{{m^3}}}{{{m^3} + {n^3} + {p^3}}} \ge \dfrac{{3axm}}{{\sqrt[3]{{\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)\left( {{m^3} + {n^3} + {p^3}} \right)}}}}$

Xây dựng tương tự 2 BĐT nữa với $(b;y;n)$ và $(c;z;p)$ rồi cộng vế theo vế lại ta có điều phải chứng minh.

Trích Quyển Sáng tạo bất đẳng thức.( Trang 27)

Đẹp quá @@ Cho xuất bản sách đi ạ @@


P/s: 271 lần tải rồi Vãi chưởng

Bài 50: Cho $D$ là điểm trong của $\Delta ABC $. Ba đường thẳng $AD,BD,CD$ cắt các cạnh $BC,AC,AB$ tương ứng tại $X,Y,Z$. Chứng minh rằng nếu hai trong ba tứ giác $ DYAZ, DZBX, DXCY$ có thể ngoại tiếp đường tròn thì tứ giác thứ ba cũng thế.

Nung nóng topic nào:

Bài 81 Giải phương trình: $x^2+\sqrt{x}=5$

Bài này ra nghiệm lẻ. Nhưng vẫn mong "mậy người" tìm ra cách giải

Bài của minh nằm trong đề thi HSG Huế vòng 2, 2003-2004
kết quả là x=0
các bạn cứ tiếp tục suy nghĩ

Mới nghĩ ra lời giải "cực độc " và cũng là "biện pháp trị liệu" cho dạng này

Giải phương trình:
\[\sqrt[5]{{x - 1}} + \sqrt[3]{{x + 8}} = -x^3 + 1\]

Lời giải:

+Xét x=0 ta thấy là nghiệm của pt
+Xét x>0, Vế phải của pt nhỏ hơn 1, vế trái của pt lớn hơn 1. Suy ra pt vô nghiệm
+Xét x<0, Vế phải của pt lớn hơn 1, vế phải của pt nhỏ hơn 1. Suy ra pt vô nghiệm

Kết luận: vậy pt đã cho có duy nhất 1 nghiệm là $x=0$

Bài 80:
Giải phương trình: $x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {1 - {x^2}} = 1$
___

Chỉ đơn giản là Cê bờ ra tông

Lời giải:

$DKXD:-1 \leq x,y \leq 1$

Với $-1 \leq x,y \leq 0$ thì $A \leq 0$ suy ra pt vô nghiệm

Đặt $A=x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {1 - {x^2}}=1 (1)$

Với $0 \leq x,y \leq 1$ ta có:

$A=x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {1 - {x^2}} \Leftrightarrow A=\sqrt{x^2(1-y^2)}+\sqrt{y^2(1-x^2)}$

Áp dụng BĐT cô si ta có:

$A \leqslant \frac{x^2+1-y^2}{2}+\frac{y^2+1-x^2}{2}=1$

Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Suy ra $VT_1=VP_1=1 $ khi $x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Vậy nghiệm của pt là: $x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Có vẻ không hợp lí lắm

• $\left\{\begin{matrix} x>0\Rightarrow \sqrt[5]{x-1}>-1 & & \\\ x>0 \Rightarrow \sqrt[3]{x+8}>2 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow VT>1$
• $x>0\Rightarrow x^3>0\Rightarrow x^3+1>1$

Điều này không khẳng định được điều gì

Sory! Nhưng hình như đề thi hsg vòng 2 huế năm 2003-2004 đề là $\sqrt[5]{{x - 1}} + \sqrt[3]{{x + 8}} = - {x^3} + 1$ thì phải Mình lấy cái đề trên mạng quên ko coi trong topic

Bài 84: Giải phương trình $\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}+4\sqrt{17-x}+8\sqrt[4]{17-x}=34$

Trảm bừa bài này vậy. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Lời giải

$\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}+4\sqrt{17-x}+8\sqrt[4]{17-x}=34 (*)$
ĐKXĐ: $0\leq x \leq 17$
+Xét $x=1$ ta thấy là nghiệm của pt
+Xét $0 \leq 1 < x$ thì $VT_(*)<VP_(*)$ suy ra loại
+ Xét $1 <x \leq 17$ thì $VT_(*)<VP_(*)$ suy ra loại

Vậy pt có nghiệm là $x=1$

Điều kiện $x\geq 1$
Nhận thấy $x=1$ là nghiệm của pt.
Xét $x>1$ có $VT>2; VP<2$ vô nghiệm.
Vậy pt có nghiệm $x=2$

edit hộ cái

Bài 85. Giải phương trình sau $$\sqrt{x-1}+\sqrt[3]{3x-7}+\sqrt[4]{4x-19}+\sqrt[5]{5x-24}+\sqrt[6]{6x-29}+\sqrt[7]{30x-22}=9$$

P/S: for fun là chính

Nhìn thấy trả có quy luật j cả. Lại dùng: Tính đơn điệu của hàm số

$$\sqrt{x-1}+\sqrt[3]{3x-7}+\sqrt[4]{4x-19}+\sqrt[5]{5x-24}+\sqrt[6]{6x-29}+\sqrt[7]{30x-22}=9 (*)$$
ĐK: $x\geq \frac{19}{4}$
+ Xét $x=5$ ta thấy là nghiệm của (*)
+ Xét $x>5$ ta thấy $VT_(*)>9$ suy ra loại
+ Xét $5>x\geq \frac{19}{4}$ thì cũng loại nốt

Vậy $x=5$ là nghiệm của pt đã cho

Topic này bị bỏ đói 4 ngày rồi. Cho nó ăn một bữa nhẹ vậy:

Bài 82: Giải phương trình:

$6\sqrt{4x-1}+2\sqrt{3-x}=3x+14$

thế còn trường hợp 1 âm 1 dương thì sao?

1 âm 1 dương thì pt vô nghiệm mà "bác" . Một cái âm thì làm sao áp dụng cô si được ?

Bài 74: Giải phương trình:

\[
\sqrt[5]{{x - 1}} + \sqrt[3]{{x + 8}} = x^3 + 1
\]

Bài này ko biết đáp của nó như thế nào? Nhưng kết quả là ở đây

Bài 17 :
Giải PT: $(4x-1)\sqrt{x^{2}+1}= 2x^{2}+2x+1$

Bài này ta còn phương pháp khác là "Cần cù bù thông mình"

$ \Leftrightarrow \left( {16{x^2} - 8x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = {\left( {2{x^2} + 2x + 1} \right)^2}$
$\Leftrightarrow x(3x - 4)(4{x^2} + 3) = 0$
$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\left( {false} \right)\\
x = \frac{4}{3}\left( {True} \right)
\end{array} \right.$

bài toán đã được giải quyết

Bài 15:
Giải phương trình: $\sqrt {2{x^2} - 9x + 4} + 3\sqrt {2x - 1} = \sqrt {2{x^2} + 21x - 11}$

Bài 11 :
Giải PT : $2(x^{2}+2)= 5\sqrt{x^{3}+1}$

Bài này cũng chưa có ai trả lời này

Lời giải:

Đặt $\sqrt {x + 1} = a \ge 0;\sqrt {{x^2} - x + 1} = b \ge 0$.

Thì pt: $\Leftrightarrow 5ab = 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \Leftrightarrow \left( {2a - b} \right)\left( {a - 2b} \right) = 0$

Tới đây thì xét:
$\left[ \begin{array}{l}
2a - b = 0\\
a - 2b = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2a = b\\
a = 2b
\end{array} \right.$
Thay lại ta tìm được: $x = \frac{{5 \pm \sqrt {37} }}{2}$

Bài 12: Giải pt$\sqrt[8]{1-x}+\sqrt[8]{1+x}+\sqrt[8]{1-x^2}=3$

Tóm tắt:
Đặt: $1-x=a$ và $1+x=b$: Ta có $a+b=2$ và pt : $\Leftrightarrow \sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b} + \sqrt[8]{{ab}} = 3$
Tới đây áp dụng BĐT cô-si dạng:
$\sqrt {xy} \le \frac{{x + y}}{2}$ Ta cm được VT=VP

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=1 \Leftrightarrow x=0$

Bài 20: Giải phương trình:
$$\sqrt{2x-1}+x^2-3x+1=0$$

\[đkxđ: x \ge \frac{1}{2}\]
Ta tiếp tục áp dụng pp "cần cù bù thông minh" cho bài này
\[\sqrt {2x - 1} + {x^2} - 3x + 1 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \sqrt {2x - 1} = - {x^2} + 3x - 1\]
\[ \Leftrightarrow {x^4} - 6{x^3} + 11{x^2} - 8x + 2 = 0\]
\[ \Leftrightarrow {(x - 1)^2}({x^2} - 4x + 2) = 0\]
\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 1 = 0\\
{x^2} - 4x + 2 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 2 \pm \sqrt 2
\end{array} \right.\]

Kết hợp với $ĐKXĐ$ thì pt có 2 nghiệm là: $x = 1;2 + \sqrt 2 $
Tới đây đơn giản rồi ...

Bài 19: Giải phương trình:
$$7x^2+7x=\sqrt{\frac{4x+9}{28}}$$ với $x>0$

Ta lại tiếp tục áp dụng pp "Cần cù bù thông minh" vào bài này

\[7{x^2} + 7x = \sqrt {\frac{{4x + 9}}{{28}}} \]
\[ \Leftrightarrow 28\left( {49{x^4} + 98{x^3} + 49{x^2}} \right) = 4x + 9\]
\[ \Leftrightarrow \left( {14{x^2} + 12x - 1} \right)\left( {98{x^2} + 112x + 9} \right) = 0\]

Giải 2 pt trên ta được 4 nghiệm nhưng chỉ có 1 nghiệm thỏa mãn đk là: $x = \frac{{5\sqrt 2 - 6}}{{14}}$

Làm một bài đánh dấu mốc nha

Bài 70: Giải hệ pt:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x^4} + {y^2} = \frac{{697}}{{81}}\\
{x^2} + {y^2} + xy - 3{\rm{x}} - 4y + 4 = 0
\end{array} \right.\]

Bài 71: GHPT
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + {z^2} + {t^2} = 50\\
{x^2} - {y^2} + {z^2} - {t^2} = - 24\\
x{\rm{z}} = yt\\
x - y + z + t = 0
\end{array} \right.\]

Đề đúng rồi bạn à, mấy câu tương tự:
Bài 65:
$$20x^{2} + 52x+53= \sqrt{2x-1}$$

Thử làm bài này vậy

\[20{x^2} + 52x + 53 = \sqrt {2x - 1} \]

\[ \Rightarrow dk:x \ge \frac{1}{2}\]

\[ \Leftrightarrow 400{x^4} + 2704{x^2} + 2080{x^3} + 2120{x^2} + 5510x + 2810 = 0\]

\[ \Leftrightarrow 2(2{x^2} + 5x + 5)(100{x^2} + 270x + 281) = 0\]

\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
2{x^2} + 5x + 5 = 0(f{\rm{as}}le)\\
100{x^2} + 270x + 281 = 0(f{\rm{as}}le)
\end{array} \right.\]

Vậy pt đã cho vô nghiệm

Ko hiểu sao pt này lại có 2 nghiệm ảo nữa chứ

\[ \pm \frac{1}{4}i\left( {\sqrt {15} \pm 5i} \right)\]

Bài 66:
$$-18x^{2} + 17x-8= \sqrt{1-5x}$$

Bài này cũng có 2 nghiệm ảo là: \[\frac{1}{{18}}\left( {10 \pm i\sqrt {89} } \right)\]

Bài 64:
$x^{2}-4x+2=\sqrt{x+2}$
L: Đánh dấu số thứ tự bài nhé bạn.

Bạn nêu cách giải bài này được không?

P/s: $x^{2}-4x+3=\sqrt{x+2}$ thì cũng chịu

Tiếp nha! Cực khó nè!
$(x+1)\sqrt{x^{2}-2x+3} = x^{2} +1$

Bài này đơn giản là áp phương pháp: "Cần cù bù thông minh"

\[(x + 1)\sqrt {{x^2} - 2x + 3} = {x^2} + 1 \Rightarrow dk:x \ge - 1\]
\[ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 2x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) = {\left( {{x^2} + 1} \right)^2}\]
\[ \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^3} + 3{x^2} + 2{x^3} - 4{x^2} + 6x + {x^2} - 2x + 3 = {x^4} + 2{x^2} + 1\]
\[ \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x - 2 = 0\]
\[ \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt 2 (True)\]

Vậy nghiệm của pt là $ \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt 2 $

$\fbox{$45$}$ Giải phương trình sau $x^2-4x+6=\sqrt{2x^2-5x+3}+\sqrt{-3x^2+9x-5}$

$x^2 - 4x + 6 = \sqrt {2{x^2} - 5x + 3} + \sqrt { - 3{x^2} + 9x - 5} \left( 1 \right)$
Ta có:

$V{T_{\left( 1 \right)}} = {\left( {x - 2} \right)^2} + 2 \ge 2$

Dấu bằng xảy ra khi $x=2 \left( * \right)$

$V{P_{\left( 1 \right)}} \le \sqrt { - 2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 4} = 2)$

Dấu bằng xảy ra khi $x=2 \left( *' \right)$

Từ $\left( * \right)$ và $\left( *' \right)$ thì nghiệm của pt là: $x=2$

Bài 5: 

Cho $x,y,z$ là nghiệm của hệ 2 phương trình:

$x^2  + xy + y^2  = 3 $ và $y^2  + yz + z^2  = 16 $