PTS hay sao mà đùi trắng hơn cả dùng OMO thế

Tắm bằng nước javen 3 lần/ ngày

Bài 112: Cho x,y,z > 0 và $x^2+y^2+z^2=3$
CMR: $\frac{(x^2+y^2+z^2)^3}{(x^3+y^3+z^3)^2}\leq 3$
Singapore MO 2001
Bài này mặc dù là bài thi quốc tế nhưng bài này khá đơn giản

CM: ĐPCM $\Leftrightarrow (x^3+y^3+z^3)^2\geq\frac{1}{3}(x^2+y^2+z^2)^3$

Ta có:$(x^3+y^3+z^3)(x^3+y^3+z^3)(1+1+1)\geq (x^2+y^2+z^2)^3$ ( Holder)
$\Rightarrow $ ĐPCM

Nhưng mà dùng Holder sẽ ngắn đi "cơ số" bước biến đổi như trên đấy Ko phải lăn tăn nhiều =))

Bài 64:
$x^{2}-4x+2=\sqrt{x+2}$
L: Đánh dấu số thứ tự bài nhé bạn.

Xem lại đề bài đi bạn Mình nghĩ là $x^2-4x+3=\sqrt{x+2}$ thì mới chuẩn.

Ờ mà hết bài rồi thì phải. Thôi anh em làm tạm :
Bài 59: Giải hệ phương trình sau:
$$(I)\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2\\ \frac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{x}}=2\end{matrix}\right.$$
------------------

Lời giải khác

$PT\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}=4-4\sqrt{2-\frac{1}{y}}+2-\frac{1}{y} & & \\ \frac{1}{y}=4-4\sqrt{2-\frac{1}{x}}+2-\frac{1}{x}& & \end{matrix}\right.\Rightarrow \sqrt{2-\frac{1}{y}}=\sqrt{2-\frac{1}{x}}\Rightarrow x=y$

Thay $x=y$ vào phương trình ban đầu, có

$\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{x}}=2\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=1(True)$

Vậy $\fbox{$x=y=1$}$

Bài 57: Giải phương trình $x^2-2x=2\sqrt{2x-1}$. Thử áp dụng cách ở trên nhé.

Lời giải khác

Đưa về hệ đối xứng, đặt $\sqrt{2x-1}=y-1 \Rightarrow (y-1)^2+1=2x$ (1)

Mặt khác, từ đề bài, ta có $(x-1)^2-1=2(y-1) \Leftrightarrow (x-1)^2+1=2y$ (2)

Từ (1)(2)

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (y-1)^2+1=2x & & \\ (x-1)^2+1=2y & & \end{matrix}\right.\Rightarrow (x+y)(y-x)=0\Rightarrow x=y\vee x=-y$

$x=y\Rightarrow \sqrt{2x-1}=x-1\Rightarrow x=2+\sqrt{2}(True)$

$x=-y\Rightarrow \sqrt{2x-1}=-x-1(False)$

Vậy $\fbox{$x=2+\sqrt{2}$}$

-----------------------------------------------------------

Bài 58 Giải phương trình

$\sqrt[3]{x-9}=(x-3)^3+6$

Bạn nêu cách giải bài này được không?

P/s: $x^{2}-4x+3=\sqrt{x+2}$ thì cũng chịu

, nhầm nhọt 1 chút, $x^2-4x=\sqrt{x+2}$, còn $x^2-4x+2=\sqrt{x+2}$ thì đúng là bó tay

------------------------------------------

Đề đúng rồi bạn à, mấy câu tương tự:
Bài 65:
$$20x^{2} + 52x+53= \sqrt{2x-1}$$
Bài 66:
$$-18x^{2} + 17x-8= \sqrt{1-5x}$$

Không biết bạn có phương pháp gì với những bài thế này không?

Hâm nóng topic bằng một bài nhẹ

Bài 77. Giải hệ phương trình sau $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+2x+6}=y+1 & & \\x^2+xy+y^2=7 & & \end{matrix}\right.$

----------------

Lâu rồi chưa thấy ai chém, mình làm luôn còn post bài mới

Lời giải.

ĐK:...........

$HPT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+2x+6=y^2+2y+1 & & \\ \frac{1}{4}. \left ( 3(x+y)^2+(x-y)^2 \right )=7 & & \end{matrix}\right.$

Đặt $\left\{\begin{matrix} x+y=a & & \\ x-y=b & & \end{matrix}\right.$

$HPT\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b(a+2)=-5 & & \\3a^2+b^2=28 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-1 & & \\ b=-5 & & \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} a=3 & & \\b=-1 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-3 & & \\y=2 & & \end{matrix}\right. \vee \left\{\begin{matrix} x=1 & & \\ y=2 & & \end{matrix}\right.$

Vậy $\fbox{$(x;y)=(1;2);(-3;2)$}$

Chú ý rằng: $x^2+y^2+xy=\frac{1}{4}.(3(x+y)^2+(x-y)^2)$

Bài 85. Giải phương trình sau $$\sqrt{x-1}+\sqrt[3]{3x-7}+\sqrt[4]{4x-19}+\sqrt[5]{5x-24}+\sqrt[6]{6x-29}+\sqrt[7]{30x-22}=9$$

P/S: for fun là chính

Bài 79. Giải phương trình sau $x^2+\sqrt{x+5}=5$

P/S : Giải bằng 3 cách nhé

Bài 78. Giải phương trình $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}+x+2y+\frac{1}{2}=\sqrt{(x^2+2x+3)(-y^2+4y-2)}$

Nhân bài làm của bạn danganhaaa, mình cũng xin nói thêm về cách 3 của bạn : Đặt $2y-3=\sqrt{4x+5}$

Nhiều bạn cũng sẽ thắc mắc, tại sao lại đặt như thế

Xét phương trình $2x^2-6x-1=\sqrt{4x+5}$, ta đặt $\sqrt{4x+5}=ay+b$ để đưa về hệ đối xứng (II), nghĩa là ta có hệ sau

$\left\{\begin{matrix} (ay+b)^2=4x+5 & & \\4x^2-12x-2=2(ay+b) & & \end{matrix}\right.$, để hệ này là đối xứng, ta dễ dàng suy ra

$\left\{\begin{matrix} a=2 & & \\ b=-3 & & \end{matrix}\right.$

Vậy ta đặt $\sqrt{4x+5}=2y-3$, để đưa về hệ đối xứng.



Bài 57: Giải phương trình $x^2-2x=2\sqrt{2x-1}$. Thử áp dụng cách ở trên nhé.

Mới nghĩ ra lời giải "cực độc " và cũng là "biện pháp trị liệu" cho dạng này

Lời giải:

+Xét x=0 ta thấy là nghiệm của pt
+Xét x>0, Vế phải của pt nhỏ hơn 1, vế trái của pt lớn hơn 1. Suy ra pt vô nghiệm
+Xét x<0, Vế phải của pt lớn hơn 1, vế phải của pt nhỏ hơn 1. Suy ra pt vô nghiệm

Kết luận: vậy pt đã cho có duy nhất 1 nghiệm là $x=0$

Có vẻ không hợp lí lắm

• $\left\{\begin{matrix} x>0\Rightarrow \sqrt[5]{x-1}>-1 & & \\\ x>0 \Rightarrow \sqrt[3]{x+8}>2 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow VT>1$
• $x>0\Rightarrow x^3>0\Rightarrow x^3+1>1$

Điều này không khẳng định được điều gì


---------------------------------------

Sory! Nhưng hình như đề thi hsg vòng 2 huế năm 2003-2004 đề là $\sqrt[5]{{x - 1}} + \sqrt[3]{{x + 8}} = - {x^3} + 1$ thì phải Mình lấy cái đề trên mạng quên ko coi trong topic

Mình cũng nghĩ thế, kiểu bài này, xét nghiệm gần như là hướng đi duy nhất, không xét được thì

Bài 50:
Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x + y} = \sqrt[3]{{x + y}}(1) \\
\sqrt {x - y} = \sqrt[3]{{x - y - 12}}(1) \\
\end{array} \right.$
___

Đặt $\sqrt[6]{x+y}=a(a\geq0)$

$(1)\Leftrightarrow a^3=a^2\Leftrightarrow a^2(a-1)=0\Leftrightarrow a=0\vee a=1(True)$

Trường hợp 1: $a=1$

$x+y=1\Rightarrow x=1-y$. Thế vào $(2)$ ta được

$\sqrt{1-2y}=\sqrt[3]{1-2y-12}\Rightarrow (1-2y)^3=(1-2y-12)^2\Leftrightarrow 1-2y=4$

$\Leftrightarrow y=\frac{-3}{2}\Rightarrow x=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}(False)$

Trường hợp 2: $a=0$

$x+y=0\Rightarrow x=-y$. Thế vào (2) ta được

$\sqrt{-2y}=\sqrt[3]{-2y-12}\Rightarrow -8y^3=4y^2+48y+144\Leftrightarrow -4(y+2)(2y^2-3y+18)=0$

$\Leftrightarrow y=-2\Rightarrow x=2(False)$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

$\boxed{\text{Bài 24}}$:Giải pt
$$x^4+4x^3+5x^2+2x-10=12\sqrt{x^2+2x+5}$$

Đặt $\sqrt{x^2+2x+5}=a (a\geq0)$

Nhận thấy $a^4=(x^4+4x^3+5x^2+2x-10)+9(x^2+2x+5)-10\Rightarrow VT=a^4-9a^2+10$

Phương trình được viết lại là

$a^4-9a^2-12a+10=0$

$\Leftrightarrow (a^2-4a+2)(a^2+4a+5)=0$

$\Leftrightarrow a=2-\sqrt{2}\vee a=2+\sqrt{2}$

Với $a=2-\sqrt{2}$ phương trình vô nghiệm.

Với $a=2+\sqrt{2}$, phương trình có nghiêm $x=-1-\sqrt{2(1+2\sqrt{2})}\vee x=\sqrt{2(1+2\sqrt{2})}-1$

Vậy $\fbox{$x=-1-\sqrt{2(1+2\sqrt{2})}\vee x=\sqrt{2(1+2\sqrt{2})}-1$}$.

Tiếp tục nào

Bài 22: Giải phương trình:
$$3x+4-\sqrt{2x+1}=\sqrt{x+3}$$

ĐKXĐ: $x\geq\frac{-1}{2}$

$PT\Leftrightarrow \sqrt{x+3}+\sqrt{2x+1}=3x+4$

Ta nhận thấy rằng, theo bất đẳng thức Bunhiakopski thì

$VT\leq\sqrt{2(3x+4)}$

Mặt khác, lại có

$\sqrt{2(3x+4)}< 3x+4$ với mọi $ x>\frac{-2}{3}$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 20: Giải phương trình:
$$\sqrt{2x-1}+x^2-3x+1=0$$

Bài 20:

$PT\Leftrightarrow (x-1)^2=\frac{(x-1)^2}{x+\sqrt{2x-1}}\Leftrightarrow (x-1)^2(1-\frac{1}{x+\sqrt{2x-1}})=0$

$\Leftrightarrow x-1=0\vee 1-\frac{1}{x+\sqrt{2x-1}}=0$

$\Rightarrow x=1$ hoặc $1-\frac{1}{x+\sqrt{2x-1}}=0$

$1-\frac{1}{x+\sqrt{2x-1}}=0\Leftrightarrow x+\sqrt{2x-1}=1\Leftrightarrow \sqrt{2x-1}=1-x \Leftrightarrow x=2-\sqrt{2}$

Bài 18:

$PT\Leftrightarrow \sqrt{x-1}(\sqrt{2x-7}+\sqrt{3x-18}-\sqrt{7x-1})=0$

Cái này cơ bản rồi, ra nghiệm $\fbox{x=1;x=9}$

Bài 31:
Giải phương trình:
$\sqrt {\frac{{{x^3} + 1}}{{x + 3}}} + \sqrt {x + 1} = \sqrt {{x^2} - x + 1} + \sqrt {x + 3}$
___

Biến đổi hệ quả

$PT\Rightarrow \sqrt{\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{x+3}}+\sqrt{x+1}=\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x+3}\Rightarrow (\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x+3})(\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+3}}-1)=0$

PT này vô nghiêm. Vậy phương trình ban đầu vô nghiệm.

Bài 34:
Giải phương trình: $\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + 3x - 10} \right) = x - 2$
___

Đặt $\sqrt{x-1}=a(a\geq0)$ suy ra $x=a^2+1$

Phương trình viết lại thành

$(a+1)(3a^2+a-7)=(a-1)(a+1)\Leftrightarrow (a+1)(3a^2-6)=0\Leftrightarrow a=\sqrt{2}$

Trở lại ẩn $x$, ta có

$\sqrt{x-1}=\sqrt{2}\Leftrightarrow x=3$

Vậy $\fbox{$x=3$}$

Bài 49: Giải pt
$$2x^2-5x+2=4\sqrt{2(x^3-21x-20)}$$

Lời giải:

ĐKXĐ: các biểu thức dưới căn không âm.

$PT\Leftrightarrow 2x^2-5x+2=4\sqrt{2(x-5)(x+1)(x+4)}$

$\Leftrightarrow 2x^2-5x+2=4\sqrt{2}\sqrt{(x^2-4x-5)(x+4)}$

$\Leftrightarrow 2(x^2-4x-5)+3(x+4)=4\sqrt{2}\sqrt{(x^2-4x-5)(x+4)}$

Đặt $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2-4x-5}=a(a\geq0) & & \\\sqrt{x+4}=b(b\geq0) & & \end{matrix}\right.$

Phương trình trở thành $2a^2+3b^2-4\sqrt{2}ab=0$

$\Leftrightarrow a=\frac{1}{\sqrt{2}}.b\vee a=\frac{3}{\sqrt{2}}.b$

Trường hợp 1:

$a=\frac{1}{\sqrt{2}}.b \Rightarrow \sqrt{x^2-4x-5}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{x+4}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+4\geq0 & & \\ x^2-4x-5=\frac{1}{2}(x+4) & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}(9+\sqrt{193})\vee x=\frac{1}{4}(9-\sqrt{193})(True)$

Trường hợp 2:

$a=\frac{3}{\sqrt{2}}.b \Rightarrow \sqrt{x^2-4x-5}=\frac{3}{\sqrt{2}}\sqrt{x+4}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+4\geq0 & & \\ x^2-4x-5=\frac{9}{2}(x+4)& &\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}(17+3\sqrt{73})\vee x=\frac{1}{4}(17-3\sqrt{73})(True)$

Vậy $\fbox{$S=\frac{1}{4}(17-3\sqrt{73});\frac{1}{4}(17+3\sqrt{73});\frac{1}{4}(9-\sqrt{193});\frac{1}{4}(9+\sqrt{193})$}$

P/S: Cái dấu hệ hoặc viết thế nào ấy nhỉ toàn phải viết $\vee$.

Bài 47: Giải phương trình sau $\sqrt{\frac{5\sqrt{2}+7}{x+1}}+4x=3\sqrt{2}-1$

Lời giải khác

ĐKXĐ:.....

$PT\Leftrightarrow \sqrt{\frac{(\sqrt{2}+1)^3}{x+1}}+4x=3\sqrt{2}-1$

Biến đổi một chút, ta được phương trình mới có dạng

$\sqrt{\frac{(\sqrt{2}+1)^3}{x+1}}=3(\sqrt{2}+1)-4(x+1)$

Đặt $\left\{\begin{matrix} \sqrt{\sqrt{2}+1}=a(a>0) & & \\ \sqrt{x+1}=b(b\geq0) & & \end{matrix}\right.$

Phương trình được viết lại thành $\frac{a^3}{b}+4b^2=3a^2\Leftrightarrow \frac{a^3}{2b}+\frac{a^3}{2b}+4b^2=3a^2$

Theo bất đẳng thức Cauchy (áp dụng trực tiếp cho 3 số vế trái)

Nhận thấy, $VT \geq VP$. Dấu bằng xảy ra $x=\frac{\sqrt{2}-3}{4}$

Vậy $\fbox{$x=\frac{\sqrt{2}-3}{4}$}$.

Bài 43: Tìm nghiệm dương của phương trình $2x+\frac{x-1}{x}=\sqrt{1-\frac{1}{x}}+3\sqrt{x-\frac{1}{x}}$

Bài 44: Giải phương trình$\sqrt{x-1}+\sqrt{x^3+x^2+x+1}=1+\sqrt{x^4-1}$

Bài 45: Giải phương trình sau $x^2-4x+6=\sqrt{2x^2-5x+3}+\sqrt{-3x^2+9x-5}$

Bài 46: Giải phương trình sau $2(x^2-3x+2)=3\sqrt{x^3+8}$

Bài 47: Giải phương trình sau $\sqrt{\frac{5\sqrt{2}+7}{x+1}}+4x=3\sqrt{2}-1$

Bài 39
Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{x+4}{-2y+1}}+\sqrt{\frac{-2y+1}{x+4}}=4\\ x-y^{2}=7 \end{matrix}\right.$
Bài 40
Giải hệ
$\left\{\begin{matrix} 2x^{2}-y^{2}=-2\\ x^{2}y^{2}-3x^{2}=28 \end{matrix}\right.$

Bài 42
Giải phương trình
$\sqrt{x(x+2)}+\sqrt{x(x-5)}=\sqrt{x(x+3)}$

Bài 39: Giải ra số rất là "đẹp", xem lại hộ mình cái đề nhé !!
Bài 42:
Biến đổi hệ quả .
$PT\Rightarrow \sqrt{x}(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-5}-\sqrt{x+3})\rightarrow x=0\vee \sqrt{x+2}+\sqrt{x-5}=\sqrt{x+3}\rightarrow x=0\vee x=2\sqrt{\frac{19}{3}}(true)$
Bài 40:
Thế $y^2=2x^2+2$ từ phương trình trên xuống phương trình dưới.
Phương trình dưới có dạng
$(2x^2+2)x^2-3x^2=28\Leftrightarrow x^2=4\Leftrightarrow x=\pm 2 \Rightarrow y=\pm \sqrt{10}$

Bài 56: Giải phương trình $2x^2-6x-1=\sqrt{4x+5}$