Trên bảng đen viết ba số $\sqrt{2};2;\frac{1}{\sqrt{2}}$. Ta bắt đầu thực hiện trò chơi: Tại mỗi bước, ta chọn hai số trên bảng, chẳng hạn a và b; xóa chúng và thay vào 2 số $\frac{a+b}{\sqrt{2}}$ và $\frac{|a-b|}{\sqrt{2}}$. Chứng minh rằng dù chơi bao nhiêu lần thì ta cũng không thể có đồng thời ba số $\frac{1}{2\sqrt{2}} ;\sqrt{2}; 1+\sqrt{2}$
(đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên DHSPHN 2010)

Mình giải theo cách khác cơ.Đặt $(x^{2}-5x+1)=a; (x^{2}-4)=b$
Theo đề bài có ab=$6(x-1)^{2}$
Mà lại có: a-b=-5x+5=-5(x-1) (*) =>$(a-b)^{2}$=$25(x-1)^{2}$
<=>$a^{2}+b^{2}=37(x-1)^{2}$
<=>$(a+b)^{2}=49(x-1)^{2}$
=>a+b=7(x-1) hoặc a+b=-7(x-1)
Kết hợp với (*) ta được hai hệ phương trình. Giải ra ta có phương trình có 4 nghiệm phân biệt. (4 nghiệm này đều ko phải số nguyên)

Cho bốn số thực a,b,c,d đôi một khác nhau và đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau:
-Phương trình $x^{2}-2cx-5d=0$ có hai nghiệm là a và b
-Phương trình $x^{2}-2ax-5b=0$ có hai nghiệm là c và d
Chứng minh rằng: a+b+c+d=30

Giải phương trình:
$(x^{2}-5x+1)(x^{2}-4)=6(x-1)^{2}$

Lời giải:
Do gt nên $a^2+b^2+c^2|p$ mà $a^2+b^2+c^2 \geq 3 \Rightarrow a^2+b^2+c^2=p=a^4+b^4+c^4$.
\[
\begin{array}{l}
3\left( {a^4 + b^4 + c^4 } \right) \ge \left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right)^2 \Rightarrow 3p \ge p^2 \Rightarrow p \le 3 \\
p = a^4 + b^4 + c^4 \ge 3 \Rightarrow p = 3:True \\
\end{array}
\]

Có cách khác ko ạ! Cách này hơi khó hiểu

Nguyenta98: Không hề khó hiểu, vì $p$ nguyên tố nên ước của nó chỉ có thể là $1,p$ nên $a^2+b^2+c^2=p$ nên $a^2+b^2+c^2=p=a^4+b^4+c^4$
Áp dụng bdt dạng $3(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2$ ta thu ngay $3(a^4+b^4+c^4)\geq (a^2+b^2+c^2)^2 \rightarrow 3p\geq p^2 \rightarrow 3\geq p$ nên $p=3$

Bạn xem lại đề đi, 4x^{4} +4x^{2}+y^{2}-4 không phân tích thành nhân tử được theo $2x^2+y-2$

Nhưng đề nó thế mà.Ko sai đâu

Rút gọn biểu thức :
A=$(\frac{x-y}{2y-x}+\frac{x^{2}+y^{2}+y-2}{2y^{2}+xy-x^{2}}):\frac{4x^{4} +4x^{2}y+y^{2}-4}{x^{2}+y+xy+x}$

Tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng p=$a^{4}+b^{4}+c^{4}$ với a;b;c là các số nguyên dương sao cho:
$a^{4}+b^{4}+c^{4}$ chia hết cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}$
(Đề thi chuyên Toán DHSPHN 2011-2012)

Giải phương trình sau:
$\sqrt{12-\frac{3}{x^{2}}}+\sqrt{4x^{2}-\frac{3}{x^{2}}}=4x^{2}$