btw, từ "toricenly" này viết tiếng Anh là lùm sao nhể?

Toricelli (Evangelista), 1608-1647.

Theo mình hiểu một cách "trực giác" thì thích phân Lebesgue chia nhỏ miền giá trị (chứ không phải miền xác định như Rieman) rồi sau đó tích tổng diện tích các hình chữ nhật tương tự như Rieman.

Trực giác của bạn hay đấy . Theo tôi nhớ thì chính Lebesgue đã từng so sánh tích phân của ông với tích phân Riemann qua hình ảnh sau :

Bạn muốn đếm tiền trong bóp. Có hai cách đếm. Cách thứ nhất, bạn lần lược lấy từng tờ giấy bạc (hoặc từng đồng bạc cắc) từ trong bóp ra, theo thứ tự có sẵn trong bóp, rồi cộng dần dần lại. Đây là cách của Riemann (làm việc trên miền xác định). Cách thứ nhì, bạn lấy hết tài sản ra, rồi sắp lại thành từng chồng theo trị giá của mỗi tờ giấy : một chồng chỉ toàn những tờ 10$, một chồng chỉ gồm những tờ 20$... tính trị giá từng chồng rồi cộng lại. Đây là cách của Lebesgue (làm việc trên miền giá trị).

Dĩ nhiên, đây chỉ là cách nói "vui", không đả động gì đến độ đo.

Cám ơn bạn Phan Thành Nam (xin lỗi, bây giờ phải gọi là Hatucdao ) đã giải thích tận tường nguồn gốc của bài này. Có rất nhiều bđt đại số, nhất là những bđt có dấu căn, xuất phát từ hình học. Hóa ra bài này cũng thế :!: Đến đây thì 2TS xin đăng đáp án của bài này, nhưng dĩ nhiên chúng ta vẫn có thể tiếp tục thảo luận.

Lời giải
Không mất tổng quát ta giả sử . Ta có kết quả sau :

(1)

trong đó và (chứng minh ở cuối bài). Áp dụng (1), với chú ý là ta có







Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . Chính số 12 đã khiến cho các biểu thức dưới dấu căn trở thành "chính phương". Bây giờ, ta hãy chứng minh (1). Bình phương và rút gọn , ta được



Bình phương và rút gọn lần nữa, ta có BĐT tương đương



Vế trái của bđt này còn bằng



Do đó, bđt đúng vì . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .

Tiếp tục câu hỏi "thế 12 bằng http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?A" do thanhbinh0714 đưa ra. 2TS sẽ chứng minh rằng một điều kiện [b]cần.

Ta xét vấn đề một cách địa phương xung quanh điểm http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x=y=z=\dfrac{1}{3}, bằng khai triển Taylor. Đặt http://dientuvietnam...tex.cgi?x y z=1 nên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\bar{x}+\bar{y}+\bar{z}=0. Khi khai triển đến bậc 2, ta biết rằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\large\sqrt{x+\dfrac{(y-z)^2}{A}}\,=\,\sqrt{\dfrac{1}{3}+\bar{x}+\dfrac{(\bar{y}-\bar{z})^2}{A}}\,=\,\dfrac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{1+3\bar{x}+\dfrac{3(\bar{y}-\bar{z})^2}{A}}\,\simeq\,\dfrac{1}{\sqrt{3}}[1+\dfrac{3}{2}\bar{x}+\dfrac{3}{2A}(\bar{y}-\bar{z})^2-\dfrac{9}{8}\bar{x}^2]

Tương tự, ta cũng có

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\large\sqrt{y+\dfrac{(z-x)^2}{A}}\,\simeq\,\dfrac{1}{\sqrt{3}}[1+\dfrac{3}{2}\bar{y}+\dfrac{3}{2A}(\bar{z}-\bar{x})^2-\dfrac{9}{8}\bar{y}^2]

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\large\sqrt{z+\dfrac{(x-y)^2}{A}}\,\simeq\,\dfrac{1}{\sqrt{3}}[1+\dfrac{3}{2}\bar{z}+\dfrac{3}{2A}(\bar{x}-\bar{y})^2-\dfrac{9}{8}\bar{z}^2]

Cộng 3 công thức lại thì được

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\large\bar{x}+\bar{y}+\bar{z}=0, ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\large\bar{x}\bar{y}+\bar{y}\bar{z}+\bar{z}\bar{x}=-\dfrac{1}{2}(\bar{x}^2+\bar{y}^2+\bar{z}^2). Thế vào thì được

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{3\sqrt{3}}{2A}-\dfrac{3\sqrt{3}}{8},<,0, từ đó suy ra http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A,>,4 :pea Xin nhắc lại : đây chỉ là một khảo sát địa phương.

Câu hỏi độc đáo đấy :cafe Hãy thế số 12 bằng http://dientuvietnam...imetex.cgi?A>0. Dễ thấy rằng nếu http://dientuvietnam...imetex.cgi?A>12 thì vế trái với http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?A nhỏ hơn vế trái với 12, nên bđt còn hiệu lực.

Vấn đề là nếu http://dientuvietnam...metex.cgi?A<12. Dĩ nhiên là nếu http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?A rất "nhỏ" (http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?A để cho bđt tồn tại không ?

Riêng TS thì thật tình... không biết vì chưa suy nghĩ đến khía cạnh này. Trong đáp án, số 12 chỉ có công dụng giúp ta rút gọn một vài biểu thức dưới căn và làm cho chúng trở thành "chính phương". Bạn nào có ý kiến hay xin mời phát biểu :roll:

Đây, có liền lập tức cho thanhbinh0714

[quote]Trong hai số sau đây, số nào lớn hơn :

(1) http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?U, ta có 39 thừa số, từ http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?V, ta có 39 thừa số, từ http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?V "đối xứng" hơn không? Các bạn hãy khai thác .

Như đã hứa, đây là đáp án "chính thức" của bài đang thảo luận. Nhóm QL rất hoan nghênh mọi nhận xét của các bạn.

[quote]a/ Tìm tất cả các bộ số nguyên dương http://dientuvietnam...metex.cgi?a,b,c sao cho
http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?n sao cho tồn tại một bộ số nguyên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_1,x_2,\cdots,x_n thỏa mãn
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\leq\dfrac{3}{a^2} nên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{1}{12}\leq\dfrac{1}{a^2}, từ đó suy ra http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a\leq\lfloor\sqrt{12}\rfloor=3. Mặt khác, dễ thấy rằng không thể bằng 1 hoặc 2. Do đó, http://dientuvietnam...imetex.cgi?a=3.

Chuyển http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{1}{3^2} qua vế phải, ta được http://dientuvietnam...imetex.cgi?b=3.

Đến đây thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{1}{c^2}=\dfrac{5}{36}-\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{36}. Điều này bắt buộc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?c=6. Rốt cuộc, các bộ số nghiệm của câu này là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(a,b,c)=(3,3,6), cùng những bộ số hoán vị.

b/ Để tiện việc trình bày, ta hãy dùng thuật ngữ sau : ta nói rằng số nguyên n có tính chất P nếu tồn tại bộ số nguyên thỏa mãn câu hỏi, và ta viết http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P_n khi ấy. Bây giờ, ta hãy phát biểu một số nhận xét sau :

• (1) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P_n\,\Rightarrow\,P_{n+3}. Thật vậy, nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{1}{x^2_n} ra làm 4 phần bằng nhau, tức là
  
  http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P_n\,\Rightarrow\,P_{n+5}. Thật vậy, theo nhận xét trên n+3 có tính chất P. Áp dụng câu hỏi a), ta có
  
  http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P_n\,\Rightarrow\,P_{n+7}. Lý luận tương tự như trên, nhưng thế (**) vào hai trong 4 hạng số chót của

Vì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{1}{1^2}=1 nên ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P_1. Theo nhận xét thứ nhất, ta suy ra http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P_4,\,P_7, nói chung là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P_{3k+1} với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P_{(3k+1)+5}=P_{3(k+2)}, tức là ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P_{3\ell} với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P_{(3k+6)+5}=P_{3(k+3)+2}, tức là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P_{3\ell+2} với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P_m với mọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P_1,P_4,P_7 (nhận xét 1), http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P_6 (nhận xét 2), http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P_8 (nhận xét 3). Vậy, còn phải xét các trường hợp . Ta dễ chứng minh rằng trong những trường hợp đó, phương trình đưa ra vô nghiệm.

Kết luận, tất cả các số nguyên dương, ngoại trừ 2, 3 và 5, đều thỏa mãn câu hỏi B).

không biết x! được định nghĩa thế nào khi x thực nhỉ?

Bằng hàm Gamma : http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x!=\Gamma(x+1), với

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Gamma(z)=\int\limits_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}\,dt\; khi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\;z\in\mathrm{C}\setminus{0,-1,-2,-3,\cdots}

Đến đây thì mời bạn vuhung tiếp tục... chơi xấu :mrgreen

Xin lỗi thanhbinh0714 nhé, đọc lước qua nên hiểu lầm. Đây là đề bài THPT-1

Cho http://dientuvietnam...metex.cgi?x,y,z là 3 số thực không âm thỏa mãn [tex:]x+y+z=1$. Chứng minh bất đẳng thức

Ngoài bổ đề đã được đưa ra, cũng cần phải sử dụng (sau khi đã giả sử ).

Rất mong đọc bài của bạn cauchy10k.

Anh Tiêuson-trangsi ơi post đầ bài này lên đi ạ.

Nếu cho đáp án lên liền bây giờ thì e rằng không hợp với mục tiêu "thảo luận" của box này... Vậy, xin hướng dẫn chút nhé

Bài này là một sáng tác của bạn Phan Thành Nam (rất tích cực trên diễn đàn cũ, nhưng chưa thấy xuất hiện trên diễn đàn mới). Cách giải rất "kỳ lạ". Bắt đầu là như sau : không mất tổng quát, ta có thể giả sử . Ta sử dụng bổ đề :

(1)

trong đó . Các bạn hãy suy nghĩ cách thiết lập (1), cùng cách áp dụng (1) để chứng minh bài đưa ra nhé :clap

Đẳng thưc xảy ra khi x=y=z=1/3 phải không a?

Yes !

Cho n=0 vào thì đáp số của bạn chính xác : tất cả các số nguyên, ngoại trừ 2, 3 và 5, đều thỏa mãn câu hỏi B).

Cách giải của bạn blah phù hợp với tinh thần của đề bài. Mục đích của bài này là bắt ta phải lập luận kiểu : nếu n có tính chất đưa ra thì n+3 cũng vậy, vv... Từ đó đi "lượm" hết tất cả các trường hợp số nhỏ để suy ra kết quả tổng quát.

Cách giải của bạn không sử dụng câu hỏi a). Thật ra, nếu sử dụng câu hỏi a) thì có thể nhanh hơn một chút, nhưng đại khái vẫn như thế thôi. Bạn đã nhận xét

chỉ cần tách số đầu tiên (1/x1^2) thành tổng của 4 cái khác (4 cái 1/(x1/2)^2) là xong.

Nhưng ta cũng có thể thế một trong 4 cái đó bằng

http://dientuvietnam...etex.cgi?(a,b,c) là những số nguyên của câu a). Do đó, bài toán cũng sẽ đúng với (n+3)+2 = n+5.

Làm như vậy với 2 hạng số thay vì 1 thì ta suy ra bài toán đúng với n+7 (điều này chứng minh thẳng rằng 8 có tính chất đưa ra).

Nếu có ai còn muốn đóng góp ý kiến nào nữa thì rất hoan nghênh [cho câu a) chẳng hạn]. Vài ngày nữa nhóm QL sẽ post ra đây đáp án cho bài này.

3n + 8 = 3(n+2) + 2. Vậy, coi như bạn blah đã giải được cho : 4, 6, 7, cùng tất cả các số nguyên lớn hơn hoặc bằng 9. Tuy nhiên, đây chưa phải là là đáp số chính xác (còn thiếu 1 và 8), nhưng mời bạn trình bày vắn tắt cách mà bạn cho là "thủ công". Biết đâu đó lại là cách hay ?

phải chăng nên tổng quát bài toán trên?

Đề nghị cách mở rộng như sau. Nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x=(x_1,x_2,\cdots,x_n) là một bộ số (với http://dientuvietnam...tex.cgi?||.||_p là một chuẩn trên không gian http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathrm{R}^n. Kết quả của bạn euler được phát biểu như sau :

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p\rightarrow\infty thì http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?x thì ta sẽ có (phải chứng minh)

.