Định thức ma trận phản đối xứng cấp n với n chẵn không thay đổi nếu ta cộng thêm vào mỗi phần tử của ma trận một số cố định.

http://diendantoanho...deta2abb2deta2/

ở đây có này

Bạn ơi bài nếu nhân ra thì ta có A^3=A.nên có thể phân tích cái 2010 thành mũ 3 rồi mũbao nhiêu đấy.tiếp tục lại phân tách cái mũ mình vưà tìm đ̣c

ko phải,

$A^3=17A+16E$

Số giá trị riêng khác 0 và ma trận khả nghịch thì không làm thay đổi hạng. Cả hai đều có dạng

$$P\begin{bmatrix} I_r &0 \\ 0 &0 \end{bmatrix}Q$$

Thực sự thì mình vẫn chưa hiểu cách cm lắm, chúng ta có $rank A=rank B=r$ thì $rank (AB-I)=r$ à cậu? 

$$A\left ( AB-I \right )=0 \Rightarrow Im \left ( AB-I \right ) \subset \ker A \Rightarrow rank \left ( AB-I \right ) \leq n-rank A$$

Do $rank A = rank B$ và $rank \left ( AB-I \right )=rank \left ( BA-I \right )$ nên $rank \left ( BA-I \right ) \leq n- rank B$. Suy ra $Im \left ( BA-I \right ) \subset \ker B \Rightarrow B\left ( AB-I \right )=0$.

 $rank(AB-I)=rank(BA-I)$ cái này cm thế nào cậu

Cho $=$AB=\begin{bmatrix} 5 &11 \\11 &25 \end{bmatrix},BA=\begin{bmatrix} x &14 \\y &14 \end{bmatrix}$

Tìm $x,y,A,B$

Bài này dựa vào $ trace(AB)=trace(BA)$ suy ra được $x=30-14=12$.

Dựa thêm vào $det(AB)=det(BA)$ suy ra nốt được $(12.14)-14y=(5.25)-(11.11)$ hay $y=82/7$.

Sau đó thì $A=\begin{bmatrix} 5 &11 \\11 &25 \end{bmatrix}B^{-1}$

và $A=B^{-1}\begin{bmatrix} 12 &14 \\82/7 &14 \end{bmatrix}$ 

đặt $B^{-1}=\begin{bmatrix} a& b \\ c &d \end{bmatrix}$ , thay vào giải 4 hệ, và có 4 ẩn.

Hình như đề đúng là $x,y$ ở trên đường chéo cơ, như thế đáp án sẽ đẹp hơn.

 

Em vẫn chưa hiểu tại sao $\frac{D_{x}}{D}$ nguyên ạ ???

 

 theo cramer thì đó là nghiệm, mà nghiệm thì phải nguyên ( do đề bài cho nghiệm  nguyên mà)

$A,B  \in M_{n}(\mathbb{C}), rank (A)=rank (B), A^2B=A$ . Chứng minh $B^2A=B$

$A,B  \in M_{3}(\mathbb{C})$ Chứng minhh $det (AB-BA)=tr(AB(AB-BA)BA)$

Cho $A,B\in M_{3}(\mathbb{R}), (AB)^2=A^2B^2,(BA)^2=B^2A^2$ Chứng minh rằng $(AB-BA)^3=O_3$

Cho $A\in M_{3}(\mathbb{R}), A\not =I_3 , A^3=I_3$ Chứng minh rằng $rank (A^2+A+I_3)=1$

$A,B$ phải đồng dạng thì mới có $det(A+B)=det B$ chứ anh, nếu không lời giải của em phải có lỗi sai chứ ạ @@

Một bài với ý toán tương tự đã được thảo luận khá kỹ trên diễn đàn ta tại đây.

Nhưng em thấy đa thức đặc trưng của nó vẫn phù hợp với trace ạ

Cho $A$ là ma trận $3 \times 2$ và $B$ là ma trận $2 \times 3$ sao cho :

$AB=\begin{bmatrix} 1 &1 &2 \\ 2 &1 &3 \\ 2 &-1 &1 \end{bmatrix}$ Tính $BA$

Ma trận $A$ khác 0 nên có ít nhất một dòng khác 0, giả sử là dòng đầu tiên. Do hạng của $A$ bằng 1 nên bất kỳ hai dòng nào cũng phụ thuộc, tức các dòng khác đều tỷ lệ với dòng đầu tiên. Tức $A$ có dạng

$$\begin{pmatrix} x_1y_1 & x_1y_2 & \cdots & x_1y_n \\ x_2y_1 & x_2y_2 & \cdots & x_2y_n\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ x_ny_1 & x_ny_2 & \cdots & x_ny_n \end{pmatrix}=xy^T$$

với $x$, $y$ là các vector cột.

Khi đó $trace\left ( A \right )=y^Tx$ và $A^2=tr\left ( A \right )A; A^3=tr\left ( A \right )^2A$.

Do hạng của $A^2$ bằng 1 nên vết của $A$ khác 0. Do đó hạng của $A^3$ bằng 1.

hay, giờ mình đã biết tại sao $rank A=1$ thì $A^2=trace(A).A$.

Bài này còn 1 cách khác là sử dụng bất đẳng thức Frobenius. Khi đó $2=rank A.A+rank A.A \le  rank A+rank A.A.A \le rank A+rank A=2$ nên $rank A^3=1$

Mình biết là 2 ma trận đồng dạng thì 2 đa thức đặc trưng là bằng nhau, nhưng còn 2 đa thức đặc trưng bằng nhau thì tại sao nó lại đồng dạng?

mình chép ra lời giải nhé:

Giả sử $(A-B)$ khả nghịch.

Cho $A$ là ma trận cấp $n$ thỏa mãn $rank A=rank A^2=1$ .Tính $rank A^3$

ma trận khối $I_r$ là ma trận đơn vị cấp $r$, lý thuyết về biến đổi sơ cấp có thể đưa 1 ma trận về dạng đường chéo mà các phần tử trên đường chéo là 1 ấy.

Cho 2 ma trận:

$K=\begin{bmatrix} c& d &s &p \\ d &u &m &k\\ s&m &t &o\\ p&k &o&n \end{bmatrix}$

$T=\begin{bmatrix}c& \frac{2}{3}d & \frac{2}{5}s & \frac{2}{7}p \\ \frac{3}{2}d & u & \frac{3}{5}m & \frac{3}{7}k\\ \frac{5}{2}s& \frac{5}{3}m &t & \frac{5}{7}o\\ \frac{7}{2}p &\frac{7}{3}k & \frac{7}{5}o &n \end{bmatrix}$

Chứng minh 2 ma trận $K$ và $T$ đồng dạng.

(Đề thi KonTum)

GIải hệ phương trình:

$\begin{cases} XYX=I_2\\ YXY=I_2 \end{cases}$

với $X,Y$ ma trận cấp 2, và $I_2$ là ma trận đơn vị cấp 2.

Chứng minh rằng : Mỗi ma trận có hạng $r$ có thể viết thành tổng của $r$ ma trận có hạng 1 nhưng không thể viết thành  tổng của một số ít hơn $r$ ma trận có hạng 1

 nếu $A$ có hạng $r$ thì $A$ sẽ có dạng sau

$A=P\begin{bmatrix} I_r &0 \\ 0 &0 \end{bmatrix}$ với $P,Q$ là các ma trận khả nghịch, khi đó $r$ ma trận đó là $P\begin{bmatrix}I_i &0 \\ 0& 0 \end{bmatrix}Q$

với $1 \le i \le r$ và $I_i$ là ma trận vuông cấp $r$ chỉ có phần tử thứ $ii$ là bằng 1 , còn lại thì bằng 0 hết.

CHứng minh không thể viết được dựa vào bất đẳng thức :$ rank (A+B) \le rank A+rank B$ Khi đó

$r=rank (A)= rank (A_1+A_2+...+A_k) \le rank(A_1)+rank(A_2)+..+rank(A_k)=k$

vô lí

Chọn các số $b_1,b_2,...,b_n;c_1,c_2,...,c_n$ như sau.

$$b_1\in \mathbb{R}, c_1=a_{11}-b_1$$

$$b_2 \in \mathbb{R}:b_2 \neq b_1, b_2 \neq a_{22}-c_1; c_2=a_{22}-b_2$$

$$b_3 \in \mathbb{R}: b_3 \neq b_1, b_3 \neq b_2, b_3 \neq a_{33}-c_1, b_3 \neq a_{33}; c_3=a_{33}-b_3$$

................

Khi đó ta được các $b_k$ đôi một phân biệt, $c_k$ đôi một phân biệt, $a_{kk}=b_k+c_k$.

$$B=\begin{pmatrix} b_1 & 0 & \cdots & 0\\ a_{21} & b_2 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & b_n \end{pmatrix}$$

$$C=\begin{pmatrix} c_1 & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ 0 & c_2 & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & c_n \end{pmatrix}$$

Ta thấy $B$ và $C$ thoả mãn yêu cầu.

 $b_2 \not= a_{22}-c_1$ thì có tác dụng gì ạ,  hình như không có điều kiện $c_1 \not =c_2$

Cho ma trận vuông A cấp $n$ với $n \in \mathbb{N}^*$ Chứng minh rằng có thể tách A thành 2 ma trận cấp n có n giá trị riêng khác nhau????

Cho A là ma trận vuông cấp n với $rank(A)=r$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên k thỏa mãn $r\leq k\leq n$, ta luôn tìm được một ma trận vuông B hạng $k-r$ sao cho $AB=O$

gọi cơ sở của ker A là $\{v_1,v_2,...,v_{n-r}\}$ ta lấy trong tập này ra $\{v_1,v_2,..,v_{k-r}\}$  , chọn luôn chúng làm các cột từ 1 đến k-r của ma trận B, các cột còn lại cho bằng 0, thì ma trận B đó thỏa mãn yêu cầu đề bài.

nói chung là : nếu tồn tại ma trận $B$ có hạng bé hơn $ker A$, sao cho $AB=0$