Xin xem lại đề bài

Không mất tính tổng quát, giả sử $x \leq y \leq z \leq t \leq k$

Ta có $x^{2}y \leq z^{2}t$

$<=> yx^{2} + y^{2}z \leq y^{2}z + z^{2}t$

$<=> \frac{y}{y^{2} + zt} \leq \frac{z}{x^{2} + yz}$

$<=> \frac{y^{2}}{y^{2} + zt} \leq \frac{yz}{x^{2} + yz}$

$<=> \frac{y^{2}}{y^{2} + zt} + \frac{x^{2}}{x^{2} + yz} \leq 1$

Ba phân số còn lại đều nhỏ hơn 1 nên ta có điều phải chứng minh

Đặt $a=\dfrac{2(2-t)}{t^2+1}$ với $0\leqslant t\leqslant 2$. Từ đây ta có $2t-b-c=a(bc-t^2)\Rightarrow (b+c)^2\geqslant 4t^2\geqslant 4bc$. Giả sử $a=\text{min}\{a,b,c\}$ thì $a\leqslant 1$

$(1-a)(b+c-2t)+t^2-bc=(a^2-a-1)(bc-t^2)\geqslant 0$ Do $a^2-a-1<0$ và $bc\leqslant t^2$

Thế thì ta chỉ cần chứng minh $a+2t(1-a)-t^2\geqslant 0\Leftrightarrow (t+2)(t-1)^2(t-2)\geqslant 0$ luôn đúng.

Cho mình xin hỏi cách đặt $a=\dfrac{2(2-t)}{t^2+1}$ có vẻ không tự nhiên. Mong bạn chỉ cho mình vì sao đặt như vậy hoặc bạn có thể chia sẻ bất kì tài liệu gì về cách đặt đó được không ?

Mình mới nghĩ ra một cách hay hơn.

$a + b + c + abc \ge 4\sqrt[4]{a^2b^2c^2} = 4\sqrt{abc} => 1 \ge abc => a + b + c \ge 3 => a + b + c \ge 3abc$

Mà $a, b, c \ge 0 => a + b + c \leq 4$

$=> (a + b + c -3)(a + b + c -4) \leq 0$

$<=> (a + b + c)^2 - 7(a + b +c) + 12 \leq 0$

$<=> 4(a + b + c) - 3abc \ge (a + b + c)^2 \ge 3(ab + bc + ca)$

$=> a + b + c \ge ab +bc + ca (Do$  $a + b + c \ge 3abc) (đ.p.c.m)$

Cho $a, b, c \ge 0$. $a + b + c + abc = 4$. CMR $a + b + c \ge ab + bc + ca$