Một cách khác cho bài hàm
$+)a=0\Rightarrow $$f(x+y+f(y))=f(x)$ nên tồn tại hàm hằng thỏa mãn. Vậy a=0 thỏa./
+) a khác không, dùng phép thế đối xứng dễ suy ra f đơn ánh. $P(x,0)\Rightarrow f(0)=0$ từ đây dễ dàng suy ra f(0)=0 là duy nhất
$P(0,y)\Rightarrow f(y+f(y))=ay$ $P(-y-f(y),y)\Rightarrow f(-y-f(y))=-ay$
Do f đơn ánh nên ta suy ra $f(x)=-f(-x)$
Thay y bởi $\frac{-f(x)}{a}$ ta được $x+f(\frac{-f(x)}{a})+\frac{-f(x)}{a}=0$
Do f là hàm lẻ nên từ đây ta suy ra f cộng tính hay $f(x+y)=f(x)+f(y)$
Vậy với x thuộc Z thì f là hàm tuần hoàn với chu kì 2016 nên $f(x)=2016x$ với x nguyên( do f(1)=2016 )
Vậy số a chỉ có thể là 2016.2017( do f(2017)=a)
a=2016.2017 đúng khi và chỉ khi $f(x+y+f(y))=f(x)+2016.2017y$ tồn tại một hàm thỏa, dễ thấy hàm đó là $f(x)=2016x$
Vậy a=2016.2017 thỏa./