DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC VMF
ĐỀ THI MẪU ( Số 1 ) KÌ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN 2016
( Ngày 1 )
BÀi 1 : Tìm $a$ lớn nhất sao cho $3^m \geq m^3+a, \forall m \in N, m \geq 4$
BÀI 2 : Cho AB cố định. Với mỗi điểm M không nằm trên AB, tia phân giác trong $\widehat{AMB}$ cắt (AB) tại N, tia phân giác ngoài $\widehat{AMB}$ cắt NA,NB tại P,Q. (NQ)$\cap$MA={M,R}, (NP)$\cap$MB={M,S}. Cmr đường trung tuyến ứng với đỉnh N của $\bigtriangleup$NRS luôn đi qua điểm cố định khi M thay đổi
BÀi 3 : a. Cho tam giác ABC. Trên các đường thẳng AB, BC, CA lấy các điểm P, Q, R tương ứng. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp của tam giác APR, BPQ, CQR đồng quy tại một điểm.
b. Cho 4 đường tròn $S_1 ,S_2 ,S_3 ,S_4$ . Giả sử $S_1, S_2$ cắt nhau tại $A_1 , A_2$ ; $S_2 ,S_3$ cắt nhau tại $B_1 ,B_2$ ; $S_3 ,S_4$ cắt nhau tại $C_1 ,C_2$ ; $S_4 ,S_1$ cắt nhau $D_1 ,D_2$ . Chứng minh rằng nếu các điểm $A_1 , B_1 ,C_1 ,D_1$ nằm trên 1 đường tròn S ( hoặc đường thẳng) thì các điểm $A_2 ,B_2 ,C_2 ,D_2$ cũng nằm trên 1 đường tròn ( hoặc đường thẳng).
BÀI 4 : Một dãy có $2015$ phòng, ban đầu trong mỗi phòng có 1 người. Sau mỗi ngày có 2 người nào đó chuyển sang phòng kề với phòng mình đang ở nhưng theo $2$ chiều ngược nhau. Hỏi :
a/ Liệu có một ngày nào đó không có người nào ở trong phòng chẵn hay không?
b/ Liệu có một ngày nào đó có $1008$ người ở phòng $2015$ được không?
( Ngày 2 )
BÀI 5 : Chứng minh rằng tồn tại vô hạn bộ số nguyên dương $(a,b)$ đôi một nguyên tố cùng nhau thỏa mãn 2 phương trình $x^2+ax+b=0$ và $x^2+2016ax+b=0$ đều có nghiệm nguyên
BÀI 6 : Tìm tất cả các hàm $f:R->R$ thỏa mãn :
$f(y^2)+xf(x-f(y))=f^2(x-y)+xf(y), \forall x,y \in R$
BÀI 7 : Một bữa tiệc được tổ chức tại VMF nhân kỷ niệm sinh nhật lần thứ 6, có tổng cộng $1008$ cặp đôi (cặp đôi được hiểu bao gồm 1 nam và 1 nữ ) đến dự buổi tiệc, ban tổ chức đã chuẩn bị sẵn một cái bàn tròn lớn cùng với $2016$ cái ghế xếp xung quanh bàn tròn đó. Để cho mọi người giao lưu với nhau nên ban tổ chức muốn sắp xếp nam ngồi xen kẽ với nữ và không có cặp đôi nào ngồi cạnh nhau nhưng ban tổ chức vẫn chưa có cách sắp xếp thỏa mãn trong khi thời gian đã gần kề. Khi đó bạn sẽ có những cách nào để giúp ban tổ chức sắp xếp và hãy thử nêu ví dụ một cách cụ thể.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducvipdh12: 21-12-2015 - 11:17