0.1=0; 1.1 tại sao lại bằng 1

Tôi hỏi bạn $1.1 = ?$ , sao bạn lại đi hỏi ngược lại tôi.

Ngày 2

 

8. Cho $n$ là một số nguyên dương. Hãy tìm số nguyên $k$ nhỏ nhất với tính chất sau:

Với mọi số thực $a_1,...,a_d$ sao cho $a_1+a_2+...+a_d=n$ và $0\le a_i\le 1$ $(i=\overline{1,d})$, ta luôn có thể chia $d$ số trên thành $k$ nhóm, và tổng các số trong mỗi nhóm không lớn hơn $1$.

 

 

Trước tiên ta đặt $S_d=\{a_1,a_2,...,a_d\}$ và $sumS_d=a_1+a_2+...+a_d$

 

Giả sử với $d$ số đã cho như trong đề bài, ta luôn có thể chia $d$ số đó thành $k$ nhóm mà tổng các số trong mỗi nhóm không lớn hơn $1$

 

Gọi các nhóm đó là $S_1, S_2,...,S_k$ với $sumS_i \leq 1$ $(i=\overline{1,k})$

 

Từ đó ta có thể suy ra $S_d=\bigcup_{i=1}^{k}S_i$ suy ra $n=sumS_d=\sum_{i=1}^{k}sumS_i \leq k$

 

Từ những điều trên ta thấy $k=n$ là số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn đề bài

 

Bây giờ với $k=n$ ta sẽ chứng minh tồn tại cách chia $d$ số thỏa $a_1+a_2+...+a_d=n$ và $0\le a_i\le 1$ $(i=\overline{1,d})$ thành $n$ nhóm sao cho tổng các số trong mỗi nhóm không lớn hơn $1$ (*)

 

Với $n=1$ thì hiển nhiên có 1 nhóm thỏa đề bài đó là $\{a_1,a_2,...,a_d\}$

 

Giả sử điều này đúng với $n=k$, khi đó với $a_1+a_2+...+a_d=k+1>k$ (**)

 

Khi đó tồn tại tổng $a_{i_1}+a_{i_2}+...+a_{i_q}$ là tổng nhỏ hơn $1$ lớn nhất với số phần tử của tổng bé hơn $d$

 

Điều này dẫn đến $2\geq a_{i_1}+a_{i_2}+..+a_{i_q}+a_{i_{q+1}}>1$, đặt $b=a_{i_1}+a_{i_2}+..+a_{i_q}+a_{i_{q+1}}-1$ suy ra $0<b\leq 1$

 

 

Khi đó (**) trở thành $a_1+a_2+...+b+...+a_d=k$, theo giả thiết qui nạp thì ta có thể chia thành $k$ nhóm mà tổng các số trong mỗi nhóm không lớn hơn $1$

 

Giả sử $b\in S_i$, ta bỏ phần tử $b$ ra khỏi tập $S_i$ rồi lập thành 2 tập mới đó là $S'_i=S_i\setminus b$ và $K=\{a_{i_1},a_{i_2},...,a_{i_q}\}$

 

Rõ ràng các tập này có $sumS'_i\leq 1$ và $sumK\leq 1$ và $S_d=S_1\bigcup S_2 \bigcup ... \bigcup S'_i \bigcup K \bigcup ... \bigcup S_k$

 

hay $S$ được chia thành $k+1$ nhóm con mà tổng các số của mỗi nhóm không lớn hơn $1$

Ngày 2

 

5. Cho ba số thực $x$, $y$, $z$ là 3 số thực không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Chứng minh:

$T= \frac{x}{1-yz}+\frac{y}{1-zx}+\frac{z}{1-xy}$ chỉ có thể nhận tối đa 2 giá trị nguyên. Tìm các bộ $(x,y,z)$ để $T$ đạt giá trị tại 2 giá trị nguyên này

 

Ta có $2-2x+2xyz=1+x^2+y^2+z^2-2x+2xyz=(x-1)^2+y^2+z^2+2xyz \geq 0$ $\Rightarrow x(1-yz)\leq 1$

 

Khi đó $\frac{x}{1-yz}=\frac{x^2}{x(1-yz)}\geq x^2$

 

Lập luận tương tự ta cũng có $\frac{y}{1-zx}=\frac{y^2}{y(1-zx)}\geq y^2$  và  $\frac{z}{1-xy}=\frac{z^2}{z(1-xy)}\geq z^2$

 

Suy ra $P\geq x^2+y^2+z^2=1$

 

Ta lại có $2-2yz\geq 2-(y^2+z^2)=1+x^2=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+x^2\geq \frac{4}{\sqrt[4]{27}}\sqrt{x}$ $\Rightarrow \frac{x}{1-yz}\leq \frac{\sqrt[4]{27}}{2}\sqrt{x}$

 

Lập luận tương tự ta cũng có $\frac{y}{1-zx}\leq \frac{\sqrt[4]{27}}{2}\sqrt{y}$ và $\frac{z}{1-xy}\leq \frac{\sqrt[4]{27}}{2}\sqrt{z}$

 

Suy ra $P\leq \frac{\sqrt[4]{27}}{2}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})$

 

Theo bất đẳng thức C-S thì $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \sqrt{3(x+y+z)}\leq \sqrt{3\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}}=\sqrt[4]{27}$

 

Suy ra $P\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}<3$

 

Vậy $P$ chỉ nhận tối đa 2 giá trị nguyên là $1$ và $2$

 

Khi $P=1$ thì ta dễ dàng tìm được bộ $(x,y,z)$ thỏa mãn giá trị của P đó là $(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)$

 

Khi $P=2$ thì ta tìm được bộ $(x,y,z)$ đó là $(\sqrt{1-2t^2}, t, t)$ và các hoán vị của nó

 

trong đó $t$ chính là nghiệm của phương trình $8t^8-20t^6-8t^5+20t^4+16t^3-9t^2-8t+3=0$

 

Note:   Phương trình trên có 2 nghiệm thực $t_1\approx 0,351078$ và $t_2\approx 0,692448$

Đọc phần chứng minh này tôi thấy bạn đang đi tìm giá trị để các cạnh của một tam giác là số nguyên. Chứ chưa thấy giải quyết được gì.

 

Từ  $z<x+y$ và $z>y>x$ mà suy ra đó là điều kiện để $x^n+y^n=z^n$ có nghiệm với $n\geq 2$ là hết sức phi lý rồi.