Cho $a,b\geq 0 và a^{2}+b^{2}=4 . Tìm GTLN của M = \frac{ab}{a+b+2}$

Ta có: $a^2+b^2=4\Rightarrow (a+b)^2=2ab+4\Rightarrow 2ab=(a+b+2)(a+b-2)$

$\Rightarrow M=\frac{ab}{a+b+2} =\frac{a+b-2}{2}\leq \frac{2\sqrt{2}-2}{2}=\sqrt{2}-1$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\sqrt{2}$

p.s: Đang on=đt nên hơi bất tiện :v

Bài 32: Cho $x,y \in R$ T/m $x^3+y^3=2$. Tìm min của $P=x^2+y^2+\frac{9}{x+y}$

Bài 30:

Tìm các số nguyên dương a, b sao cho:

$\frac{(ab-1)(bc-1)(ca-1)}{abc}$ nguyên

Ta có: $(ab-1)(bc-1)(ca-1)=a^2b^2c^2-abc^2-a^2bc+ac-ab^2c+bc+ab-1 \vdots abc$

$\Rightarrow ab+bc+ca-1\vdots abc\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{abc}\in Z$

Giả sử $1\leq a< b <c$ ta có:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{abc}<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq \frac{5}{6}<2\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{abc}=1\Rightarrow ab+bc+ca-1=abc\Rightarrow (a-1)(b-1)(c-1)=a+b+c\geq 6\Rightarrow (a-1)>0\Rightarrow a\geq 2, b\geq 3, c\geq 4$

+) Nếu $(a-1)(b-1)=2$ => $a=2,b=3,c=5(t/m)$

+) Nếu $(a-1)(b-1)=3$ => $a=2,b=4,c=4,5 (kt/m) $

+) Nếu $(a-1)(b-1)\geq 4$=> $3c>a+b+c=(a-1)(b-1)(c-1)\geq 4(c-1)$ => $3c>4(c-1)$ => $c<4 (kt/m)$

Vậy $(a,b,c)=(2,3,5)$ và các hoán vị của chúng.

áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có $\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{3} \Rightarrow \frac{(a+b+c)^{2}}{3}\geqslant (\frac{a+b+c}{3})^{3} \Rightarrow 3<=a+b+c\leqslant 9$
sau đó xét từng trường hợp a+b+c

Khuấy động TOPIC nào:

41) Có bao nhiêu số nguyên dương có $5$ chữ số $\overline{abcde}$ , $\overline{abc}=(10d+e)$sao cho chia hết cho $101$.

42) Cho $M=a^{2}+3a+1$ với $a$ là số nguyên dương.

a) Chứng minh mọi ước số của $M$ đều là số lẻ.

b) Giả sử $M$ chia hết cho $5$, tìm $a$.Với giá trị nào của $a$ thì $M$ là lũy thừa của $5$.

43) Cho $x,y,z$ là các số tự nhiên thỏa mãn $x^{2}+y^{2}=z^{2}$. Chứng minh rằng $xyz$ chia hết cho $60$

44) Tìm cặp số nguyên $x,y$ thỏa mãn $5x^{2}+8y^{2}=20412$

45) Cho $S_{n}=1.2+2.3+3.4+...+n(n+1);(n\epsilon \mathbb{N}^{*})$. CMR: $3.S_{n}.(n+3)+1$ là một SCP.

Cùng với các bài toán tồn đọng sau:

Bài 45:

Ta có: $S_{n}=1.2+2.3+3.4+.....+n(n+1)$ $\Rightarrow 3S_{n}=1.2.3-1.2.3+2.3.4-2.3.4+3.4.5-.....-(n-1)n(n+1)+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)\Rightarrow 3S_{n}(n+3)+1=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1$

Đặt $n^2+3n=y$ ta có: $3S_{n}(n+3)+1=y(y+2)+1=(y+1)^2$ là số chính phương (đpcm)

Mình xin bắt đầu với các bài toán sau:

1) Giải phương trình nghiệm nguyên: $(x+y\sqrt{5})^{z}=\sqrt{1+\sqrt{5}}$

2) Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$.CMR: $2017-p^{2}$ chia hết cho $24$

3) Giải phương trình nghiệm nguyên dương: $x^{3}+y^{3}-9xy=0$

4) Cho $a,b,c$ nguyên dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.CMR: $ab$ chia hết cho $a+b+c$ 

5) Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ thỏa mãn $2n+1$,$3n+1$ là các SCP và $2n+9$ là số nguyên tố.

1) Ta có: $(x+y\sqrt{5})^z=\sqrt{1+\sqrt{5}}\Rightarrow a+b\sqrt{5}=\sqrt{1+\sqrt{5}} (a,b\in Z)$

BÌnh phương 2 vế ta có:

$a^2+5b^2+2\sqrt{5}ab=1+\sqrt{5}\Rightarrow a^2+5b^2-1=\sqrt{5}(1-2ab)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2+5b^2=1\\ 1-2ab=0 \end{matrix}\right. \Rightarrow 20b^4-4b^2+1=0(ptvn)$

Hay không có giá trị x,y thoả mãn bài ra.

Thêm bài nữa nha .

Bài 24: Có thể phân tích số 2006 thành tổng của 2 số a và b mà a gấp 3 lần một số chính phương và b gấp 7 lấn một số chính phương khác hay không?

Đặt $a=3x^2, b=7y^2$ Ta có: $3x^2+7y^2=2006$

Do $2006$ chia 7 dư 4 => $3x^2$ chia 7 dư 4(1)

Mặt khác: $x^2$ chia 7 dư 0,1,2,4 => $3x^2$ chia 7 dư 0,3,5,6(2)

Từ (1)(2) suy ra không có giá trị nào của a,b T/m đề ra./.

Bài 108: Giải phương trình:

  $\frac{x+1}{\sqrt{x}}+ \frac{4(y-1)\sqrt[3]{y-1}+4}{\sqrt[3]{(y-1)^{2}}}= 10$

Đây là lời giải của mình!

Đặt $\sqrt[3]{(y-1)^2}=\sqrt{z}$

Ta có: $\frac{x+1}{\sqrt{x}}+ \frac{4(y-1)\sqrt[3]{y-1}+4}{\sqrt[3]{(y-1)^{2}}}$

$= \frac{x+1}{\sqrt{x}}+\frac{4(z+1)}{\sqrt{z}}\geq \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{8\sqrt{z}}{\sqrt{z}}=10$

Dấu "=" xảy ra khi: x= 1, y=2

p/s: lâu lắm rồi mới giải bài trên TOPIC này

Bạn conankun ơi, hình như bài 1 là suy ra 1-2ab=0 suy ra vô nghiệm luôn chứ

Cảm ơn bạn nhiều!

cho mk đóng góp bài này

1. Cho $n$ là số nguyên dương lớn hơn 1 thỏa mãn $n\mid 2^{n}+1$

Cmr $3\mid n$

2. Tìm tất cả p,q nguyên tố sao cho $pq\mid 2^{p}+2^{q}$

Bạn ơi dấu | này là gì vậy?

Như vậy bước đầu của topic khá mĩ mãn, mình xin đề xuất tiếp:

14) Cho $x,y,z$ là các số nguyên thỏa mãn $(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}=xyz$.CMR $x^{3}+y^{3}+z^{3}\vdots x+y+z+2$

Mk xin được làm bài này:

Ta có: $x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)xy-3z(x+y)(x+y+z)=(x+y+z)^3-3xy(x+y+z)-3z(x+y)(x+y+z)+3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz=(x+y+z)\frac{xyz}{2}+3xyz=\frac{xyz}{2}(x+y+z+6)$

P/s: Mk nghĩ bài toán phải chữa thành $x^3+y^3+z^3\vdots x+y+z+6$ mới đúng.

Bạn thử đưa ra một số liệu cụ thể thử xem sao!

Mình xin bắt đầu với các bài toán sau:

1) Giải phương trình nghiệm nguyên: $(x+y\sqrt{5})^{z}=\sqrt{1+\sqrt{5}}$

2) Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$.CMR: $2017-p^{2}$ chia hết cho $24$

3) Giải phương trình nghiệm nguyên dương: $x^{3}+y^{3}-9xy=0$

4) Cho $a,b,c$ nguyên dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.CMR: $ab$ chia hết cho $a+b+c$ 

5) Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ thỏa mãn $2n+1$,$3n+1$ là các SCP và $2n+9$ là số nguyên tố.

2) Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 => $p=3k+1$ hoặc $p=3k+2$=>$p^2=3q+1$ hay $2017-p^2$ chia hết cho 3 (1)

Lại có p là số lẻ => $p^2=8k+1$ hay $2017-p^2$ chia hết cho 8 (2)

Từ (1)(2) suy ra: đpcm

Bài 19: Giải phương trình nghiệm nguyên: 

 a, $x_{1}^{4}+ x_2^{4}+...+ x_{14}^{4}= 1599$

b, $x^{4}y^{3}(y-x)=x^{3}y^{4}- 216$ ( Nguồn: Đề Olympic Áo 2012)

 

Bài 20: Giả sử p là số nguyên tố sao cho cả hai nghiệm của phương trình:

$x^{2}+px-444p= 0$ là các số nguyên. Tìm p và các nghiệm của phương trình.

Bài 19:

Ta có: $n^4$ chia 16 dư $0,1$ => $x_{1}^{4}+ x_2^{4}+...+ x_{14}^{4}$ chia 16 dư$ 0...14.$

Mà 1599 chia 16 dư 15 => không có giá trị nào T/m để ra.

Nếu x=1, y=2,z=3 thì 1+2+3-6=0 thì sai rồi bạn

Mk sửa rồi bạn ơi. (Chưa kịp kiểm tra  )

Gọi giao của $CD$ với $AB$ là $I$, giao của $BC$ và $OA$ là $H$

Ta có: $OA // DI$ (Cùng vuông góc với $BC$), $BO=OD$ suy ra: $OA$ là đường trung bình của tam giác $BDI$

hay $AB=BI$

Mà $CE$ vuông góc với $AB$ suy ra: $\frac{CF}{EF}\doteq \frac{AI}{AB}=1\Rightarrow CF=EF$

Bài 31. Từ $A$ nằm ngoài $(O)$ kẻ $AB,AC$ là tiếp tuyến, kẻ đường kính $BD$, gọi $E$ là hình chiếu của $C$ trên $BD$, $F$ là giao của $CE$ và $AD$. Chứng minh rằng $F$ là trung điểm $CE$.

Bài 30. thi tphcm 2015 - .2016

Cho tam giác $ABC$   có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$  . Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ và $N$ là điểm đối xứng với $M$ qua $O$. Qua $A$ vẽ đường thẳng vuông góc với $AN$  cắt đường thẳng qua $B$ vuông góc $BC$ tại $D$. Kẻ dường kính $AE$ của $(O)$. Chứng minh rằng.

1. $BA.BC = 2BD.BE$

2.  $AD$ đi qua trung điểm của dường cao $AH$ của tam giác $ABC$  .

1. Gọi giao của $AN$ với $BC$ là $F$

Ta có: Dễ dàng chứng minh $ AN//ME\Rightarrow \widehat{NFM}=\widehat{FME}\Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{BME}$

Lại có: $\widehat{DBA}=\widehat{CBE}$ nên $\Delta ADB\sim \Delta EMB(g.g)\Rightarrow AB.BM=BE.BD\Rightarrow AB.BC=2BE.BD$

2. Bạn xem lại đề cái.

p/s: Cảm thấy vẽ hình lên tay :v

Bài $36$: Từ điểm $M$ ngoài $(O)$, vẽ tiếp tuyến $MA, MB$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp $\triangle ABM$ tiếp xúc với $AB, AM$ lần lượt tại $H,G$ ; $(I)$ cắt $(O)$ tại $P,R$ ($P$ nằm trên nửa mặt phẳng bờ $OM$ chứa $A$), $AR$ cắt $(I)$ tại $Q$. Chứng minh $PR, AI, HG$ đồng quy và $\triangle APQ$ cân.

 

 

Ý 1: Chứng minh đồng quy. 

Dễ dàng chứng minh $I$ là giao của $OM$ với $(O)$, $H$ là giao của $OM$ và $AB$

Theo t.c 2 tt cắt nhau ta có: $AI$ đi qua trung điểm của $HG$ $(1)$

Gọi giao của $PR$ với $AM$ là $S$ là có $SA^2=SG^2=SP.SR$ suy ra: $SA=SR$

Mà $PR//AB$ suy ra $PR$ đi qua trung điểm của $HG$ $(2)$

Từ $(1)(2)$ suy ra đpcm

Ý 2: Ta có: $\widehat{PIA}=\widehat{PRQ}=\frac{1}{2}\widehat{PIQ}\Rightarrow \widehat{PIA}=\widehat{AIQ}$

Tương tự: $\widehat{PAI}=\widehat{IAQ}\Rightarrow \Delta API=\Delta AIQ(g.c.g)\Rightarrow AP=AQ$

Bài 22: Cho (O), đường kính AB, gọi C là trung điểm AO. Qua C kẻ đường vuôn góc với OA cắt (O) tại 2 điểm M và N.Trên cung MN lớn lấy điểm K sao cho K không trùng với M,B và N. Giao điểm của AK với MN là H

a, Tìm vị trí K để cho khoảng cách từ N đến đường tròn ngoại tiếp tam giác KMH nhỏ nhất

b, Với K thuộc cung MB, lấy I trên KN sao cho KI = KM. Chứng minh: NI=KB

p/s: mấy má làm hình trâu vãi đạm.

Câu a: Gọi $(O')$ là tâm $(MKH)$. Kẻ $NQ$ vuông góc với $BM$

Ta có: $\widehat{AMC}=\widehat{MBA}=\widehat{MKA}$ suy ra: $MA$ là tt của $(O')$ 

hay $O'$ nằm trên $BM$. Mà $NO'\geq NQ$

Dấu "=" xảy ra khi $K$ là giao của $(Q,QM)$ và $(O)$

p/s: Xin lỗi vì mình không vẽ được hình

Bài 47. Thi Thanh Hóa 2017 - 2018.

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ cố định và $D$ là chân đường phân giác trong góc $A$ của tam giác. Gọi $E$ và $F$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABD$ và tam giác $ACD$.

1. Chứng minh $\angle AEO = \angle ADC$ và tứ giác $AEOF$ là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh tam giác $EOF$ là tam giác cân.

3. Khi $BC$ cố định và $A$ di động trên $(O)$, chứng minh tứ giác $AEOF$ có diện tích không đổi.

diendan(91).PNG.

1. Ta có: $\widehat{AEO}=\widehat{ADC}=90^0+\widehat{BAE}$

Tương tự: $\widehat{AFO}=\widehat{ADB}\Rightarrow \widehat{AEO}+\widehat{AFO}=180^0$

hay t/g $AEOF$ nt

2. Dễ dàng chứng minh $\widehat{EAO}=\widehat{EBO}$ , $\widehat{OAF}=\widehat{OCF}$ (1)

Lại có: $\widehat{BED}=\widehat{DFC}=\widehat{ABC}$ $\Rightarrow \widehat{EBD}=\widehat{FCD}$

mà $\widehat{OBC}=\widehat{OCB}$ suy ra: $\widehat{EBO}=\widehat{FCO}$ (2)

Từ (1)(2) suy ra: $\widehat{EAO}=\widehat{FAO}\Rightarrow \widehat{OEF}=\widehat{EFO}$ (do $t/g AEOF nt$)

hay $\Delta OEF$ cân

p/s: Ý 3 đang làm

Bài 2: Từ điểm $A$ ngoài đường tròn $(O)$ kẻ hai tiếp tuyến $AB$ và $AC$ và cát tuyến $ADE$. $BC$ cắt $DE$ ở K. Chứng minh hệ thức sau:

$\frac{1}{AD}+\frac{1}{AE}=\frac{2}{AK}$

(trích đề thi THPT tỉnh Phú Thọ 2017-2018)

Gọi giao của $AO$ và $BC$ là $H$ ta có: $AH.AO=AD.AE=AB^2$ suy ra t/g $DHOE$ nt $\Rightarrow \widehat{DHE}=\widehat{DOE}$(1)

Lại có: $\widehat{DCE}=90^0-\widehat{DCA}+\widehat{OCE}=90^0-\widehat{DEC}+\widehat{OEC}=90^0-\widehat{DEO}=90^0-\widehat{DHA}=\widehat{DHB}$ (2)

Từ $(1) (2)$ suy ra: $\widehat{DHK}=\widehat{KHE}=\frac{1}{2}\widehat{DHE}$

$\Rightarrow \frac{DK}{AD}=\frac{KE}{AE}$ (Theo t/c phân giác)

mà $\frac{AK}{AD}+\frac{AK}{AE}=2+\frac{DK}{AD}-\frac{EK}{AE}=2\Rightarrow \frac{1}{AD}+\frac{1}{AE}=\frac{2}{AK}$

p/s: Trình bày hơi chi tiết

Góp cho TOPIC một bài

$\boxed{\text{Bài 6}}$ Cho $\Delta ABC$ nhọn có $AB>AC$. Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau ở $H$.  $BC$ cắt $EF$ ở $K$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. $(O), (O')$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp 2 tam giác $AEF, BKE$. Chứng minh $H$ là trực tâm của tam giác $AMK$.

p/s: Sưu tầm

Một số bài tiếp theo:

Bài số 27: Giải pt: $9x^2-5x=(2-x)\sqrt{3x^2-8x+3}$

Bài số 28: Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix} x^3+2y^2-4y+3=0\\ x^2+x^2y^2-2y=0 \end{matrix}\right.$

Bài số 29: Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix} x^2+xy+2=3x+y\\ x^2+y^2=2 \end{matrix}\right.$

Bài số 30: Giải pt: $13\sqrt{x^2-x^4}+9\sqrt{x^2+x^4} =16$

p/s: Mọi người tiếp tục giải nhé!

Mình xin đưa ra một lời giải gọn hơn của bài 39:

Với $PT(2)$ ta có: $VT\leq \frac{x^2-y^2+1}{2}+\frac{y^2+1-x^2}{2}=1$

Dấu "=" xảy ra khi $x^2+y^2=1$

Áp dụng BĐT Bunhia ta có: $(x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x})^2\leq (x^2+y^2)(x+y+2)=(x+y+2)\leq \sqrt{2(x^2+y^2)}+2=\sqrt{2}+2\Rightarrow VT\leq \sqrt{2+\sqrt{2}}$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Sau đây là một số bài hệ phương trình vô tỷ  :

$\boxed{\text{Bài 74}}$ $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2\\ \frac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{x}}=2 \end{matrix}\right.$

$\boxed{\text{Bài 75}}$ $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+\frac{1}{y}}-\sqrt{y+\frac{1}{x}}=1\\ (xy+1)(x+y)=5xy \end{matrix}\right.$

$\boxed{\text{Bài 76}}$ $\left\{\begin{matrix} x+\frac{2}{x}=2y+\frac{1}{y}\\ \sqrt{x-1}+\sqrt{2-y}=1 \end{matrix}\right.$

$\boxed{\text{Bài 77}}$ $\left\{\begin{matrix} \sqrt{7x+y}+\sqrt{2x+y}=5\\ \sqrt{2x+y}+x-y=1 \end{matrix}\right.$

$\boxed{\text{Bài 78}}$ $\left\{\begin{matrix} \frac{x}{\sqrt{(1-y)(1-x^2)}}+\frac{y}{\sqrt{(1-x)(1-y^2)}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{(1-x^2)(1-y^2)}}\\ \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}=\sqrt{\frac{1}{(1-x^2)(1-y^2)}} \end{matrix}\right.$

p/s: TOPIC còn một số bài chưa có lời giải gồm các bài  36,50,51

$\boxed{\text{Bài 84}}$ $\sqrt[4]{(x-2)(4-x)}+\sqrt[4]{x-2}+\sqrt[4]{4-x}+6x\sqrt{3x}=x^3+30$

$\boxed{\text{Bài 84}}$

Áp dụng BĐT Cosi ta có: 

                $\sqrt[4]{(x-2)(4-x)}\leq \sqrt{\frac{(x-2)+(4-x)}{2}}=1$

                $6x\sqrt{3x}=2\sqrt{27x^3}\leq 27+x^3$

Áp dụng BĐT Bunhia ta có:   $(\sqrt[4]{x-2}+\sqrt[4]{4-x})^2\leq 2$

Cộng lại ta có : $VT$ $\leq$  $VP$

Dấu "=" xảy ra khi $x=3$