a) $\widehat{AMB}= \widehat{ANB}=90^0 \Rightarrow K,M,I,N$ cùng thuộc đường tròn đường kính $KI.$
b) $KA.KM=KN.KB$ và bằng phương tích của $K$ tới $(O).$
c) Gọi $O'$ tâm $(KAB)$ thì theo kết quả quen thuộc $KI=2OO'.$
Lại có $\widehat{MAN}= \frac{ \widehat{MON}}{2}= \frac{60^0}{2}=30^0 \Rightarrow \widehat{AO'B}=2 \widehat{AKB}=120^0.$
Do đó $\widehat{AO'O}=60^0 \Rightarrow OO'= \frac{AO}{ \sqrt{3}}= \frac{R}{ \sqrt{3}} \Rightarrow KI= \frac{2R}{ \sqrt{3}}.$
d) Theo câu c) thì $\widehat{AKB}=60^0 \Rightarrow (AKB)$ cố định.
Vậy $K$ di chuyển trên $(AKB)$ cố định, lại có $AB$ cố định nên $S_{KAB}$ lớn nhất khi $K$ là trung điểm cung lớn $AB$ của $(AKB).$
Khi đó hiển nhiên $M,N$ là giao điểm $BO',AO'$ với nửa đường tròn $(O).$
$KI=2OO'.$ ???? Xin lỗi nhưng tại sao ạ? với lại, AO = R/2.
@halloffame:
_ $AO$ là bán kính của đường tròn $(O,R)$ thì nó phải bằng $R.$
_Cách chứng minh $KI=2OO':$ lấy $I'$ đối xứng $I$ qua $O.$ Khi đó thì $IBI'A$ là hình bình hành nên $I'A \parallel IB \perp KA.$
Tương tự $I'B \perp KB \Rightarrow K,A,I',B$ nội tiếp đường tròn đường kính $I'K \Rightarrow O'$ trung điểm $KI'.$
Do đó $OO'$ là đường trung bình $\Delta I'KI \Rightarrow KI=2OO'.$