Cho các số nguyên dương $m, n$ thỏa mãn $m+n+1$ là một ước nguyên tố của $2(m^2 + n^2)-1$. Chứng minh rằng $m=n$

Tìm các số nguyên tố $p$ sao cho $8p+1$ là một số chính phương.

Tìm các số tự nhiên n sao cho $3^{2^{2n}}+10$ là số nguyên tố.

Theo mình thấy thì bài sẽ đẹp hơn khi cho a,b,c không âm, nghĩa là sẽ xảy ra dấu "=" cho bất đẳng thức ( Hoặc có thể là mình làm sai    )

Bất đẳng thức luôn $\leq$ là đúng nhưng đúng hơn sẽ là $<$ vì dấu "=" không xảy ra, ko có giá trị bộ (a,b,c) nào dương mà thỏa mãn$ \left ( a+b \right )^{3}\left ( b+c \right )^{2}\left ( c+a \right )= \frac{4}{27}\left ( a+b+c \right )^{6}$

Để viết rõ hơn, thì dấu bằng xảy ra khi $x=\frac{3y}{2}=3z\Leftrightarrow a+b=\frac{3(b+c)}{2}=3(c+a)$$\Leftrightarrow b=2a-3c=c+2a \Rightarrow c=0$ ( vô lí) 

  Thanks b nhaa

ơ nhưng mà đề bảo chứng minh bất đẳng thức $\leq$ mà sao lại chứng minh được <

Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c ta luôn có

​
​

$\left ( a+b \right )^{3}\left ( b+c \right )^{2}\left ( c+a \right )\leq \frac{4}{27}\left ( a+b+c \right )^{6}$