Mọi người giải giúp mình bài này nhé!

Cho $ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Ta gọi dao động của $f$ tại $x$ là $ \omega{(f,x)} =\inf\{\text{diam}f(I) $ sao cho $I$ là khoảng mở chứa $x$ $\}$. CMR:

a) $f$ liên tục tại $x \Leftrightarrow \omega{(f,x)} =0.$

b) $\forall a>0, A=\{x \in \mathbb{R}: \omega{(f,x)} \geq a \}$ là một tập đóng.

$\left\{\begin{matrix} mx+y+z+mt=1 \\ x+my+z+t=m \\ x+ y +mz + t=m \end{matrix}\right.$
tìm các giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm (bài hệ phương trình tuyến tính)

Ta đã biết hệ pttt vô nghiệm nếu $rank(A) < rank(\overline{A})$, với $A, (\overline{A}) $ lần lượt là ma trận hệ số và ma trận hệ số mở rộng của hệ đã cho. Do đó để đáp ứng yêu cầu đề bài, ta làm như sau:

Gọi $(A), (\overline{A}) $ lần lượt là ma trận hệ số và ma trận hệ số mở rộng của hệ đã cho.

Dùng các phép biến đổi sơ cấp về hàng của $(\overline{A})$ ta được:

$$ \begin{pmatrix}
1 & 1 & m & 1 & | &m \\
0 & m-1 & 1-m & 0 & | &0 \\
0 & 0 & 2-m-m^2 & 0 & | & 1-m^2
\end{pmatrix} $$

Ta có: $2-m-m^2=(1-m)(m+2)$

Nếu: $m=1 \Rightarrow (\overline{A})$ có 2 hàng bằng $0 \Rightarrow rank(A) = rank(\overline{A})$.

Nếu: $m=-2 \Rightarrow (\overline{A})$ có 3 hàng khác $0$ và $(A)$ có 2 hàng khác $\neq 0 \Rightarrow rank(A) < rank(\overline{A})$.

Vậy: với $m=-2$ thì hệ đã cho vô nghiệm.

Bài 3: Cho kg mê tríc $(E,d)$ và $A$ là tập con khác rỗng của $E$. Xét ánh xạ: $\varphi:E \rightarrow \mathbb{R}$ định bởi

$\varphi(x)=d(x,A)=\inf_{a\in A}d(x,a) \,\,\,\forall x \in E$. CMR:

a) $\left | \varphi(x)-\varphi(y) \right |\leq d(x,y),\,\,\,\forall x, y \in E$

b) $\varphi(x)=0$ nếu và chỉ nếu $x\in \overline{A}$.

Giải:

a) CMR: $\left | \varphi(x)-\varphi(y) \right |\leq d(x,y),\,\,\,\forall x, y \in E$

$\forall x, y \in E; a \in A$ ta có:

$d(x,a)\leq d(x,y)+d(y,a)$

$\Rightarrow \inf_{a\in A}d(x,a) \leq d(x,y) +\inf_{a\in A}d(y,a)$ hay $\varphi(x)-\varphi(y) \leq d(x,y) \,\,\,(1)$

Tương tự: $d(y,a)\leq d(y,x)+d(x,a)$

$\Rightarrow \inf_{a\in A}d(y,a) \leq d(y,x) +\inf_{a\in A}d(x,a)$

hay $\varphi(y)-\varphi(x) \leq d(y,x)=d(x,y) \,\,\,(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra điều phải chứng minh.

b) CMR: $\varphi(x)=0$ nếu và chỉ nếu $x\in \overline{A}$.

Chiều thuận: $\varphi(x)=0\Rightarrow x\in \overline{A}$:

$\varphi(x)=0 \Rightarrow d(x,A)=0 \Rightarrow \inf_{a\in A}d(x,a)=0 $

$\Rightarrow \exists (a_n) \subset A$ sao cho $a_n \to x$ khi $ n \to \infty $

$ \Rightarrow x \in \overline{A} $ (tính chất của bao đóng).

Chiều đảo: $x\in \overline{A} \Rightarrow \varphi(x)=0$:

$ x \in \overline{A} $ là bao đóng của $A$ nên $ \exists (x_n) \subset A: x_n \longrightarrow x$

$\Rightarrow \forall \varepsilon >0, \exists n_0 \in \mathbb{N}: d(x_n,x) < \varepsilon\,\,\, \forall \,\,n \geq n_0$

$\Rightarrow \inf_{x_n\in A}d(x_n,x) < \varepsilon \,\,\,\forall \,\,n \geq n_0$

$\Rightarrow \varphi(x) < \varepsilon\,\,\, \forall \,\, n \geq n_0 \Rightarrow \varphi(x)=0.$

Bài 2: Cho kg định chuẩn $(E,\left \| . \right \|)$ và $\varphi:E \rightarrow \mathbb{R}$ định bởi $\varphi(x)=\left \| x \right \|$ . CMR:

$ \left | \varphi(x)-\varphi(y) \right |\leq \left \| x-y \right \|\,\,\,\forall x, y \in E $

Suy ra rằng $\varphi$ là hàm liên tục trên $E$.

Giải:

$\forall x, y \in E $, ta có: $\left \| x \right \|=\left \| x-y+y \right \| \leq \left \| x-y \right \|+\left \| y \right \|$

$\Rightarrow \left \| x \right \|-\left \| y \right \| \leq \left \| x-y \right \|$

hay: $\varphi(x)-\varphi(y) \leq \left \| x-y \right \| \,\,\,\,(1)$

Ta cũng có: $\left \| y \right \|=\left \| y-x+x \right \| \leq \left \| y-x \right \|+\left \| x \right \|$

$\Rightarrow \left \| y \right \|-\left \| x \right \| \leq \left \| x-y \right \|$ (vì $\left \| x-y \right \|=\left \| y-x \right \|$)

hay: $\varphi(y)-\varphi(x) \leq \left \| x-y \right \| \,\,\,\,(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có điều phải chứng minh.

+++ Suy ra $\varphi$ là hàm liên tục trên $E$:

$\varphi$ là hàm liên tục trên $E \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0, \exists \delta >0: \left \| x-x_0 \right \| < \delta \Rightarrow \left | \varphi(x)-\varphi(x_0) \right | < \varepsilon \,\,\,(3)$

Chọn $\delta =\varepsilon$. Theo chứng minh trên $\left | \varphi(x)-\varphi(x_0) \right | \leq \left \| x-x_0 \right \| < \delta = \varepsilon$

Vậy $(3)$ được chứng minh.

Bài 1: Cho kg mê tríc $(E,d)$ và $\varphi: ExE \rightarrow \mathbb{R}$ định bởi $\varphi(x,y)=d(x,y)$. CMR:

$ \left | \varphi(x,y)-\varphi(x_0,y_0) \right |\leq d(x,x_0)+d(y,y_0)\,\,\,\forall x, y, x_0, y_0 \in E $

Suy ra rằng $ \varphi $ là hàm liên tục trên $ExE$.

Giải:
+ Ta có: $\forall x, y, x_0, y_0 \in E, \varphi(x,y)=d(x,y) \leq d(x,x_0)+d(x_0,y_0)+d(y_0,y)$

$\Rightarrow \varphi(x,y)-d(x_0,y_0) \leq d(x,x_0)+d(y_0,y)$ hay $\varphi(x,y)-\varphi(x_0,y_0) \leq d(x,x_0)+d(y_0,y) \,\,\,\,(1)$

+ Ta cũng có: $\forall x, y, x_0, y_0 \in E, \varphi(x_0,y_0)=d(x_0,y_0) \leq d(x_0,x)+d(x,y)+d(y,y_0)$

$\Rightarrow \varphi(x_0,y_0)-d(x,y) \leq d(x,x_0)+d(y_0,y)$ hay $\varphi(x_0,y_0)-\varphi(x,y) \leq d(x,x_0)+d(y_0,y) \,\,\,\,(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có điều cần chứng minh.

+++ Suy ra $\varphi$ liên tục trên $ExE$:

$\varphi$ liên tục trên $ExE \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0, \exists \delta >0: d((x,y),(x_0,y_0)) < \delta \Rightarrow \left |\varphi(x,y)-\varphi(x_0,y_0) \right | < \varepsilon $

Theo chứng minh trên ta đã có:

$\left |\varphi(x,y)-\varphi(x_0,y_0) \right | \leq d(x,x_0)+d(y,y_0)$

$\leq \sqrt{2} \sqrt{d^2(x,x_0)+d^2(y,y_0)}=\sqrt{2}. d((x,y),(x_0,y_0)) < \sqrt{2}.\delta$

Do đó nếu ta chọn: $\delta = \frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}$ thì thay vào hệ thức trên ta được:

$\left |\varphi(x,y)-\varphi(x_0,y_0) \right | < \sqrt{2} \frac{\varepsilon}{\sqrt{2}} =\varepsilon$. Do đó $\varphi$ liên tục trên $ExE$.

Mong mọi người quan tâm theo dõi và chỉ giúp mình những bài sau đây (trong sách Giải Tích Hàm do thầy Đặng Đức Trọng chủ biên), mình sẽ lần lượt đưa ra lời giải và xin mọi người cho mình những góp ý nhé, thanks mọi người nhiều!

Bài 1: Cho kg mê tríc $(E,d)$ và $\varphi: ExE \rightarrow \mathbb{R}$ định bởi $\varphi(x,y)=d(x,y)$. CMR:

$ \left | \varphi(x,y)-\varphi(x_0,y_0) \right |\leq d(x,x_0)+d(y,y_0)\,\,\,\forall x, y, x_0, y_0 \in E $

Suy ra rằng $ \varphi $ là hàm liên tục trên $ExE$.

Bài 2: Cho kg định chuẩn $(E,\left \| . \right \|)$ và $\varphi:E \rightarrow \mathbb{R}$ định bởi $\varphi(x)=\left \| x \right \|$ . CMR:

$ \left | \varphi(x)-\varphi(y) \right |\leq \left \| x-y \right \|\,\,\,\forall x, y \in E $

Suy ra rằng $\varphi$ là hàm liên tục trên $E$.

Bài 3: Cho kg mê tríc $(E,d)$ và $A$ là tập con khác rỗng của $E$. Xét ánh xạ: $\varphi:E \rightarrow \mathbb{R}$ định bởi

$\varphi(x)=d(x,A)=\inf_{a\in A}d(x,a) \,\,\,\forall x \in E$. CMR:

a) $\left | \varphi(x)-\varphi(y) \right |\leq d(x,y),\,\,\,\forall x, y \in E$

b) $\varphi(x)=0$ nếu và chỉ nếu $x\in \overline{A}$.


PS: ơ..chủ đề mình gõ thiếu 1 dấu $, làm sao sửa bây giờ? hic..

Mình post lời giải bài 1 luôn vậy @_^)

Giả sử $b,c$ là hai phần tử nghịch đảo phải phân biệt nhau của $a$

Khi đó ta có $ab=1=ac$ kéo theo $\forall k \in N , k \geq 1$ thì $a\left((k+1)b-kc\right)=(k+1)ab-kac=1$ , suy ra $(k+1)b-kc$ , $\forall k \in N , k \geq 1$ cũng là phần tử nghịch đảo phải của $a$

Chú ý : $(k+1)b-kc \neq (t+1)b-tc$ với $\forall k,t \in N , k \neq t$

Vậy $a$ có vố phần tử nghịch đảo phải

Cách giải này em hiểu, nhưng suy nghĩ mãi vẫn ko hiểu vì sao anh lại chọn được phần tử nghịch đảo $(k+1)b-kc$ để nhân bên phải phần tử $a$?

Câu b : $\forall x \in R$ , $x-x^2=(x-x^2)^3=x^3-3x^4+3x^5-x^6=x-3x^2+3x-x^2$ hay $3(x-x^2)=0$

suy ra $x^2=x$ , $\forall x \in R$

Câu c : $\forall x \in R$ , $x-x^2=(x-x^2)^4=x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8=x-4x^2+6x^3-4x+x^2$

hay $4x+2x^2=6x^3$ (1) .Nhân $x$ vào 2 vế đẳng thức (1) ta có $4x^2+2x^3=6x^4=6x$ (2)

Thế $x^3$ ở (2) vào (1) ta được $4x+2x^2=3(6x-4x^2)=18x-12x^2$ hay $14(x^2-x)=0$

suy ra $x^2=x$ , $\forall x \in R$

wow! cách giải này đẹp thật, thanks anh nhìu!

Đây là lời giải cho 2 bài như sau @_^)

Bài 1 : Do $I,J$ là idel của $R$ nên $IJ \subseteq I$ , $IJ \subseteq J$ suy ra $IJ \subseteq I\cap J$

Lấy $x \in I \cap J$ khi đó $x \in I$ , $x \in J$ (*)

Khi đó $\exists \ \ i \in I , j \in J$ sao cho $i+j=1-x$ $\Longleftarrow $ em ko hiểu dòng này, $1$ là gì vậy anh?

kéo theo $x(1-x)=x(i+j)=xi+xj \in IJ$ ( do (*) và $R$ là vành giao hoán ) kéo theo $x=x^2+x(1-x) \in IJ$

Suy ra $I \cap J \subseteq IJ$

Vậy $IJ=I \cap J$

Bài 2 : Do $I \neq R$ nên tồn tại $x \in R$ nhưng $x \notin I$

Khi đó ta lập được ideal sinh bởi 1 phần tử $x$ , $\langle{x}\rangle$

Ta có $I \subset I+\langle{x}\rangle \subseteq R$ , mà $I$ là ideal tối đại nên $ I+\langle{x}\rangle =R$ (đpcm)


Nếu em thay ký hiệu $\subseteq$ bằng $\subset$ trong bài này thì có đúng ko? $\subseteq R$ là kí hiệu cho ideal của $R$ hả anh?

E suy nghĩ mãi theo gợi ý đó mà cũng ko biết áp dụng thế nào, hic.. anh gợi ý rõ hơn nữa đi, hjj. Thanks anh nhìu!

Ò..., ò.. đúng rùi, em nhầm ! Cứ tưởng là đơn vị phải, hiii

Ở bài 1 nếu cho thêm giả thiết $R$ có đơn vị thì em chứng minh được, còn nếu $R$ chỉ là vành giao hoán thì ...e chưa nghĩ ra, hjj. Bài 2 thì...ko nhìn ra hướng nào cả, hic...

Hii, ý e là do giả thiết nói rằng giả sử $a \in R$ bất kì có nhiều hơn một phần tử nghịch đảo phải (e g/s nó có 2 p.tử nđ là $b, c$)

Vì $b$ là nđ phải của $a$ nên ta có: $ab=a ,\,\,\,\,(1)$

Vì $c$ là nđ phải của $a$ nên ta có: $ac=a ,\,\,\,\,(2)$

Từ $(1), (2)$ e suy ra hệ thức đó í, vậy mình phải ghi thế nào hả anh?

Vành này là bất kì mà, vậy thì tại sao $ab=a=ac \Rightarrow b=c=1\,\, ?$ Chúng ta chỉ suy ra được điều này nếu biết rõ $a$ khả nghịch chứ anh?

Bài 1:

Giả sử $a \in R$ có 2 phần tử nghịch đảo phải là $b, c$. Ta có:

$ab=a=ac \Rightarrow (ab)c=a \Rightarrow a(bc)=a$. Suy ra $bc$ cũng là nghịch đảo phái của $R$. Do đó: $R$ có vô số nghịch đảo phải.

Bài 1 giả thiết cho $R$ là vành giao hoán, có đơn vị không ạ?

Nếu một bài giả thiết cho $R$ là vành tùy ý, thì nghĩa là nó không có đơn vị, hoặc có đơn vị; giao hoán hoặc không giao hoán; số phần tử của nó có thể chỉ là 1 (là p.tử không của nó). Vậy thì khi ta chứng minh, ta ko thể áp đặt cho nó có đơn vị, có nhiều hơn 1 phần tử... đúng ko anh?

E chứng minh tiếp câu b) thế này:

Ta đã có: $x^2y=yx^2, \forall x, y \in R \,\,\,$

Câu c), tương tự ta cũng có:

$x^3y=yx^3, \forall x, y \in R \,\,\,$

2 cái đẳng thức trên My chứng minh thế nào ? Nó chỉ đúng khi $R$ là vành giao hoán thôi, ở đây ta chưa biết $R$ có giao hoán không @_^)

Lập luận tiếp theo My đã sử dụng tính giao hoán của vành $R$ rồi. @_^)

Hiii, e hiểu sai nữa rồi khi áp dụng kq câu a cho câu b.

E giải lại câu b thế này:

Từ gt $\Rightarrow x^4=x^2$. Đặt $u=x^2 \Rightarrow u^2=u \,\,\,\,(1)$

Ta cần CM $yu=uy\,\,\,\, \forall u, y \in R$, ý tưởng là sẽ CM $yu=uyu=uy$

Ta có: $(yu-uyu)^2=(yu-uyu)(yu-uyu)=yu.yu-yu.uyu-uyu.yu+uyu.uyu$

$=yu.yu-y.u^2.yu-uyu.yu+uy.u^2yu=yu.yu-yu.yu-uyu.yu+uy.uyu=0$ (do $(1)$)

$\Rightarrow (yu-uyu)^3=(yu-uyu)^2.(yu-uyu)=0.(yu-uyu)=0$

$\Rightarrow (yu-uyu)=0 \Rightarrow yu=uyu$ (do $x^3=x \,\,\,\, \forall x \in R$)

Tương tự ta cũng CM được: $(uy-uyu)^2=0 \Rightarrow uy=uyu$

Do đó ta có: $yu=uy$, tức là có: $x^2y=yx^2, \,\,\,\, \forall x, y \in R$.

Với câu c em cũng đặt: $t=x^3 \Rightarrow t^2=t$ và CM tương tự như trên em cũng có $x^3y=yx^3, \,\,\,\,\forall x, y \in R $

Nhưng với câu c thì em ko CM bước cuối cùng để đi đến $xy=yx$ như câu b được, hic..

Có gì chưa đúng anh góp ý giúp e nha, cảm ơn anh nhìu nhìu!

Ở câu b) và c) e cũng nghi là giải sai rùi, hjj

E chứng minh tiếp câu b) thế này:

Ta đã có: $x^2y=yx^2, \forall x, y \in R \,\,\, (1)$, do đó:

$xy=(xy)^3=xy.xy.xy=x.yx.yx.y=x(yx)^2y=xy(yx)^2$ (do $(1)$)

$=xy.yx.yx=xy^2xyx=y^2x^2yx=y^2yx^2x=y^3x^3=yx$. Vậy R là vành giao hoán.

Câu c), tương tự ta cũng có:

$x^3y=yx^3, \forall x, y \in R \,\,\, (2)$

E định biến đổi kiểu tương tự câu b), nhưng làm mãi hok được , hic..

Hiển nhiên là bài TQ thì ...bờ i bi sắc ..bí !

Em giải thế này, có sai thì a chỉ giúp nha, hjj

a) Với mọi $x \in R \Rightarrow -x \in R$, ta có: $x=x^2=(-x)^2=-x \,\,\,\,(1)$

Với $y \in R$ ta có:

$x+y=(x+y)^2=x^2+xy+yx+y^2=x+xy+yx+y \Rightarrow xy+yx=0$

$\Rightarrow xy=-yx =-(yx)=yx$ (do $(1)$). Vậy R là vành giao hoán.

b) $x^3=x \Rightarrow x^4=x^2$. Đặt $u=x^2 \in R$. Từ giả thiết $\Rightarrow u^2=u , \forall u \in R$.

Áp dụng câu a) ta suy ra R là vành giao hoán.

c) $x^4=x \Rightarrow x^6=x^3$. Đặt $t=x^3 \in R$. Từ giả thiết $\Rightarrow t^2=t , \forall t \in R$.

Áp dụng câu a) ta suy ra R là vành giao hoán.

Tổng quát:

...Chờ xem cách làm trên đúng ko rùi mới suy nghĩ bài t.quát này, hjjj

Cảm ơn anh rất nhìu, mong a online nhìu nhìu để...e học hỏi, hjj

Cho e hỏi trong vành $Z_6$ thì ideal $A=<\overline{4}>$ có các phần tử là: $<\overline{4}>=\left\{\overline{0},\overline{2}, \overline{4}\right\}$ đúng ko a?

Ví dụ có đề bài thế này: Chứng minh rằng $f(x)=x^3+x+1 \in Q[x]$ bất khả qui trong $Q[x]$.

E giải thế này như dưới đây được ko?

Vì $f(x)$ là đa thức hệ số nguyên trên $Q[x]$ và có hệ số cao nhất là 1, hệ số tự do cũng là 1, nên nghiệm hữu tỉ $\alpha$ của nó (nếu có) phải là ước của 1 $\Rightarrow \alpha = \pm 1$. Lần lượt thay $\alpha = \pm 1$ vào $f(x)$ ta thấy $f(x) \neq 0$. Vậy $f(x)$ ko có nghiệm hữu tỉ trên $Q[x]$. Do đó nó BKQ trên $Q[x]$.

E đã hiểu, hjj cảm ơn anh nhìu nhìu !

A cho e hỏi, khi mình muốn chứng tỏ $Z/nZ$ là miền nguyên, mình có cần chỉ rõ ra nó thỏa các đk theo đn miền nguyên ko ạ? (MN là vành g.hoán, có đơn vị, có nhiều hơn 1 phần tử, và ko có ước của không).

Phần tử đơn vị của $Z/nZ$ có phải là $1+nZ$ không ạ? $Z/nZ$ có nhiều hơn một phần tử vì nó đã chứa phần tử $0$ và p.tử đơn vị phải ko a?

Cho e hỏi thêm:

1) Nếu $A$ là ideal của vành $X$ có đơn vị thì hiển nhiên $A$ cũng chứa phần tử đv đó? Và nếu vành $X$ không có đơn vị thì suy ra ideal $A$ của nó cũng ko có đv?

2) Phần tử $0$ và p.tử đơn vị của vành $X$ nếu nó tồn tại thì nó có duy nhất (giống như bên NHÓM) trong vành $X$ không a?

3) Nhiều tài liệu có khẳng định rằng (mà ko có tài liệu nào chứng minh, hic..): $A$ là ideal của vành $X$ có đơn vị và $A$ chứa đơn vị của $X$ khi và chỉ khi $A=X$. Em hiểu thế này, ko biết đúng hok?:

Hiển nhiên $A \leq X$ (vì nó là ideal của $X$)

$\forall x \in X \Rightarrow x=xe \in A \Rightarrow X \leq A$. Vậy nên $X=A$

4) Muốn kiểm tra một đa thức hệ số nguyên trên trường số hữu tỉ $Q$, có bất khả qui trên $Q$ mình có thể đi tìm các nghiệm hữu tỉ của nó. Nếu nó ko có nghiệm hữu tỉ nào thì mình khẳng định nó bất khả qui trên $Q$, và nếu nó có ít nhất 1 nghiệm hữu tỉ thì mình khẳng định nó khả qui trên $Q$?

Trong $Q[x]$ ta có tiêu chuẩn Eisenstein để kiểm tra tính bất khả qui của một đa thức $f(x) \in Q[x]; deg f>1$, nhưng ko phải đa thức nào của $Q[x]$ cũng có thể áp dụng được tiêu chuẩn này. Vậy nếu mình cứ áp dụng cái dòng màu đỏ ở trên để kiểm tra tính BKQ của mọi đa thức của $Q[x]$ thì có đúng ko a?

PS: Có những thắc mắc nhỏ, có những cách hiểu chưa biết đúng hay sai, khi học chẳng biết hỏi ai, hỏi giảng viên thì chắc là...ko dám rùi, nhờ có các anh ở dđth giúp e đã biết được nhiều thứ, cảm ơn các anh và dđth nhiều lắm!!!

Mong các anh giải giúp e bài này, và giải thích thật rõ, hjj (đây là bài tập 3.13 trang 64 rất cơ bản, có lời giải trong quyển BT ĐS ĐC của Bùi Huy Hiền), nhưng e đọc chả hiểu lắm vì lời giải ngắn gọn quá!!!

Chứng minh $Z/{n}Z$ (với $n \neq 0$) là một miền nguyên $\Longleftrightarrow n$ là số nguyên tố.


PS: Room ĐH này ít thấy thành viên quan tâm nhỉ, lâu nay chỉ thấy anh fghost và anh phuc_90 có bài viết giúp đỡ em, hic...

Nhờ các anh xem giúp cách giải của em có đúng ko? (tại em đọc thấy lời giải nó dài dòng quá, mà em tự làm thì thấy "gọn" quá nên ...nghi ngờ mình bị sai )

Cho $H \leq G, K \leq G$, CMR:

a) Nếu $ H \triangleleft G \Longrightarrow HK \leq G.$

b) Nếu $ H, K \triangleleft G \Longrightarrow HK \triangleleft G.$

Lời giải của em:

a) Hiển nhiên $HK \neq \left\{\varnothing\right\}$ và $HK \subset G$.

Lấy $ h_1k_1, h_2k_2 \in HK$ ($h_1, h_2 \in H; k_1, k_2 \in K$), ta có:

$(h_1k_1)(h_2k_2)^{-1}=(h_1k_1)(k_2h_2)^{-1}$ (vì $ H \triangleleft G$)

$=(h_1k_1){h_2}^{-1}{k_2}^{-1}=h_1({h_2}^{-1}k_1){k_2}^{-1}=(h_1{h_2}^{-1})(k_1{k_2}^{-1}) \in HK$

Do đó: $ \Longrightarrow HK \leq G.$

b) Theo câu a) ta đã có $HK \leq G$, ta chỉ cần kiểm tra thêm điều kiện chuẩn tắc của $HK$.

$\forall x \in G, hk \in HK (h \in H, k \in K)$, ta có:

$x(hk)x^{-1}=(xh)(k{x}^{-1})=(hx)(x^{-1}k)=hk \in HK \Longrightarrow HK \triangleleft G.$

Cảm ơn anh rất nhiều. Bây giờ thì em đã hiểu, và có thể tự trả lời được câu hỏi thêm số 2, . Như vậy theo em thấy thì để nhân 2 hoán vị mà trong đó có một hoán vị viết dưới dạng tích của các chuyển vị thì cách nhanh nhất là mình chuyển tích các chuyển vị ấy về dạng tích các chu trình rời nhau, sau đó mình nhân sẽ nhanh hơn, hjjj Chúc anh có nhiều sức khỏe!

Các anh giải thích giúp em vấn đề này nha:

Đề bài: Trong nhóm hoán vị $S_{10}$, cho $$\sigma_1= \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
2 & 3 & 5 & 7 & 6 & 1 & 8 & 4 & 10 & 9
\end{pmatrix}$$

$$\sigma_2=\begin{pmatrix}
1 & 3 & 4 & 7
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 2 & 4 & 3
\end{pmatrix}$$

Viết $\sigma_1$ và $\sigma_2$ và $\sigma_1 \sigma_2$ dưới dạng tích các chu trình rời nhau và dưới dạng tích các chuyển vị.

Giải:

...Em có đọc lời giải nhưng ...ko hiểu, hjjj

Ta có: $\sigma_1=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 5 & 6
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 & 7 & 8
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
9 & 10 \end{pmatrix} = (6 5)(6 3)(6 2)(6 1)(8 7)(8 4)(9 10)$

Cho em hỏi, em có thể viết: $\sigma_1=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 5 & 6
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 & 7 & 8
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
9 & 10 \end{pmatrix} = (1 6)(1 5)(1 3)(1 2)(4 8)(4 7)(9 10)$ được ko ạ?

Và $\sigma_2=(1 5 2 7)$. Cái này em ko hiểu tích của 3 chu trình trong $\sigma_2$ được thực hiện theo thứ tự như thế nào để có $\sigma_2=(1 5 2 7)$ ?

Cho em hỏi thêm:

1) Từ $\sigma_2=\begin{pmatrix}
1 & 3 & 4 & 7
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 2 & 4 & 3
\end{pmatrix}$ mình có thể viết $\sigma_2$ có dạng 2 dòng như kiểu $\sigma_1$ được ko? Cách thực hiện như thế nào?

2) Khi một hoán vị được viết ở dạng tích của các chuyển vị (như $\sigma_1=(6 5)(6 3)(6 2)(6 1)(8 7)(8 4)(9 10)$, ta muốn nhân với một hoán vị được viết ở dạng tích của các chu trình (như $\sigma_2=\begin{pmatrix}
1 & 3 & 4 & 7
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 2 & 4 & 3
\end{pmatrix}$ thì mình thực hiện như thế nào?

3) Trong lời giải có nói: $\sigma_1 \sigma_2 =\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 5 & 6
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 & 7 & 8
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
9 & 10 \end{pmatrix} (1 5 2 7)= (1 6)(2 8 4 7)(3 5)(9 10)$, em chẳng hiểu cách nhân này thực hiện như thế nào?

Cho $X \neq \varnothing$ cùng với phép toán 2 ngôi kết hợp trong $X$. CMR: $X$ là nhóm $\Leftrightarrow aX=Xa=X, \forall a \in X$

Em giải thế này, mong các anh xem và chỉ giúp nếu có chỗ suy luận sai:

$(\Longrightarrow):$ Gọi $e$ là đơn vị của $X$.

$\forall a \in X$ ta có: $ a=ae \in aX \Rightarrow X \subset aX $; Hiển nhiên $ aX \subset X $. Vậy ta có: $ aX = X $

Tương tự ta chứng minh được: $Xa=X$. Do đó: $aX=Xa=X$.

$(\Longleftarrow):$ Do $X \neq \varnothing \Rightarrow \exists a \in X$

Vì $ a \in X=aX \Rightarrow a=ae $. Ta sẽ CM $e$ là đơn vị phải của $X$.

Thật vậy: Lấy $ x \in X=Xa \Rightarrow \exists b \in X: x=ba $, ta có:

$xe=(ba)e=b(ae)=ba=x$. Vậy $e$ là đơn vị phải của $X$. (1)

Đoạn CM sau đây là cái em cần hỏi nhất nè, ko biết có ổn ko, hjj:

Với mỗi $a \in X$, vì $e \in X=aX \Rightarrow \exists a' \in X: e=aa'$. Do đó $a'$ là nghịch đảo phải của $a$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $X$ là nhóm.