$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}+\frac{(a-b)^2(3a+b)(a+3b)}{8(a+b)(a^2+6ab+b^2)}$

 với a,b dương..

Cho a, b, c dương thỏa mãn: $3+4(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})=5(a+b+c)$. CMR:$\sum \frac{a^{2}}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leqslant 1$

 

 

Hướng giải của mình là như thế này, không biết có giúp ích gì không.

Từ điều kiện đề bài suy ra $a+b+c\leq 3$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có

$\sqrt{(a+b)(a+c)}\geq \sqrt{ab}+\sqrt{ac}$

Do đó

$\sum \frac{a^2}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \sum \frac{a^2}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}=\frac{\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}+\sqrt{c^3}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$

Liệu có chứng minh được  $\frac{\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}+\sqrt{c^3}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\leq 1$ dựa vào $a+b+c\leq 3$ không nhỉ????

 

 

Sorry.Không biết bấm thế nào mà nó lại copy ra nhiều bài thế nhỉ

 

 

 

 

 

 

 

chắc là: $\sum \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}$ chứ ko phải ;là:'

$\sum \frac{a^2}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}$

nếu thê này thì BĐT sai ở $x=\frac{1}{2};y= \frac{1}{4};z=\frac{9}{4}$

sai đề.

nếu là thế này $\sum \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}$

 

  thif chỉ cần làm như

 

 

lahantaithe99

 

là OK