Xin đề xuất một hướng khai thác giả thiết khác như sau: Xét vế trái ta thấy các tử số đều ở dạng bậc 2, nên ta nhân cho bậc 4 để đưa về bậc 6 là bình phương của bậc 2, làm như vậy khi dùng cauchy - swarch sẽ rút gọn được biểu thức, và bên cạnh không làm "yếu nhiều" bất đẳng thức đầu bài
VT>=$\geq \frac{\left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )^{2}}{a^{4}(b+c)+b^{4}(c+a)+c^{4}(a+b)}$
Do đó ta chỉ cần chứng minh rằng:
$2(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq 3\sum ab(a^{3}+b^{3})$ (1)
Bất đẳng thức (1) có thể chứng minh đơn giản chỉ bằng phép biến đổi tương đương, hoặc AM-GM
Nếu dùng S.O.S như bạn Nghia_metal như ở trên lời giải này sẽ rất đẹp chỉ là chú ý các Sa, Sb, Sc trong trường hợp này đều không âm ( theo bdt hoán vị ) (NDT)
Bđt (1) chứng minh sao vậy bạn