Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Trung tuyến từ B,C cắt (O) tại M,N.Trung trực BN và đường thẳng qua B vuông góc AB cắt nhau tại K. Gọi H là trực tâm tam giác ABC.CMR KH vuông góc CM.

(Bài này mình đăng cách đây hơn một năm mà vẫn chưa giải được.)

$HK$ cắt $BC$ tại $S$. Kẻ $AT$ vuông góc $BC$.

Ta có: $SH.SK=ST.SI$.

Mà theo hệ thức Maclaurine thì $ST.SI=SB.SC$.

Suy ra $SH.SK=SB.SC$

Nên $HKCB$ là tứ giác nội tiếp.

Do đó $\angle BKC=\angle BHC$=const=$\alpha$ (hình như là 120 thì phải).

Vậy $K$ chuyển động trên cung chứa góc $\alpha$ dựng trên $BC$.

hình tự vẽ nhé.  

tiếp tuyến tại $C$ sao cắt $AC$ được.

Áp dụng định lý Ptoleme cho tứ giác $ABMC$ là ra ngay mà.

điểm K ở đâu vậy?

Lời giải ( cách hơi dở):

Gọi $K$ là giao điểm $BM,CF$.

Xét cực và đối cực đối với $(CH)$.

Dễ thấy $BM$ là đường đối cực của $A$, đi qua $K$ nên đường đối cực của $K$ đi qua $A$. Mà $AB$ vuông góc $CF$ và tâm $(CH)$ thuộc $CF$ nên $AB$ là đường đối cực của $K$.Suy ra đường đối cực của $B$ chính là $AT$ sẽ đi qua $K$.(ĐPCM)

Ta cần cm: $\angle MBD=\angle MEF =\angle MDF$

Tức là cần cm $MD^{2}=MF.MB$. (1)

Mà $MF.MB$ = phương tích của $M$ đv $(BEFC)$ = $MP^{2}-PB^{2}$( với $P$ là trung điểm cung $BC$).

Đến đây ta dễ dàng biến đổi để có được $MP^{2}-PB^{2}=MD^{2}$.

Ta thu được đpcm, tức là điểm $D$ thuộc đtròn $(MEF)$.

Mặt khác ta có MH=MD, ta cũng có hệ thức tương tự như (1). Nên $H$ cũng thuộc đtròn $(MEF)$.

Suy ra đpcm.

bài này là một ý trong bài toán mình đã cm tại đây https://diendantoanh...oit-thẳng-hàng/

Cho $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$.$H$ là trực tâm.$AH$ cắt đường tròn $(O)$ tại $K$.Đường kính $KT$.Qua $C$ vẽ đường thẳng song song với $AB$ cắt $(O)$ tại $M$.CMR: $AM,CT$ và đường thẳng Euler của tam giác $ABC$ đồng quy.

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$.Vẽ ra ngoài tam giác trên các tam giác cân $ABD,ACE$ sao cho $AD=DB=EA=EC=BC/2$.Gọi $T$ là trung điểm $BC$.Tìm điều kiện của tam giác $ABC$ để $AT,BE,CD$ đồng quy.

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$.Đường thẳng đi qua trực tâm $H$ vuông góc với phân giác góc $A$ cắt $AB,AC$ tại $D,E$. Gọi $T$ là tâm đường tròn $(ADE)$.I là trung điểm $AH$.CMR:O,I,T thẳng hàng.

Cho điểm $A$ di động trên đường tròn tâm $O$, dây cung $BC$ cố định. Một đường tròn di động luôn đi qua $BC$ cắt $AB,AC$ tại $D,E$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $AED$ tiếp xúc với $AD,AE,DE$ tại $M,N,P$.$IP$ cắt $MN$ tại $Q$.CMR:AQ đi qua điểm cố định.

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$.Tiếp điểm với $BC$ của đường tròn nội tiếp tam giác là $D$.$M$ là trung điểm của $BC$.Trên đường trung trực của $BC$ lấy điểm $K$ sao cho $KM=R$.Đường trung bình ứng của tam giác $ABC$ song song với $BC$ cắt đường tròn $(O)$ tại $E,F$.CMR: K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF.

Cho tam giác $ABC$, trực tâm $H$. Đường cao $BE$, $CF$. $EF$ cắt $AH$ tại $L$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. $HM$ cắt đường tròn đường kính $AH$ tại $S$. Đường thẳng qua $L$ vuông góc $AH$ cắt $AS,AM$ tại $P,Q$.CMR: $APQH$ là tứ giác nội tiếp.

Cho tam giác $ABC$, trực tâm $H$. Đường cao $BE$, $CF$. $EF$ cắt $AH$ tại $L$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. $HM$ cắt đường tròn đường kính $AH$ tại $S$. Đường thẳng qua $L$ vuông góc $AH$ cắt $AS,AM$ tại $P,Q$.CMR: $APQH$ là tứ giác nội tiếp.

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$.$AC$ cắt $BD$ tại $F$. $AD$ cắt $BC$ tại $E$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $EF, CD$.CMR:$EC.ED- FC.FD= 2.EF.MN$.

Cho tam giác $ ABC $  nội tiếp $(O)$. Trực tâm $H$. Một điểm $P$ trên $(O)$. Đường thẳng qua $P$ vuông góc với $AP$ cắt $BC$ tại $M$.CMR $\angle APH=\angle OMC$( trong trường hợp lấy $H$ như hình vẽ).

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Trung tuyến từ $B,C$ cắt $(O)$ tại $M,N$.Trung trực $BN$ và đường thẳng qua $B$ vuông góc $AB$ cắt nhau tại $K$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$.CMR $KH$ vuông góc $CM$

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có phân giác $BD,CE$.Qua $A$ vẽ các đường thẳng // $BD,CE$ cắt $BC$ tại $M,N$. Đường tròn $(AMN)$ cắt $(O)$ tại F.CMR: $AF//DE$.

Cho  đa thức $P(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+1$ thỏa mãn $|P(x)|\leq 1, \forall |x|\leq 1.$ Chứng minh rằng $|a|+|b|\leq 5.$

Cho $a,b,c$ là các số tự nhiên thỏa $a+2b+3c=100.$ Tìm GTLN của $abc.$

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$.$B,C$ cố định còn $A$ động trên $(O)$.Đường trung tuyến $AM$ cắt $(O)$ tại $D$.Qua D: vẽ đường thẳng song song $AC$ cắt $(O)$ tại $E$, vẽ đường thẳng song song $AB$ cắt $(O)$ tại $F$.Một đường tròn đi qua $E,F$ tiếp xúc với $BC$ tại $T$.Cmr $AT$ đi qua một điểm cố định khi $A$ di chuyển trên $(O)$.

(Sao không up hình được mọi người nhỉ?)

Bài 14:

a.Đường tròn đường kính $AT$ cắt $OT$ tại $A_{1}'$ .Theo hệ thức lượng: $TO.TA'_{1}=TA^{2}=TB.TC$.Suy ra $OA'_{1}BC$ nội tiếp.Do đó $A'_{1}\equiv A_{1}$.

Dễ thấy $AA_{1}$ là đường đối cực của $T$ đối với $(O)$.Ta có: $\frac{TB}{TC}=\frac{AB^{2}}{AC^{2}}$. Do đó nếu dúng định lý Me-nê-lê-uýt thì hai giao điểm còn lại thẳng hàng với $T$. Nên các đường đối cực của chúng đồng quy. Suy ra: $AA_{1},BB_{1},CC_{1}$ đồng quy.đpcm.( mong các bạn có cách giải khác không đụng đến đường đối cực).

b.Hạ đường cao $AD$. trực tâm $H$.

Theo hệ thức lượng: $OA^{2}=OA_{1}.OT=OC^{2}\Rightarrow \bigtriangleup OCA_{1}\sim \bigtriangleup OTC(c.g.c)\Rightarrow \angle OTC=\angle OCA_{1}$.

Mà $\angle OTD=\angle A_{1}A_{2}D(TA_{1}DA_{2}nt),\angle OCA_{1}=\angle A_{1}A_{2}O(A_{1}A_{2}COnt)\Rightarrow \angle A_{1}A_{2}D=\angle A_{1}A_{2}O$.Suy ra $A_{2},D,O$ thẳng hàng.

Gọi $K$ là giao điểm của $OH$ và $AA_{2}$

Dùng định lý Mê-nê-la-uýt cho tam giác $DHO$:

$\frac{KH}{KO}.\frac{A_{2}O}{A_{2}D}.\frac{AD}{AH}=1\Rightarrow \frac{KH}{KO}=\frac{A_{2}D}{A_{2}O}.\frac{AH}{AD}=\frac{A_{2}D.OD}{A_{2}O.OD}.\frac{AH}{AD}=\frac{DB.DC}{AO^{2}}.\frac{AH}{AD}$.

Mà ta có $DB.DC=DH.DA$(chứng minh bằng cách gọi giao điểm của AH với (O) rồi cm hai đoạn bằng nhau, rồi dùng phương tích)

Nên: $\frac{KH}{KO}=\frac{HA.HD}{R^{2}}=\frac{2.HA.HD}{2R^{2}}=\frac{P/_{(O)}}{2R^{2}}$(cái đẳng thức cuối cũng cm bằng cách trên,gọi giao điểm, cm đoạn rồi phương tích)

Ta có biểu thức trên không đổi, nên $K$ là điểm xác định trên đường thẳng Ơle.Nên các đường thẳng khác cũng đi qua K

Do đó các đường thẳng $AA_{2},BB_{2},CC_{2}$ đồng quy tại K trên đường thẳng Ơ le.

Hình vẽ:

Cho $\bigtriangleup ABC$.Trên $BC$ lấy hai điểm $P,Q$ sao cho $\angle B=\angle CAP,\angle C=\angle BAQ$.$(BAP)\cap (CAQ)=D$. Trên tia $BA$ lấy điểm $K$ sao cho $A$  là trung điểm $BK$. Qua $K$ vẽ đường thẳng $d\perp BA$ cắt $BD$ tại$I$.Cmr $KC$ đi qua trung điểm của $BI$

Hình vẽ bài toán

Cho các điểm $A,B$ cố định và điểm $C$ di động trên  đường tròn $(O)$.  Đường tròn $(O_{1})$ đi qua $C,A$ và nhận $BC$ làm tiếp tuyến cắt đường tròn $(O_{2})$ đi qua $C,B$ và nhận $CA$  làm tiếp tuyến tại D.

a) Cmr $CD\leq R$

b) Cmr $CD$ luôn đi qua điểm cố định khi C di động.

Hình vẽ