Mình rất yêu thích sử học từ nhỏ bên cạnh ngôn ngữ học.

Nhưng 1 minh chứng cho thấy hai ngành này bị bỏ xó vứt vào rổ rác so với Toán là khi các bạn so hoạt động giáo dục cấp cao giữa Việt Toán Học và Viện Sử Học hay Viện Ngôn Ngữ Học.

 

Mình thấy ở Hà Nội các tài năng trẻ và người yêu thích Toán tham gia rất nhiều lecture và seminar hội thảo ở Viện Toán Học.

 

Mình chưa từng thấy điều tương tự diễn ra ở Viện Sử Học và Viện Ngôn Ngữ Học.

 

Ngành lịch sử của VN cũng bị chính trị hóa rất nhiều và thiếu khách quan.

Bạn cần phải định rõ hoàn cảnh bài toán hơn. Ví dụ như, khi lật lên xong thì để mở tiếp hay úp lại? Có cần phải xáo lại hoàn toàn không?

Ví dụ có 10 hình tổng cộng. Trong đó có 5 cặp. Khi mở lên nếu hai hình không giống nhau thì úp lại, rồi mở tiếp.

Mình hiện đang làm tình nguyện viên tại một trung tâm can thiệp giúp trẻ tự kỷ và chậm phát triển ngôn ngữ. Mình có gặp một trò chơi: Có bao nhiêu đó thẻ, nếu lật 2 thẻ cùng hình thì sẽ thắng. Ngay lập tức đầu mình nghĩ trò này có thể tính xác suất chính xác, hơn nữa là xác suất có điều kiện. Nhưng không biên đặt bài toán thế nào,

Xin lỗi bạn Isidia, mình bận quá nên không lên trả lời sớm hơn được.

 

Rất tiếc khi nghe về bệnh tình của bạn, cầu mong bạn sẽ gặp may mắn.

Nesbit thấy bạn có viết blog về Toán và có vẻ như vẫn còn học Toán. Theo Nesbit thì Toán nếu học đúng cách thì không hề có hại cho bộ não mà còn có lợi. Nếu bạn mất căn bản thì cần học lại những kiến thức của lớp dưới để lấy lại căn bản trước, chứ đừng ham học những kiến thức trên cao, rất có hại. Nếu bạn còn thích học Toán (dù chỉ là sở thích chứ không phải cho sự nghiệp), thì Nesbit thật lòng khuyên bạn nên làm như vậy. 

 

 

 

Không biết bạn đọc ở đâu, nhưng phần Nesbit in đậm ở trên hoàn toàn không đúng nhé. Đọc lại thì mới thấy là Nesbit quên nên tên cái ngành học đã giới thiệu cho bạn, ngành đó gọi là Computational Linguistics, machine translation là một mảng của nó. Với kiến thức Toán năm nhất đại học thôi cũng đủ để làm nhiều thứ hay ho trong ngành này (tất nhiên ngoài ra cần phải biết lập trình). Nếu bạn muốn học thì hãy đọc sách này: https://web.stanford...~jurafsky/slp3/. Lưu ý: đọc từ đầu đến cuối, step by step, đừng vội đọc những phần mình thấy thích dựa vào tiêu đề.

 

Cảm ơn bạn nhiều nhé. Mình cũng không còn ý định tự học những cái cao siêu nữa. Trình độ và khả năng mình có hạn nên mình chỉ làm việc với những chủ đề vừa sức mà thôi.

 

Mình cũng đã tìm thấy quyển của Jurafsky. Có lẽ là một trong số những sách giáo khoa hiếm về Computational Linguistics. Mình sẽ dàng thời gian đọc từ từ. Sách dày nên có lẽ cần rất nhiều thì giờ để hoàn thành.

 

Gần đây mình mới biết là các thứ như lý thuyết độ đo không quá cần thiết cho một người muốn hiểu về statistics and probability theo hướng ứng dụng. Ngay cả các nhà thống kê học chuyên nghiệp cũng có người không hiểu mấy về độ đo. Mình cũng thở phào nhẹ nhỏm.

Một câu hỏi khác về thống kê và xác suất (có liên quan đến xác suất không nhỉ?) là việc xác định hay ước lượng số lượng từ vựng một học sinh biết.

Chẳng ai nói tốt tiếng Anh quan tâm đếm xem mình biết bao nhiêu từ, nhưng vì sao một vài trang web hay app có thể đưa ra con số phổng chừng sau khi đưa ra các bài test đơn giản hay khó?

Chắc chắn phía sau phải có Toán thống kê trong đó.

Câu hỏi này liên quan đến câu hỏi trên vì, theo ý kiến của mình, mình nên biết học sinh ấy biết bao nhiêu từ trong đầu, vốn khó trả lời.

Rõ ràng có thể dễ dàng trả lời có bao nhiêu từ trong một corpus (cơ sở dữ liệu ngôn ngữ) của một ngôn ngữ, nhưng không dễ trả lời có bao nhiêu từ học trong đầu một học sinh.

Một cách đơn giản ước tính là tìm một cái list các từ có đánh số, liếc mắt qua xem mình có biết không. Ví dụ list đó có 1500 từ mà mình nhận biết được gần hết, vậy thì đem 1500 trừ đi số từ mình chưa biết thì ra khoảng tiên đoán.

https://ia903200.us....rds Book 1.pdf

Tiến lên từ tổ hợp, mình đang nghĩ và suy từ về một vấn đề sau:

 

Ta định nghĩa collocation là các cụm từ mà trong đó các từ cấu thành kết hợp với nhau với tần suất cao (tức là chúng thường đi với nhau). Ví dụ danh từ feeling hay đi với động từ to have hay to harbour và giới từ for. Vậy thì giả sử cho học sinh 5 câu hỏi, ví dụ như:

 

I ---- (1) feeling ----- (2) Long.

 

Vậy thì xác suất mà học sinh ấy đoán được khoảng trống (1) và (2) là bao nhiêu?

 

Xác suất này chắc chắn có nhiều đáp án tùy theo cách hiểu và diễn giải của người tính. Chắc chắn nó phải là xác suất có điều kiện (conditional probability).

 

Đây chỉ mới là vài suy nghĩ mơ hồ của mình. Mình xem các video về Natural Language Processing và Computational Linguistics nên quan tâm đến những vấn đề đại loại vậy.

Nếu bạn muốn biết có bao nhiêu tổ hợp cấu tạo nên một từ hay có nghĩa, thì chỉ cần tra từ điển.

Ví dụ một nguồn tổng hợp: https://github.com/dwyl/english-words

Hoặc đây http://www.math.sjsu.../dictionary.txt

Bạn có thể dùng máy tính để tổng hợp xem có bao nhiêu từ có 2 chữ, rồi so sánh với kết quả bạn tính ra để xem có bao nhiêu % từ "có nghĩa" (được từ điển ghi nhận)?

Rồi làm tương tự với $n$ chữ cái.

Wow, cám ơn bạn nhé.

 

Mình có thể thử nghiệm với một đối tượng khiêm tốn hơn. Ta có thể tính tổng số tổ hợp các cụm phụ âm (consonant clusters) (ví dụ như /pl/ trong plan (thực vật)) rồi đem so sánh với số lượng cụm phụ âm thực sự tồn tại trong tiếng Anh hiện tại. Chi tiết hơn, ta có thể phân nhóm rồi so sánh % trong mỗi nhóm cũng được.

 

Fun fact: Khi nói tới các cụm phụ âm, tiếng Ba Lan giàu hơn hẳn tiếng Anh, và thậm chí vượt mặt tiếng Nga. Đó là lý do tại sao tiếng Ba Lan là một thử thách cho người Châu Á nói thứ ngôn ngữ đơn lập (isolating morphology).

Cảm ơn bạn Ruka,

 

Mình suy nghĩ nhiều về liên hệ giữa combinatorics và ngôn ngữ học. Ý kiến mình hiện giờ là nó không hữu dụng lắm (ở mức độ elementary (sơ cấp) như thế này), vì nó chỉ giúp ta đếm được tổng số các tổ hợp của chữ cái (grapheme), âm vị (phoneme), từ (word), etc, chứ không cho ta biết trong tổng số các tổ hợp đó, có bao nhiêu tổ hợp cấu tạo nên một từ, hay đơn giản là có ý nghĩa.

 

Tuy vậy, mình vẫn có thể làm cho vui để tự học thêm về toán tổ hợp và xác suất.

 

Bài 2: Có bao nhiêu cách để 21 phụ âm và 5 nguyên âm kết hợp nhau tạo thành một dãy chữ cái với dạng CVV (V=vowels, C=consonants)

 

Mình ngồi tự ra bài toán thì tính thế này. Có nhiều cách ra bài toán cho câu:

 

 

Ví dụ trong một bảng chữ cái tiếng Anh có 26 ký tự, trong đó có 5 vowels (nguyên âm) và 21 consonnants (phụ âm). Vậy thì có bao nhiêu cách kết hợp giữa 5 nguyên âm và 21 phụ âm.

 

 

Như một người non nớt, mình làm như sau:

 

Nguyên âm: A, I, E, O, U ( 5 chữ cái)

Phụ âm: B, C, D, F, G, J, K, L, M, N, P, Q, S, T, V, X, Z, H, R, W, Y

 

Bài Toán đơn giản nhất là, có bao nhiêu cách để mỗi chữ cái kết hợp theo nguyên tắc, VC (Vowels and Consonants) và CV (Consonants and Vowels).

 

Thì mình tính là:

 

5V kết hợp với 21C = $21 \cdot 5=105$

21C kết hợp với 5V = $5 \cdot 21 = 105$

 

Cái này đúng không, xin hỏi mọi người.

 

Mình lỡ post cái này vào Toán hiện đại, chủ ý là muốn ai chuyên Toán biết định lý gì về combinatorics và ngôn ngữ học thì giới thiệu. Nếu các mods thấy post sai chỗ thì chuyển sang box khác phù hợp, vì mình chỉ toàn hỏi những câu căn bản. Chân thành xin lỗi!

Trước tiên phải nói khái niệm của mình về mối quan hệ giữa combinatorics (tổ hợp) với sự kết hợp của từng chữ cái (nôm na như vậy cho dễ hiểu để khỏi phải giải thích lôi thôi) với nhau rất lờ mờ. Đại loại mình hiểu là ngành combinatorics một phần nghiên cứu về sự kết hợp giữa các phần tử với nhau trong một tập hợp, và nếu vậy liệu các chữ cái kết hợp với nhau có thể được mô tả bằng combinatorics hay không? Ví dụ trong một bảng chữ cái tiếng Anh có 26 ký tự, trong đó có 5 vowels (nguyên âm) và 21 consonnants (phụ âm). Vậy thì có bao nhiêu cách kết hợp giữa 5 nguyên âm và 21 phụ âm. Đây chỉ là bài toán đơn giản nhất mà mình nghĩ ra.

 

Nếu có ai biết thêm tài liệu hay ra đề bài dựa trên 2 lĩnh vực này thì mình xin đọc và lắng nghe. Mình phải ôn lại các kiến thức cơ bản về elementary combinatorics. Nhưng mình cảm thấy nó là một trò chơi thú vị.

 

Mình tìm được theorem (định lý) này nhưng chưa hiểu lắm, xin chia sẻ với mọi người:

 

https://encycla.com/...ization_Theorem

mấy anh này đã làm gì mà thành công lớn?

Thành công lớn ở đây là dựa vào sự nỗ lực của bản thân để giành học bổng và đeo đuổi ước mơ.

Cảm ơn bạn Linh đã đưa ra câu trả lời vừa tầm hiểu biết của mình.

 

Mình cứ tưởng sự hình thức hóa là việc biến một phát biểu bằng ngôn ngữ thường thành những ký kiệu Toán học, áp dụng các toán tử và lượng từ để khiến nó trở nên chặt chẽ và thoát khỏi sự mông lung (ambiguity) của ngôn ngữ thường.

Xin trích từ một cuộc nói chuyện riêng với một thành viên ở đây:

 

Toán học ngày nay đã là một ngành gây cảm hứng để các ngành khác nổ lực cải cách lại nền tảng lý luận để sánh bằng tính khách quan và chính xác của Toán. Một trong ngành ngôn ngữ học, lĩnh vực ngữ nghĩa học (semantics) đã được hình thức hóa và trở nên trừu tượng hơn hẳn các chi các trong ngôn ngữ học, nó gần như là một dạng logic Toán. Anh hiện quan tâm đến mảng này.
 

Lĩnh vực mà ta được biết theo truyền thống là ngữ pháp hay văn phạm trong ngôn ngữ học ngày nay cũng đã được hình thức hóa tới mức khó hiểu với phi chuyên gia, khiến cho Toán học, logic học và ngôn ngữ nối vòng tay lớn.

 

Tuy nhiên, liệu đằng sau những sự hình thức hóa và trừu tượng hóa đó có phải là những khái niệm và lý thuyết hữu dụng hay không, thậm chí có đúng không, thì mình không thể trả lời được chính vì sự thiếu hiểu biết về Toán học nói chung, và logic học nói riêng. Liệu các đối tượng trong ngôn ngữ học có tuân theo những quy luật (xin lỗi nếu dùng từ lấp liếm và kém rõ rành ở đây) một cách chặt chẽ như những đối tượng trong toán học hay không, mình cũng không biết. 

Mình nghe nhiều từ "formal" trong Toán học rất nhiều.

 

Ví dụ định nghĩa epsilon-delta của giới hạn, sự liên tục của hàm số, đạo hàm trong Giải tích cổ điển là những định nghĩa "formal".

 

Mình thấy những định nghĩa "formal" này thường là những định nghĩa khó hiểu với người không chuyên Toán. 

 

Thông thường quá trình tạo ra các định nghĩa hay khái niệm "formal" sẽ gắn liền với sự trừu tượng hóa (abstraction) trong Toán.

 

Vậy thật sự mà nói quá trình formalization là gì?

Hi vọng các bạn chuyên Toán sẽ giúp mình hiểu hơn về nó. 

 

 

Đang bận tối tăm mặt mũi nhưng cũng gắng tranh thủ lên đăng bài này để chia sẻ với diễn đàn, đặc biệt là các bạn trẻ (có nhiều anh em khác chắc cũng đã biết tin như Nesbit cách đây ít ngày). Việt Nam có nhiều nhà Toán học rất tài năng nhưng có lẽ là công chúng ít được biết đến. Sắp tới sẽ cố gắng chia sẻ thêm những người mà mình biết.

Mình hoàn toàn đồng ý với bạn. Dù “1” người được Field nghe có vẻ ít, nhưng thử hỏi có bao nhiêu quốc gia trên thế giới chỉ có 1?

Việt Nam có rất nhiều người tài năng và ưu tú, không cứ gì phải đoạt giải lớn mới gọi là ưu tú. Thật sự mà nói, mình rất nể trọng giáo sư Nguyễn Hữu Việt Hưng. Dù chưa gặp giáo sư bao giờ nhưng giáo sư vứt bỏ phú quý để giúp đào tạo một lớp các sinh viên ưu tú để ưm mầm tài năng, công đó nặng như núi Thái Sơn vậy.

Nếu có điều gì có thể giúp ích cho bạn hiện tại: Nesbit cho rằng với làn sóng AI mấy năm trở lại đây thì những ai theo đuổi ngành linguistics cũng có tương lai khá sáng sủa nếu làm việc trong intersection giữa linguistics và NLP. Bạn có thể cân nhắc về hướng này. Sẽ được học thêm về Toán. Nếu đã thích Toán mà công việc không có Toán thì thật là uổng phí.

Mình xem qua profile của bạn ở trang riêng thì thấy bạn làm việc về AI. Wow!

 

Không biết bạn có biết gì về machine translation không? Như google translate, deepl, chatgpt?

 

Mình cũng muốn hiểu 3 kỹ thuật rule-based translation, statistical learning translation và neural network translation. Nhưng e không đủ trình.

Trong các ngành Toán ở bậc THPT và đại học, khiến mình tò mò nhất là Giải tích hàm một biến, xác suất và đặc biệt là chuỗi (series).

 

1) Giải tích hay Calculus (chứ không phải Real and Complex Analysis) muốn học cao lên phải học qua Linear Algebra cơ bản ở dạng computation

2) Xác suất muốn hiểu ở mức độ trung cấp (intermediate) đòi hỏi phải học tốt tới Calculus 3, còn cao cấp mà theo hướng lý thuyết thì phải nắm Lý thuyết độ đo (measure theory)

3) Chuỗi (bao gồm numerical series; functional series; power series; Taylor series; Trigonometric and Fourier series), vốn là một trong những ngành thúc đấy Toán học tiến bộ nhất từ thế kỷ XVII đến thế kỷ XIX ngày nay đã có thể xem là khá complete và hoàn thiện, các kết quả mới rất khó giải quyết và phải hiểu rất nhiều ngành khác mới làm được.

 

Cái này chắc cả đời mình không tự học nổi đâu!

Anh em ở trên cố gắng giải thích cho bạn về epsilon-delta, nhưng theo Nesbit thì có lúc mình cần phải lùi lại một bước: trước khi muốn hiểu giới hạn của hàm số, cần phải hiểu giới hạn của dãy số trước. Bạn đã hiểu rõ được định nghĩa của giới hạn dãy số chưa? Nếu chưa thì cần gắng hiểu nó trước, đến lúc hiểu và có intuition rồi thì tự nhiên sẽ thấy dễ hơn khi gắng hiểu giới hạn hàm số.

Mình đã thử tìm hiểu về khái niệm giới hạn của một dãy số.

 

Có thể nói thế này được không? Một hàm số f(x) bất kỳ nào đó gồm 2 đại lượng x và y. Trên đồ thị xy, ta có trục x và trục y, một dãy số nào đó là một dãy số "chạy" trên trục x hay y, vậy khái niệm giới hạn một hàm số một biến là khái niệm giới hạn của 2 dãy số trên hai trục khác nhau.

 

Phát biểu như thế có sai không?

 

Sửa ngày 31/1/2023: Cho phép rút lại nhận định trên, nó quá hồ đồ và ngu ngốc. Mình sẽ nghiền ngẫm lại các chỉ dẫn trên và đặt câu hỏi sau!

1. Về sức khoẻ, theo Nesbit thấy thì việc theo đuổi Toán không đòi hỏi nhiều sức khoẻ hơn so với những ngành khác, như ngành Ngôn Ngữ học mà bạn chọn chẳng hạn. Nếu bạn muốn theo đuổi ngành Thể dục Thể thao thì lại là một câu chuyện khác.

 

 

Thực ra mình bị một chứng bệnh thần kinh mà không dùng thuốc sẽ bị phát chứng. Bệnh này được psychiatrist của mình chẩn đoán là generic, tức không rõ nguyên do, nhưng mẹ mình tin nó bắt đầu phát chứng từ lúc mình học community college năm 2017 và do quá cố gắng học xong lóp Precalculus II nên mình mắc bệnh. Cá nhân mình nghĩ mình đã có dấu hiệu từ trước đó, nhưng mình không phải bác sỹ nên không dám nói. Buồn cười là nếu mẹ mình đúng thì tại sao khi mình học Calculus I, mình không bị, vì Calculus I dễ hơn Precalculus II là cái chắc.

 

 

2. Về khả năng, nếu để làm Toán chuyên nghiệp (tức là kiếm sống bằng việc nghiên cứu Toán) thì đúng là cần có một mức tài năng nhất định (mặc dù nhận định này cũng đáng để bàn thêm, vì tài năng phần lớn cũng là từ rèn luyện mà ra). Nhưng "theo đuổi Toán" không chỉ có một con đường đi lên Toán chuyên nghiệp, có thể học Sư Phạm hay thậm chí chỉ là Cao Đẳng Toán để dạy học chẳng hạn, mà con đường như vậy theo Nesbit thì không cần tài năng xuất chúng gì cả.

 

 

Mình mất căn bản Toán rất nặng (tới giờ chưa hiểu vì sao tỷ lệ thuận là y=kx và tỷ lệ nghịch là y=k/x). Mình học kém Toán ở VN từ hồi tiểu học. Lớp 5 mém rớt vì thi trượt. Những năm sau cũng không khá khẵm gì hơn nhưng điểm thấp nhất cũng là 4.5; 5. Do trục trặc hoài môn này mà mẹ mình chuyển mình sang học trước international. Nếu gia đình không hi sinh làm cật lực để mình có điều kiện thì mình nghĩ mình sẽ học ở hóc bà tó nào đó và mãi mãi không ngước đầu lên được trong xã hội Việt Nam lúc bấy giờ.

 

 

3. Về tính kế thừa và truyền cảm hứng qua các thế hệ, chủ đề chính của topic, thì không chỉ môn Toán mà rất nhiều môn học khác như Lý, Hoá, Sinh (hay Tiếng Anh) cũng phần nào tương tự, có lẽ do bạn dành sự quan tâm nhiều hơn đến Toán nên mới chú ý về điểm này ở môn Toán mà thôi. Về Ngôn Ngữ học thì Nesbit không rành, nhưng suy luận một cách tự nhiên thì không nhiều người học ở VN (học sinh không được học mà phải lên đại học và phải chọn đúng ngành đó thì mới được học), nên tất nhiên "phong trào" không thể nào bì được với những môn khác đặc biệt là môn Toán. Tuy nhiên nếu nhìn rộng ra thế giới thì ngôn ngữ học (linguistics) cũng là một ngành rất phát triển.

 

 

Mình từng học THPT ở trường VN với giáo trình và giáo viên VN nên theo mình quan sát, những nhóm chuyên Toán, Lý, Hóa đã có, mình không rõ có Anh không, nhưng Toán vẫn mạnh và sôi nổi nhất. Mình nghĩ có lẽ do quá trình học tệ quá nên mình đâm ra không biết gì về các lớp chuyên các môn cả.

 

Ngược với điểm Toán, điểm Hóa và Lý của mình không tồi lắm, 6-7 điểm. Sinh vật là môn mình thích nhất. Nhưng trội nhất vẫn là tiếng Anh vì mình được 9-10 thường xuyên. Thầy giáo cũng khen mình phát âm "chuẩn" (theo cấp độ "chuẩn" ở lứa tuổi ấy) và đá thêm một vế "chuẩn như Mỹ già".

 

 

Nếu có điều gì có thể giúp ích cho bạn hiện tại: Nesbit cho rằng với làn sóng AI mấy năm trở lại đây thì những ai theo đuổi ngành linguistics cũng có tương lai khá sáng sủa nếu làm việc trong intersection giữa linguistics và NLP. Bạn có thể cân nhắc về hướng này. Sẽ được học thêm về Toán. Nếu đã thích Toán mà công việc không có Toán thì thật là uổng phí.

 

 

Cũng gần đây thôi mình rất quan tâm đến machine translation, vì mình nghĩ nó là một trong những thành tựu lớn lao nhất của AI. Nó mở ra cánh cổng trí thức cho rất nhiều người, và nếu hoàn thiện hơn, sẽ xóa nhòa ranh giới ngôn ngữ giữa con người với nhau.

 

Nhưng ngành này đòi hỏi phải học nhiều về Toán thống kê và khoa học máy tính (computer science), cộng thêm một lô các môn Hóa-Lý, vả lại cũng khác selective ở bậc undergrad, không chắc đã được chuyển thẳng từ community college vào State University of Ohio nên mình từ bỏ. Không phải mình chán Toán mà là mình sợ bệnh tái phát.

 

Rốt cục mình chọn Speech Language Pathology vì tính mình rất phù hợp với nó. Dĩ nhiên, nó cũng có nhiều thử thách riêng nhưng mình tin mình vượt được.

 

Cám ơn bạn đã trả lời chi tiết bài của mình.

 

Theo ý kiến cá nhân của mình, sự sôi nổi này bắt nguồn từ việc nhà nước ta copy mô hình giáo dục Toán của Liên Xô. Mình cũng đã đọc một vài tài liệu về giáo dục Liên Xô thời Israel Gelfand và Andrey Kolmogorov, và họ rất thành công trong việc xây dựng các trường đặc biệt chuyên dạy Toán. Đó là thời vàng son của toán học Nga-Soviet. Nhà toán học lỗi lạc Perelman cũng là học trò thời kỳ này. 

 

Tiếc là ở VN, bệnh thành tích đã khiến cho mô hình này biến chất.

 

Tệ hại hơn, gymnasium tức các trường chuyên lớp chọn của Liên Xô chia thành ít nhất 2 loại theo mình biết: 1) Toán, Lý, Hóa; 2) Ngoại ngữ. Ở VN chỉ copy có 1) mà thôi.

Đây là blog toán của mình: https://analysisbeauty.blogspot.com/

 

Còn đây là bài gốc: https://analysisbeau...rd-of-name.html

Không biết "theorem 2" mà bạn nhắc đến là định lý nào? Ngoài ra những đường link trên blogger mà bạn đăng đều là private, người khác không xem được.

 

Mình đã sửa chữa hết các link và xóa đoạn này khỏi bài chính vì mình không hiểu Lagrange đang làm gì trong bài viết gốc:

 

He stated that in the case when $m$ is an infinite number, $1$ vanishes along with $m$, where the term $\cos(m+1)$ equals to $\cos(mx)$, the formula is equal to:

$$\dfrac{\cos(x)+\cos(mx)-\cos[(m+1)x]}{2{(1-\left(\cos(x)\right)})}=0$$

Differentiating the expression, we have:

$$\dfrac{(m+1)\sin[(m+1)x]-m\sin(mx)}{2\sin(x)}$$

Let $x=0$, the expression has the form $\frac{0}{0}$

Differentiating twice, we have:

$$\dfrac{(m+1)^2\sin[(m+1)x]-m^2\sin(mx)}{2\cos(x)}$$

And by making $x=0$

$$\dfrac{(m+1)^2-m^2}{2}=m+\dfrac{1}{2}$$

So the value is:

$$m+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=m$$

 

 

 

Không biết "theorem 2" mà bạn nhắc đến là định lý nào? Ngoài ra những đường link trên blogger mà bạn đăng đều là private, người khác không xem được.

Theorem 2 được phát biểu như sau:

 

Theorem 2 (this theorem is pointed out to me by Nguyễn Mạnh Linh, but the blog that contains this theorem along with its proof has been deleted):

Let $(x_{n})_{n=1}^{+\infty}$ be a sequence of real numbers, with $x$ being given. If all subsequences of $(x_{n})_{n=1}^{+\infty}$ contain a subsequence that converges to a limit, then $(x_{n})_{n=1}^{+\infty}$ also converges to that limit.

 

Theorem này được mình tìm thấy trong một blog cũ của bạn Nguyễn Mạnh Linh, blog ấy nay đã bị xóa vì...không còn xứng tầm bạn ấy nữa =))

 

Mình không biết chứng minh cả 2 theorem nên chỉ dùng nó để chứng minh mà thôi.

 

Lí do mình xóa theorem 2 này là vì sau khi trao đổi với bạn Linh, bạn ấy nói mình không cần đến nó. Nhưng lúc xóa chưa edit toàn bài nên còn lại dấu vết ấy.

Quên nói là bên cạnh những việc kể trên, mình thấy hoạt động thi học sinh giỏi Toán ở VN cũng rất sôi nổi. Dù ai cũng có thể chửi bới chỉ trích những cuộc thi này nhưng nó cũng có tác dụng tích cực nhất định giúp hun đúc khả năng và tài năng Toán.

 

Ngó qua môn tiếng Anh hay ngôn ngữ học chẳng hạn, chẳng có bất cứ cái gì để ươm mầm hết cả.

 

Có vẻ như Việt Nam yêu Toán tới mức nghẹt thở do siết chặt nó trong vòng tay mình vậy.

 This series $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \cos(nx)=\cos(x)+\cos(2x)+\cos(3x)+...$ has attracted my curiosity because many prominent mathematicians in the XVIII century came up with contradictory results. Chiefly among these mathematicians are Euler and Lagrange. I have introduced this series in this thread, so please visit it to learn more on how Euler derived it.

Lagrange's approach

I have kept the links to many papers written by Euler, Lagrange, Daniel Bernoulli and d'Alembert on the famous problem of vibrating string. Among these papers, I am particularly interested in a paper of Lagrange entitled "Recherche sur la nature et la propagation du son" (Research on the nature of the propagation of wave) (see the entire work here). On page 110, he wrote:

"Supposons, pour simplifier le calcul, que la séries dont on veut prendre la somme soit généralement"

$$\cos(x)+\cos(2x)+\cos(3x)+\cos(4x)...$$

He rewrote the series in exponential forms, and formed a sum of two infinite terms:

$$=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}+\dfrac{e^{2ix}+e^{-2ix}}{2}+\dfrac{e^{3ix}+e^{-3ix}}{2}+\dfrac{e^{4ix}+e^{-4ix}}{2}...$$

$$=\dfrac{e^{ix}+e^{2ix}+e^{3ix}+e^{4ix}}{2}...+=\dfrac{e^{-ix}+e^{-2ix}+e^{-3ix}+e^{-4ix}}{2}...$$

$$=\dfrac{1}{2}\left[e^{ix}+e^{2ix}+e^{3ix}+e^{4ix}...\right]+\dfrac{1}{2}\left[e^{-ix}+e^{-2ix}+e^{-3ix}+e^{-4ix}...\right]$$

Here we have two infinite geometric series with the common ratio $e^{ix}$ and $e^{-ix}$. We can write it in the form $\dfrac{1}{1-e^{ix}}$, but we need to subtract $1$ because the geometric series has $1$ as its first term, while our series do not have this.

$$=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{1-e^{ix}}-1\right]+\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{1-e^{-ix}}-1\right]$$

$$=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{1-e^{ix}}-\dfrac{1-e^{ix}}{1-e^{ix}}\right]+\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{1-e^{-ix}}-\dfrac{1-e^{-ix}}{1-e^{-ix}}\right]$$

$$=\dfrac{e^{ix}}{2(1-e^{ix})}+\dfrac{e^{-ix}}{2(1-e^{-ix})}$$

Adding them together, we have:

$$\dfrac{e^{ix}(1-e^{-ix})+e^{-ix}(1-e^{ix})}{2(1-e^{ix})(1-e^{-ix})}$$

$$=\dfrac{e^{ix}-+e^{-ix}-2}{2(1-e^{ix}-e^{-ix}+1)}=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2(-e^{ix}-e^{-ix}+2)}-\dfrac{2}{2(2-e^{ix}-e^{ix})}$$

$$=\dfrac{\cos(x)-1}{2-e^{ix}-e^{-ix}}==\dfrac{\cos(x)-1}{2-2\left(\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2}\right)}=\dfrac{\cos(x)-1}{2(1-\cos(x))}=-\dfrac{1}{2}$$

Thus, according to Lagrange, this series has the sum of $-\dfrac{1}{2}$.

However, we plug $x=0$ into $\cos(x)+\cos(2x)+\cos(3x)+...$, we will have a series of the form $1+1+1+1+1...=+\infty$

So this series admits two value. In our modern view, it is divergent. Yet Lagrange held on so tightly that he offered us an explanation that was very characteristic of mathematicians of his generation:

Mais, dira-t-on, comment peut-il se faire que la somme de la suite infinis $\cos(x)+\cos(2x)+\cos(3x)+...$ soit toujours égale à $-\dfrac{1}{2}$, puisque dans le cas $x=0$, elle devient nécessairement égale à une suite d'autant d'unités? Je ré ponds que cela provient des termes qui se détruisent naturellement dans tous les cas, excep té dans celui òu $x=0$. (page 111)

Lagrange then proceeds to examine the partial sum of this series. 

"Pour rendre la chose plus sensible, cherchons la somme de la suite:"

$$\cos(x)+\cos(2x)+\cos(3x)+\cos(4x)+...\cos(mx)$$

He used the formula for summing finite geometric series $\dfrac{1-r^{n+1}}{1-r}$. Rewrite the finite given series above as:

$$=\dfrac{e^{ix}+e^{2ix}+e^{3ix}+e^{4ix}+...e^{mix}}{2}+\dfrac{e^{-ix}+e^{-2ix}+e^{-3ix}+e^{-4ix}+...e^{-mix}}{2}$$

Apply the formula, substracting $1$ from the series as above, we have:

$$\dfrac{1-e^{(m+1)ix}}{1-e^{ix}}-\dfrac{1-e^{ix}}{1-e^{ix}}+\dfrac{1-e^{-(m+1)ix}}{1-e^{-ix}}-\dfrac{1-e^{-ix}}{1-e^{-ix}}=\dfrac{e^{ix}-e^{(m+1)ix}}{2(1-e^{ix})}+\dfrac{e^{-ix}-e^{-(m+1)ix}}{2(1-e^{ix})}$$

$$=\dfrac{(e^{ix}-e^{(m+1)ix})(2-2e^{-ix})+(2-2e^{-ix})(e^{-ix}-e^{-(m+1)ix})}{4(2-e^{ix}-e^{-ix})}$$

$$=\dfrac{\color{red}{2}(e^{ix}-1-e^{(m+1)ix}+e^{mix}+e^{-ix}-e^{-(m+1)ix}-1+e^{-mix})}{\color{red}{4}(2-e^{ix}-e^{-ix})}$$

$$=\dfrac{(e^{ix}-1-e^{(m+1)ix}+e^{mix}+e^{-ix}-e^{-(m+1)ix}-1+e^{-mix})}{2(2-e^{ix}-e^{-ix})}$$

$$=\dfrac{(e^{ix}+e^{-ix}-e^{mix}+e^{-mix}-(e^{(m+1)ix}+e^{-(m+1)ix})-2)}{2(2-e^{ix}-e^{-ix})}$$

$$=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2(2-e^{ix}-e^{-ix})}+\dfrac{e^{mix}+e^{-mix}}{2(2-e^{ix}-e^{-ix})}-\dfrac{e^{(m+1)ix}+e^{-(m+1)ix}}{2(2-e^{ix}-e^{-ix})}-\dfrac{\color{red}{2}}{\color{red}{2}(2-e^{ix}-e^{-ix})}$$

$$=\dfrac{\cos(x)+\cos(mx)-\cos[(m+1)x]-1}{2-2\left(\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)}=\dfrac{\color{red}{\cos(x)}+\cos(mx)-\cos(m+1)\color{red}{-1}}{2\color{red}{(1-\left(\cos(x)\right)})}$$

$$=\dfrac{\cos(mx)-\cos[(m+1)x]}{2{(1-\left(\cos(x)\right)})}-\dfrac{1}{2}$$

 

Proof that the concerned series is divergent for all $x$

In order to prove this, we need two theorems that are encountered in Calculus and Analysis:

Theorem 1: If a series is convergent, this implies that the limit of the sequence that makes up that series must tend to 0. 

Theorem 2 (this theorem is pointed out to me by Nguyễn Mạnh Linh, but the blog that contains this theorem along with its proof has been deleted):

Let $(x_{n})_{n=1}^{+\infty}$ be a sequence of real numbers, with $x$ being given. If all subsequences of $(x_{n})_{n=1}^{+\infty}$ contain a subsequence that converges to a limit, then $(x_{n})_{n=1}^{+\infty}$ also converges to that limit.

Now, using theorem 1, let assume that the series $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty cos(nx)$ is convergent. This implies that the sequence $(cos(nx))_{n=1}^{+\infty}$ converges to zero as n tends to infinity. Applying theorem 2, this imples that all subsequences of $(cos(nx))_{n=1}^{+\infty}$ contain a subsequence that converges to 0. Now, for the sequence $(cos(nx))_{n=1}^{+\infty}=\cos(x), \cos(2x), \cos(3x), \cos(4x),...$, we can extract a subsequence $(cos(2nx))_{n=1}^{+\infty}=\cos(2x), \cos(4x),...$ that tends to zero as n approaches infinity. This means $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \cos(2nx)=0$.

From trigonometry, we know that $\cos(2nx)=2\cos^2(nx)-1$. If $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \cos(nx)=0$, this means $\displaystyle\lim_{n\to\infty} 2\cos^2(nx)-1=2\cdot 0-1=-1$. This proves that  $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \cos(2nx)=-1$, hence  $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \cos(nx)=0$ is impossible. Thus, the series is divergent.

I wish to thank Vũ Tuấn Hiền for providing me guidance to this problem. His direction is important for me to decisively prove that this series is divergent.

Historical commentary:

 

This series and the method of using to sum it is demonstrated by the famed French mathematician Henri Lebesgue in his small lecture note on trigonometric series entitled "Leçons sur les séries trigonométriques professées au Collège de France" (page 35, section 21). He wrote: "Que l'on donne à la methode l'une ou l'autre forme, elle n'est rigoureuse que si l'on a étudié pour $|z|=1$, la série qui joue le rôle de (Z). Dans ce cas particulier, elle conduit à un résulta exact, mais, dans d'autres cas, elle peut conduire à des résultas incorrects, c'est ainsi que Lagrange écrivait l'égailité

$$0=\dfrac{1}{2}+\cos(x)+\cos(2x)+\cos(3x)+...$$

alors que la série du second membre est divergent, comme on le voit en calculant la somme de ses n premiers termes."

 

Mình từng muốn theo đuổi Toán nhưng do sức khỏe và khả năng nên không thể theo đuổi tiếp.

 

Mình quay lại với lĩnh vực mà mình giỏi nhì, sau lĩnh vực mình giỏi nhất là Sử học, đó là Ngôn ngữ học. Hiện mình đang theo đuổi ngành bệnh lý ngôn ngữ và phát âm (speech language therapy). Mình hiện đang ở Việt Nam, nhưng sẽ qua Mỹ để theo đuổi.

 

Có một điều mình thấy thật đáng trân trọng là thế hệ này đến thế hệ khác các học sinh giỏi Toán nối tiếp nhau để truyền cảm hứng và đam mê cháy bỏng. Mình thấy các bạn đã thành công lớn như Nguyễn Mạnh Linh hay Phạm Khoa Bằng đều chia sẻ kiến thức cho các em nhỏ hơn. Đến như mình, một người lạc đường ngoài ngành cũng được hưởng lây cái sự đam mê ấy, trong khi ngành Ngôn Ngữ học giống một bãi sa mạc hay con tàu ma. Lóp trước chẳng truyền gì cho nỗi cho lớp sau. Các dự thảo cũng khan hiếm. Chẳng ai tề tựu sau giờ học để cùng thảo luận và làm bài cùng nhau.

 

Điều gì khiến các bạn, những học sinh và sẽ là nhà Toán học tương lai, nối tiếp nhau để tiếp sức cho đam mê như vậy?

 

PS: Nhận định của mình về ngành Ngôn Ngữ Học chủ yếu dựa vào kinh nghiệm rất gần đây khi đi dự thính các lớp Hán-Nôm ở ĐHKHXHNV ở TP.HCM

Ở cấp phổ thông trở xuống, các bạn học sinh dùng dấu “⇒” rất tuỳ tiện: dấu ⇒ vốn là một toán tử dùng để nối hai mệnh đề, tạo ra một mệnh đề mới, nhưng rất nhiều bạn lại dùng nó như một liên từ (viết tắt thay cho “suy ra”, “vì thế”,…). Điều này gây trở ngại về tư duy khi học lên cao hơn: rất nhiều sinh viên không hiểu được những suy luận cơ bản kiểu “nếu A thì B”… và khi đụng đến những định nghĩa dài kiểu 2-3 lượng từ như định nghĩa hàm liên tục thì đa số sinh viên tê liệt.

> 0, ∀x, |x - a| < δ ⇒ |f(x) - f(a)| < ε

Mình cũng bị lỗi này hồi nhỏ, và bây giờ cũng vậy. Nó tiện như kiểu viết tắt.

 

Có lẽ cứ ghi suy ra hay gì đấy.

 

Bạn có đề xuất nào hay hơn không?