$D$ là gì nhỉ bạn?

D là 1 điểm bất kỳ

$\boxed{26}$: Gọi $I, K$ là tâm đường tròn nội tiếp lần lượt của 2 tam giác $ABC$ và $DBC$. Chứng minh độ dài $IK$ không vượt quá $AD$

Em không biết phải nói sao

Nhưng có vẻ anh học lâu quá rồi quên nhiều kết quả trong SÁCH GIÁO KHOA rồi đem lên này vặn vẹo, nếu như những cái anh chia sẻ có ý nghĩa về thực tiễn thì không nói, đằng này toàn những thứ làm mọi người ngao ngán ( không biết la trao đổi thật hay bait)
 

Gần đây thì em có xem 1 bài của anh ở đây: https://diendantoanh...ác/#entry730746

Việc không phân biệt được BĐT và BPT thì em cũng không biết nên nói thế nào

Tóm lại, anh nên tự đọc và tham khảo những nguồn có uy tín. Đừng tự suy diễn và ngộ nhận vì sự kém đọc của mình

P/s: nếu có 1 thang điểm tín dụng, thì điểm 0 có vẻ vẫn là quá cao đối với anh

Chứng minh hay bác bỏ "70! > ${10^{100}}$" không dùng máy tính. 

Không liên quan lắm nhưng có vẻ anh thích trích dẫn chữ ký của người khác để bàn luận ?

Day 2 (8/9/2021)

Bài 5(5đ). Cho $a,b,c$ là các số thực không âm sao cho $(a+b)(b+c)(c+a)>0$. Chứng minh rằng $$\frac{ab}{(a+b)^2}+ \frac{bc}{(b+c)^2}+\frac{ca}{(c+a)^2}+ \frac 54 \ge \frac{6(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}.$$

Bài 6(5đ). Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có $OB \perp OC$ và $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Dựng $2$ tam giác $HBE$ và $HCF$ vuông cân tại đỉnh $H$ (biết rằng tia $HE, HF$ nằm giữa $2$ tia $HB, HC$). Gọi $D$ là giao điểm của $BF$ và $CE$.

a.Chứng minh đường thẳng $AH$ chia đôi đoạn thẳng $EF$

b.Gọi $M$ là điểm nằm trên đường tròn $(DEF)$ sao cho $MD+ME+MF=BC$. Chứng minh đường thẳng $MD$ chia đôi đoạn $BC$

Bài 7(5đ). Xét $M$ là tập tất cả các đa thức $p(x)=a_{2n}x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+...+a_{1}x+a_0$ trong đó $n$ là số nguyên dương và $a_k$ là số thực thuộc đoạn $\left [ 100;101 \right ]$ với mọi $k=0,1,...,2n$

a.Chứng minh rằng tồn tại đa thức $p(x)$ thuộc $M$ có bậc bằng 200 và có nghiệm thực.

b.Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất thỏa mãn tính chất : tồn tại một đa thức $p(x)$ thuộc $M$ có bậc bằng $2n$ và có nghiệm thực.

Bài 8(5đ). Cho $ n \ge 3 $ là số nguyên dương. Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy $, kí hiệu $T$ là một đa giác lồi $ n $ cạnh

a.Giả sử $n=5$ và $T$ có các đỉnh có tọa độ nguyên. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 1 điểm có tọa độ nguyên nằm bên trong hoặc trên biên của hình ngũ giác lồi tạo bởi 5 đường chéo của $T$

b.Giả sử $T$ có các đỉnh có hoành độ, tung độ là các số hữu tỉ và tất cả $ n $ cạnh của đa giác có độ dài bằng nhau. Chứng minh rằng $ n $ là số chẵn.

Day 1 (7/9/2021)

Bài 1(5đ).Cho $a, b$ là $2$ số nguyên dương

Xét dãy số $(u_{n})$:

$$u_{1}=a; u_{n+1}=\sqrt{b+\sqrt{u_{n}}}$$

a.Chứng minh tồn tại vô số bộ $(a,b)$ sao cho $(u_{n})$ là dãy hằng

b.Đặt $t_{n}=u_{n+1}-u_{n}$. Tính giới hạn của dãy $(t_{1} t_{2}… t_{n})$ theo $a, b$

Bài 2(5đ). Cho $a,b\in\mathbb{Z}$, $n\in\mathbb{Z^+}$. Chứng minh $A=b^{n-1}a(a+b)(a+2b)...[a+(n-1)b]$ chia hết cho $n!$

Bài 3(5đ). Cho tam giác $ABC$ nhọn. $D$ là điểm thay đổi trên cạnh $BC$. Gọi $M, N$ lần lượt là $2$ điểm trên mặt phẳng thỏa mãn: $MD//AB, ND//AC$ và MD vuông góc  MB, ND vuông góc NC. Gọi $d_{1}, d_{2}$ lần lượt là đường thẳng đối xứng với đường thẳng $MN$ qua $MB, NC$. Gọi $P$ là giao điểm thứ $2$ của $d_{1}$ với đường tròn $(BDM)$ và $Q$ là giao điểm thứ $2$ của $d_{2}$ với đường tròn $(CDN)$

a. Chứng minh rằng $MN+PQ = MP+NQ$

b. Chứng minh trung điểm $MN$ thay đổi trên $1$ đường thẳng cố định

Bài 4(5đ). Tại đại hội thiếu nhi quốc tế, có 2021 bạn thiếu nhi tới từ các nước tham gia 1 trò chơi như sau: Mỗi bạn nhận 1 số kẹo khác nhau từ 1 đến 2021 viên kẹo, sau đó các bạn này ngồi vào 1 bàn tròn. Lượt chơi bắt đầu ở 1 bạn A bất kì, bạn đó sẽ gom số viên kẹo ở 2 bạn kế bên mình (không bao gồm bạn đó) thành 1 phần chung:

- Nếu chênh lệch của 2 bạn này là 1 số chẵn, thì bạn này sẽ chia lại số kẹo trên thành 2 phần bằng nhau cho 2 bạn này.

- Nếu chênh lệch của 2 bạn này là 1 số lẻ, thì bạn này sẽ lấy 1 viên kẹo từ phần chung và bỏ vào phần của mình, sau đó chia lại số kẹo còn lại thành 2 phần bằng nhau cho 2 bạn này.

Sau đó, bạn A kết thúc lượt chơi và bạn phía bên phải bắt đầu lượt chơi của mình. Trò chơi sẽ kết thúc khi số kẹo của các bạn là bằng nhau.

Hãy tìm các cách sắp xếp 2021 bạn thiếu nhi này trong 2 trường hợp số lượt chơi là ít nhất và nhiều nhất

 

4. Cho $2021$ thành phố, biết rằng từ $1$ thành phố bất kì có thể bay sang đúng $n$ thành phố khác (đường bay là 2 chiều). Tìm $n$ nhỏ nhất sao cho: Để di chuyển từ thành phố $A$ bất kì sang $1$ thành phố $B$ khác, chỉ cần trung chuyển không quá $2$ thành phố khác

 

Câu 4: Em không rõ ý đề bài là tìm n nhỏ nhất để " trong mọi trường hợp thì thỏa ycbt "  hay " tồn tại 1 trường hợp sắp xếp đường bay thỏa ycbt"

Với 1 ý, ta có thể chứng minh bằng cách xây dựng "kịch bản xấu nhất"

Nghĩa là xét trường hợp : $n+1 (n<2021)$ thành phố $A_{1},A_{2},...A_{n+1}$ sao mỗi thành phố trong chúng chỉ có đường bay giữa chúng mà thôi

Khi đó sẽ không có đường bay nào tới thành phố khác từ $A_{n+2}, ... A_{2021}$

Vì vậy để đạt được ycbt thì $n = 2020$

Câu 2 em thấy ngộ ngộ thế nhỉ

Do có 2021 số nên có thể chia tối đa thành 1010 bộ: 1009 bộ 2 và 1 bộ 3

Ta sẽ cố gắng chỉ ra 1 cách chia như vậy

Ta sẽ cố gắng chỉ ra chia nhiều cặp mà hiệu chúng là 4 nhiều nhất có thể, sau đó xây dựng 1 bộ 3

Xét 4 loại như sau

loại 4k :  có 505 số (k có giá trị từ 1 tới 505)

loại 4k +1 : 506 có thể chia làm 253 bộ (k có giá trị từ 0 tới 505)

loại 4k +2: 505 số (k có giá trị từ 0 tới 504)

loại 4k +3: 505 số (k có giá trị từ 0 tới 504)

Ta xét riêng 3 loại 4k, 4k+2, 4k+3:

Loại 4k: ta chọn số 4 (k=1) tách ra, 504 số còn lại là có giá trị k liên tiếp nên có thể chia thành 252 cặp mà hiệu của chúng là 4

Loại 4k+2: ta chọn số 10 (k=2) tách ra, 504 số còn lại là có giá trị k liên tiếp nên có thể chia thành 252 cặp mà hiệu của chúng là 4

Loại 4k+3: ta chọn số 19 (k=4) tách ra, 504 số còn lại là có giá trị k liên tiếp nên có thể chia thành 252 cặp mà hiệu của chúng là 4

Với 3 số 19-10-4 ta có thể lập 1 bộ thỏa mãn đề bài.

Vậy có thể lập tối đa 1010 bộ thỏa ycbt

Em làm thử câu 1 nhé

Dự đoán công thức TQ của $a_{n}$ là hàm $sin, b_{n}$ là hàm $cos$

Đặt $sinx=a_{1} =1$

suy ra $cosx=b_{1}=0$

Gt suy ra $a_{2} = sin2x$ và $b_{2}=cos2x$. Qui nạp ta được $a_{n} = sin(2^{n-1}x) $ và $b_{n}=cos(2^{n-1}x)$

Vậy $a_{n}+b_{n} = sin(2^{n-1}x) +cos(2^{n-1}x) = $ $\sqrt{2}$$sin(2^{n}x) = \sqrt{2}$