Cho $C^{1}[0,1]$ là không gian các hàm số thực có đạo hàm x' liên tục trên [0,1]. Với $x,y \in C^{1}[0,1]$, ta có tích vô hướng $\left \langle x,y \right \rangle=x(0).y(0)+\int_{0}^{1}x'(t)y'(t)dt$. Cho M là tập hợp các đa thức bậc bé hơn hay bằng 3, thỏa mãn x(0)=0. Tìm hệ trực chuẩn của M.

Cho X là không gian các đa thức một biến với chuẩn $\left \| p \right \|=\int_{0}^{1}\left | p(t) \right |dt, p\in X$ và ánh xạ $B:X\times X\rightarrow \mathbb{R}$ xác định bởi $B(p,q)=\int_{0}^{1}p(t)q(t)dt, p,q \in X$. Chứng minh rằng B là ánh xạ song tuyến tính, liên tục theo từng biến nhưng không liên tục trên $X\times X$.

Cho $X=C([0;1])$ là không gian các hàm liên tục trên $[0;1]$. Xét hai chuẩn:

$\left \| x \right \|=\underset{t\in[0;1]}{sup}\left | x(t) \right |;$

$\left \| x \right \|_{1}=\int_{0}^{1}\left | x(t) \right |dt,x\in X$

Xét sự hội tụ của dãy $(x_{n})$ xác định bởi $x_{n}(t)=t^{3}+n(t^{n}-t^{n+1})$ theo hai chuẩn trên.