Cho X là không gian các đa thức một biến với chuẩn $\left \| p \right \|=\int_{0}^{1}\left | p(t) \right |dt, p\in X$ và ánh xạ $B:X\times X\rightarrow \mathbb{R}$ xác định bởi $B(p,q)=\int_{0}^{1}p(t)q(t)dt, p,q \in X$. Chứng minh rằng B là ánh xạ song tuyến tính, liên tục theo từng biến nhưng không liên tục trên $X\times X$.
Chứng minh ánh xạ song tuyến tính, liên tục theo từng biến nhưng không liên tục trên $X\times X$
#1
Đã gửi 15-12-2023 - 23:29
#2
Đã gửi 16-12-2023 - 01:52
$B$ liên tục theo biến $p$ khi cố định $q$:
Vì $q$ là hàm đa thức nên liên tục, vì thế bị chặn trên $[0,1]$, hay tồn tại $C > 0$ để $|q(t)| \le C$ với mọi $t \in [0,1]$, từ đó $$|B(p,q)| \le \int_0^1 |p(t)|C\,dt = C\|p\|$$ với mọi $p \in X$, hay ánh xạ tuyến tính $p \mapsto B(p,q)$ liên tục.
$B$ không là ánh xạ song tuyến tính liên tục:
Với mọi $n$ nguyên dương, xét $p_n(t) = t^n$, $q_n(t) = t^n$. Thế thì $$\|p_n\| = \|q_n\| = \int_0^1 t^n\,dt = \frac{1}{n+1}.$$ Mà $$B(p_n,q_n) = \int_0^1 t^{2n}\,dt = \frac{1}{2n+1},$$ suy ra $$\lim_{n \to +\infty} \frac{|B(p_n,q_n)|}{\|p_n\| \|q_n\|} = \lim_{n \to +\infty}\frac{(n+1)^2}{2n+1} = +\infty,$$ vì thế không tồn tại hằng số $C > 0$ sao cho $$|B(p,q)| \le C \|p\| \|q\|$$ với mọi $p,q \in X$, nên $B$ không là ánh xạ song tuyến tính liên tục.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 16-12-2023 - 01:58
- perfectstrong, nhungvienkimcuong, DOTOANNANG và 1 người khác yêu thích
"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: giải tích hàm, chuẩn
Toán Đại cương →
Giải tích →
Cho X Banach và ánh xạ T liên tục đều. Chứng minh $(I-T)^{-1}$ định nghĩa tốt và liên tục trên X.Bắt đầu bởi Aries, 04-01-2024 giải tích hàm |
|
|||
Toán Đại cương →
Giải tích →
Trên $x,y \in C^{1}[0,1]$, cho M là tập hợp các đa thức bậc bé hơn hay bằng 3. Tìm hệ trực chuẩn của M.Bắt đầu bởi Tian, 17-12-2023 giải tích hàm, hệ trực chuẩn |
|
|||
Toán Đại cương →
Giải tích →
Xét sự hội tụ của dãy $(x_{n})$ xác định bởi $x_{n}(t)=t^{3}+n(t^{n}-t^{n+1})$ theo hai chuẩn sup và chuẩn tích phânBắt đầu bởi Tian, 10-12-2023 hội tụ theo chuẩn và . |
|
|||
Thảo luận chung →
Dành cho giáo viên các cấp →
Giải tích hàmBắt đầu bởi TinNguyen123, 18-07-2019 giải tích hàm |
|
|||
Toán Đại cương →
Giải tích →
Một chút giải tích hàmBắt đầu bởi nmlinh16, 02-03-2019 giải tích hàm, banach, fréchet |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh