Cho các số thực khác 0 thoả mãn $a,b,c$ phân biệt từng đôi một và $a+b+c=0$. Chứng minh rằng: $(\frac{a}{b-c})+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b})(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c})=9$

Mình xin đề xuất bài tương tự:

Bài 1.1: Tìm tất cả các số nguyên tố $p,q$ thoả mãn: $p^4+p^3+p^2+p=q^2+q$

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ thoả mãn: $1+p+p^2+p^3+p^4$ là số chính phương

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ thoả mãn $p^2-3p+7$ và $p^2-7p+17$ đều là số nguyên tố

Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm $(a,b)$ thoả mãn: $ab-1$ là ước của $a^2+1$

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(m,n)$ thoả mãn $2$ điều kiện sau:

1) $m,n$ nguyên tố cùng nhau và $m\le 2007$

2) Với số $k$ bất kì thuộc tập hợp $1,2,...,2007$ ta luôn có: $[\frac{nk}{m}]=[\sqrt{2}k]$

Cho điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O)$; từ $A$ kẻ các tiếp tuyến $AM, AN$ và các cát tuyến $AEB, ADC$; $H$ là giao điểm của $BD$ và $CE$ ($B$ và $M$ cùng nằm trên một mặt phẳng bờ $AH$). Chứng minh rằng: $AH; BM; CN$ đồng quy.

Trước tiên để giải quyết bài toán này, mình xin trình bày các bổ đề liên quan (có kèm chứng minh) như sau:

a) Bổ đề 1: Định lý Menelaus

b) Bổ đề 2: Định lý Pascal

Cụ thể như sau:

a) Định lý Menelaus: Cho tam giác $ABC$ và 3 điểm $A',B',C'$ trên các đường thẳng chứa các cạnh BC,CA,AB sao cho: hoặc cả ba điểm $A',B',C'$ đều nằm trên phần kéo dài của ba cạnh, hoặc 1 trong 3 điểm đó nằm trên phần kéo dài của một cạnh còn hai điểm kia nằm trên hai cạnh của tam giác. Điều kiện cần và đủ để $A',B',C'$ thẳng hàng là ta có hệ thức: $\frac{AB'}{B'C}.\frac{CA'}{A'B}.\frac{BC'}{C'A}=1$

Chứng minh: Bạn tham khảo tại https://www.molympia...y-menelaus.html

Ghi chú: Ở cách chứng minh trên, sử dụng định lý Talet nên sẽ dễ tiếp cận với THCS.

b) Định lý Pascal: Cho lục giác $ABCDEF$ nội tiếp đường tròn, $H,K,I$ lần lượt là giao điểm của $AB$ và $ED$, $BC$ và $EF$, $AF$ và $CD$. Chứng minh rằng: $I,H,K$ thẳng hàng

Chứng minh: Bạn tham khảo tại https://julielltv.wo...dinh-li-pascal/

Ghi chú: Ở cách chứng minh trên, có sử dụng định lý Menelaus, nên cũng sẽ dễ tiếp cận với THCS

Sau khi chứng minh được định lý Pascal, ta sử dụng một chú ý quan trọng nữa như sau:

Chú ý: Đó chính là giả sử Ta có một đường tròn $(O)$ và một đường thẳng $d$ cắt $(O)$ tại 2 điểm $D,E$. Khi $D$ trùng $E$ thì khi đó đường thẳng $d$ chính là tiếp tuyến của $(O)$ tại $D$.

Bây giờ, quay trở lại bài toán ban đầu đã cho, mình sẽ áp dụng định lý Pascal 3 lần để giải quyết bài toán này, cụ thể như sau:

Gọi $R$ là giao điểm của $EM,DN$ ; $S$ là giao điểm của $MC,BC$ và $T$ là giao điểm của $EN,DM$

- Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm $M,M,N,N,E,D$ ta có: $MM\cap NN = A ; MD\cap NE = T; ME\cap DN=R$ thẳng hàng (1)

- Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm $M,M,N,N,B,C$ ta có: $MM\cap NN=A ; MC\cap BN=S ; MB\cap NC = O$ thằng hàng

(2)

- Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm $E,M,B,C,D,N$ ta có: $EN\cap DM=T ; EC\cap DB=H; MC\cap BN=S$ thẳng hàng (3)

Từ (1),(2) và (3) ta suy ra được các điểm: $A,R,T,H,S,O$ thẳng hàng hay $AH,BM,CN$ đồng quy tại $O$ và ta có điều phải chứng minh

Ps: Ngoài ta để có thể tham khảo các dạng toán liên quan đến định lý Pascal, bạn có thể tham khảo thêm tại đây: https://nguyenvanlin...cal-theorem.pdf và theo mình đối với THCS, mà học trước những cái này tuy hơi khó nhưng sẽ có ích sau này nếu bạn đi tiếp lên cấp 3.

Chứng minh rằng với một số nguyên dương $k$ bất kì, luôn tồn tại một số nguyên dương $n$ thoả mãn: $2^{k} $ là ước của $3^n+5$

Mình xin trình bày lời giải bài này như sau:

Ta có: $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1\implies \sqrt{2}-1=\frac{1}{\sqrt{2}+1}$

Do đó: $S_{k}=(\sqrt{2}+1)^{k}+\frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{k}}$

Từ đây, bắt đầu tính toán $S_{m+n}+S_{m-n}$ và $S_m.S_n$, thu được kết quả như sau:

+ $S_{m+n}.S_{m-n} =(\sqrt{2}+1)^{m+n}+\frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{m+n}}+\frac{(\sqrt{2}+1)^{m}}{(\sqrt{2}+1)^{n}}+\frac{(\sqrt{2}+1)^{n}}{(\sqrt{2}+1)^{m}} (I)$

+ $S_m.S_n =(\sqrt{2}+1)^{m+n}+\frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{m+n}}+\frac{(\sqrt{2}+1)^{m}}{(\sqrt{2}+1)^{n}}+\frac{(\sqrt{2}+1)^{n}}{(\sqrt{2}+1)^{m}} (II)$

Từ (I) và (II) ta thu được điều phải chứng minh

Cho hình chữ nhật $ABCD$ cạnh $a$. Gọi $M$ là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{AM}+x\overrightarrow{AC}=0$.

Điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ABM$. Biết: $\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{AB}=\frac{-a^2}{9}$.

Giá trị của $x$ là bao nhiêu? 

Hình chữ nhật hay và hình vuông vậy bạn ? 

Bài 15: [IMO 1986] Cho $d$ là một số nguyên dương khác $2,5$ và $13$. Chứng minh rằng có thể tìm được hai số nguyên dương $a$ và $b$ từ tập hợp $\left\{,2,5,13,d\right\}$ sao cho $ab-1$ không phải là số chính phương.

Bài 14: [IMO 1985] Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn. Một đường tròn có tâm nằm trên cạnh $AB$ của tứ giác sao cho ba cạnh còn lại tiếp xúc với đường tròn đó. Chứng minh rằng: $AD+BC=AB$

Bài 13: [IMO 1987] Cho $n$ là một số nguyên dương. Với mỗi số nguyên không âm $k$, kí hiệu $p_n(k)$ là số các hoán vị của tập hợp $\left\{1,2,...,n\right\}$, mà có đúng $k$ điểm cố định. Chứng minh rằng: $\sum\limits_{k=0}^{n}k*p_n(k)=n!$

Chú ý. Một hoán vị $f$ của tập hợp $S$ là một song ánh đi từ $S$ vào $S$. Một phần tử $i\in S$ được gọi là điểm cố định của hoán vị $f$ nếu như $f(i)=i$

Bài  12: [IMO 2004] Trong tứ giác lồi $ABCD$ đường chéo $BD$ của nó không phải là phân giác của góc $\angle{ABC}$ và $\angle{CDA}$. Một điểm $P$ nằm trong tứ giác $ABCD$ và thoả mãn: $\angle{PBC}=\angle{DBA}$ và $\angle{PDC}$ và $\angle{BDA}$.

Chứng minh rằng $ABCD$ là một tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi $AP=CP$.

Bài 11: [IMO 1990] Tìm tất cả hàm $f:\mathbb{Q}^{+}\rightarrow \mathbb{Q}^{+}$ thoả : $f(xf(y))=\frac{f(x)}{y},\forall x,y\in \mathbb{Q}^{+}$

Bài 10: [IMO 1966] Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác, còn $\alpha, \beta, \gamma$ tương ứng là ba góc đối diện với ba cạnh trên. Chứng minh rằng, nếu $a+b=tan(\frac{\gamma}{2})(a*tan(\alpha)+b*tan(\beta))$, thì tam giác đang xét là tam giác cân.

Bài 9: [IMO 1988] Cho $n$ là một số nguyên dương và $A_1,A_2,...,A_{2n+1}$ là các tập hợp con của tập hợp $B$. Giả sử rằng: 

(a) Mỗi $A_i$ có đúng $2n$ phần tử.

(b) Mỗi $A_i\cap A_i(1\le i<j\le 2n+1)$ chứa đúng một phần tử.

(c) Mọi phần tử của $B$ đều thuộc vào ít nhất hai tập con $A_i$.

Hỏi rằng với những giá trị nào của số $n$ thì chúng ta có thể đánh dấu mọi phần tử của $B$ bởi các số $0$ và $1$ sao cho mỗi $A_i$ có đúng $n$ phần tử được đánh số $0$

Cho điểm K nằm ngoài đường tròn (O;R). vẽ cát tuyến KAB đến đường tròn O sao cho A nằm giữa K và B,d là trung trực của d .H là hình chiếu vuông góc của O trên d, I là trung điểm OK. tính IH theo R.

Bạn ơi, xem lại đề nhé ! "d là đường trung trực của d" là sao nhỉ ? 

Bài 8: [IMO 1987] Chứng minh rằng không tồn tại hàm $f$ nào từ tập hợp các số nguyên không âm vào chính nó thoả mãn $f(f(n))=n+1987$ với mọi $n$.

Bài 7: [IMO 1978] Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Một đường tròn tiếp xúc trong với đường tròn ngoại tiếp tam giác đó và với các cạnh $AB,AC$ ở các điểm $P,Q$ tương ứng. Chứng minh rằng: Trung điểm của đoạn thẳng $PQ$ chính là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Bài 6: [IMO 1963] Chứng minh rằng: $cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{2}$

Bài 5: [IMO 1995] Hãy xác định giá trị lớn nhất của $x_0$ sao cho tồn tại một dãy các số thực dương $x_0,x_1,...,x_{1995}$ thoả mãn $x_0=x_{1995}$ và với mọi $i=1,2,3,...,1995$ thì: $x_{i-1}+\frac{2}{x_{i-1}}=2x_i+\frac{1}{x_i}$

Bài 4: [IMO 1994] Với bất kỳ một số nguyên dương $k$ nào ta ký hiệu $f(k)$ là số các phần tử của tập hợp $\left\{k+1,k+2,...,2k\right\}$ mà trong biểu diễn ở cơ số $2$ (hệ nhị phân)  thì có đúng ba số $1$

a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $m$ tồn tại ít nhất một số nguyên $k$ sao cho $f(k)=m$

b) Xác định tất cả các số nguyên dương $m$ sao cho có đúng một số nguyên dương $k$ thoả mãn $f(k)=m$

Bài 3: [IMO 1985] Cho một tập hợp $M$ gồm $1985$ số nguyên dương phân biệt, sao cho không có số nào có ước nguyên tố lớn hơn $26$. Chứng minh rằng $M$ chứa ít nhất một tập con bốn phần tử mà tích của chúng là một luỹ thừa bậc bốn của một số nguyên.

Bài 2: [IMO 2002] Hãy xác định tất cả các hàm $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho: $(f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)$ với mọi $x,y,z,t\in \mathbb{R}$