Đã gửi bởi
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 11+12 VÒNG 3 NĂM HỌC 2010
Ngày thi thứ nhất
Câu 1. Tìm tất cả các đa thức $P(x)\in\mathbb{R\text{[x]}}$ thỏa mãn $P(x-y)+P(y-z)+P(z-x)=3P(x)+3P(y)+3P(z)$ với $\forall x,y,z\in\mathbb{R}$ mà $x+y+z=0$.
Câu 2. Cho dãy số${a_{n}}$ xác định như sau $a_{1}=0$ và $a_{n+1}=\frac{{(4n+2).n^{3}}}{(n+1)^{4}}a_{n}+\frac{3n+1}{(n+1)^{4}}\ \forall n=1,2,3,...$. Chứng minh rằng tồn tại vố số số nguyên dương $n$ thỏa mãn $a_{n}$ là số nguyên dương.
Câu 3. Cho lục giác $AMBDNC$ thỏa mãn $AC=BD$ và $MN$ là đường kính đường tròn ngoại tiếp $MC$ cắt$ AD,AN$ tại $F,P$ và $MD$ cắt $BC,BN$ taị $E,Q$. Chứng minh rằng $\frac{\overline{CP}}{\overline{CM}}+ \frac{\overline{FP}}{\overline{FM}}+ \frac{\overline{DQ}}{\overline{DM}}+ \frac{\overline{EQ}}{\overline{EM}} $
là hằng số.
Câu 4. Trên vòng tròn có một số điểm được tô bởi một trong 2 màu xanh hoặc đỏ.Mỗi bước thực hiên cho phép xó đi hoặc thêm vào một điểm tô màu đỏ (điểm thêm vào nằm trên vòng tròn và không trùng các điểm cho trước),đồng thời hai điểm kề với nó (trước khi xóa hoặc sau khi thêm) được đổi màu: xanh $\rightarrow$ đỏ và ngược lại. Giả sử ban đầu có đúng hai điểm màu đỏ và sau mỗi bước thực hiện ta không được để lại ít hơn 2 điểm. Hỏi sau số hữu hạn bước có thể thu được vòng tròn có:
$i)$ 2009 điểm màu xanh và 1 điểm màu đỏ
$ii)$ 2010 điểm màu xanh và 1 điểm màu đỏ
$iii)$ 2010 điểm màu xanh
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 11+12 VÒNG 3 NĂM HỌC 2010
Ngày thi thứ hai
Câu 1. Cho dãy số $a_{n}$ thỏa mãn $0<a_{n+1}-a_{n}\leq2010$. Chứng minh rằng tồn tại vô số cặp số nguyên dương $(p,q)$ thỏa mãn $p<q$ thì $a_{p}|a_{q}$
Câu 2. Tìm $x,y,z$ thỏa mãn hệ $\left\{\begin{matrix}
&2z(x+y)+1=x^{2}-y^{2} \\
& y^{2}+z^{2}=1+2xy+2xz-2yz \\
& y(3x^{2}-1)=-2x(x^{2}+1)
\end{matrix}\right.$
Câu 3. Hai đường tròn $(O_{1})$ và $(O_{2})$ cắt nhau tại $A,B$ và $I$ là trung điểm $O_{1}O_{2}$. Gọi $C$ là đối xứng của $B$ qua $I$. Một đường tròn $(O)$ đi qua $A,C$ cắt hai đường tròn đã cho tại $M,N$ khác $A$. Chứng minh rằng $CM=CN$.
Câu 4. Gọi $\mathbb{N}$ là tập hợp các số tự nhiên. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N\times N}\rightarrow\mathbb{N}$ thỏa mãn
i) $f(a,b)=f(b,a)$
ii) $f(b,f(a,b))=a$
iii) Nếu $f(a,b)>c$ thì $f(b,c)<a$
