Bài 119 : Giải phương trình nghiêm nguyên dương :

 

$2+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=y$

 

 

(Bài này ra nghiệm tổng quát hay sao ấy ?  )

Thay $2$ bởi $x$ thì ta được bài toán này (chắc tổng quát nhất rồi), lời giải ở topic đó luôn.

Em chỉnh rồi mà anh

Ai có thể cho mình bộ đề tuyển sinh lớp 10 quốc học Huế các năm với ?

Đây nhé bạn:

http://diendantoanho...-huế-2012-2013/

http://diendantoanho...t-quốc-học-huế/

http://diendantoanho...c-huế-nam-2009/

http://diendantoanho...-huế-2010-2011/

http://diendantoanho...-huế-2012-2013/

Có chú nào muốn làm em rể giơ tay lên, giơ chân luôn nhé

Bài 524: $\left\{\begin{matrix} &2x^{2}-2y=xy-4x \\ &\sqrt{12x^{2}+3y+84}=2x+2\sqrt{x+2}+\sqrt{20-y} \end{matrix}\right.$

Lời giải.

Điều kiện xác định: $x\geq -2$, $y\leq 20$, $12x^{2}+3y+84\geq 0$.

Ta có:

$$2x^{2}-2y=xy-4x$$

Mình chưa hiểu vì $a^2b, b^2a$ không xuất hiện trong hệ, riêng việc khử $ab$ trong hệ sẽ dẫn đến các ràng buộc: 

$20uv=0=-34uv.$

Điều kiện để phép đổi biến trên "xác định" là $uv\neq 0.$

 

Bạn nói rõ hơn về về việc chọn $a, b$ nhen! 

Ý tưởng thất bại! Đoạn $a^{2}b$, $ab^{2}$ là mục đích chung của phương pháp này như khi có bậc $3$ thì sẽ xuất hiện nên mình ghi vậy thôi chứ không có xuất hiện trong bài này.

Ý tưởng lúc chiều nhưng giờ mới có thời gian để kiểm chứng, tìm ý tưởng khác thay cho ý tưởng này. Xin đề xuất vài bài dùng ý tưởng trên để thực hiện giúp mọi người hiểu rõ hơn phần nào những lời mình lảm nhảm bên trên, tất nhiên dùng cách nào cũng được mình sẽ trình bày sau

Bài 520: Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+x=3 \\ x^{2}-xy-2y^{2}+y+1=0 \end{matrix}\right.$$

Bài 521: Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} x^{3}+3xy^{2}=-49 \\ x^{2}-8xy+y^{2}=8y-17x \end{matrix}\right.$$

Bài 523: $\left\{\begin{matrix} &x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{x^{2}-1}=1 \\ &3x^{2}-xy^{2}+4x=1 \end{matrix}\right.$

Hướng giải chưa xét kĩ điều kiện và hoàn chỉnh:

Đặt điều kiện xác định.

Bình phương hai vế của phương trình thứ nhất ta được:

$$\left ( x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{x^{2}-1} \right )^{2}=1$$

Phương trình này có 1 nghiệm $x=2$ mà chị.   

Cảm ơn NTA1907 nhiều, không hiểu sao hôm qua nhập thế nào mà ra phương trình bị vô nghiệm.

Đã chỉnh sửa lời giải cho bài 524.

Bài 522. Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} xy+x+1=7y & \\ x^2y^2+xy+1=13y^2 & \end{matrix}\right.$

Lời giải.

Xét $y=0$ không phải nghiệm của hệ nên chia hai vế của phương trình thứ nhất cho $y\neq 0$, chia hai vế của phương trình thứ hai cho $y^{2}\neq 0$ ta được hệ:

$$\left\{\begin{matrix} x+\dfrac{x}{y}+\dfrac{1}{y}=7 \\ x^{2}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{1}{y^{2}}=13 \end{matrix}\right.$$

Bài 533: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1}=\frac{y^3-1}{y+1}\\\sqrt{y+1}=\sqrt{\frac{3-x}{xy+3}}  \end{matrix}\right.$

Lời giải.

Từ phương trình thứ hai của hệ ta được $y\geq -1$.

Ta thấy $\text{VT}$ của phương trình thứ nhất không âm nên để hệ có nghiệm thì ít nhất $\text{VP}$ cũng phải không âm.

Do đó ta được $y\geq 1$.

Điều kiện xác định: $\left\{\begin{matrix} x\geq -1 \\ y\geq 1 \\ \dfrac{3-x}{xy+3}\geq 0 \end{matrix}\right.$.

Ta có:

$$\sqrt{y+1}=\sqrt{\dfrac{3-x}{xy+3}}$$

Bài 535:

$\left\{\begin{matrix} (2x^2-1)(2y^2-1)=\frac{7xy}{2} & \\ x^2+y^2+xy-7x-6y+14=0& \end{matrix}\right.$

Lời giải.

Viết lại phương trình thứ hai của hệ dưới dạng phương trình bậc hai ẩn $x$, tham số $y$:

$$x^{2}+\left ( y-7 \right )x+y^{2}-6y+14=0$$

Xét $\Delta _{x}$:

$$\Delta =\left ( y-7 \right )^{2}-4\left ( y^{2}-6y+14 \right )=-3y^{2}+10y-7$$

Để hệ có nghiệm thì ít nhất $\Delta _{x}\geq 0$ hay:

$$-3y^{2}+10y-7\geq 0\Leftrightarrow 1\leq y\leq \dfrac{7}{3}$$

Tương tự, viết lại phương trình thứ hai của hệ dưới dạng phương trình bậc hai ẩn $y$, tham số $x$ và lập luận tương tự ta được $2\leq x\leq \dfrac{10}{3}$.

Xét $x=y=0$ không phải là nghiệm của hệ do đó chia hai vế của phương trình thứ hai của hệ cho $xy\neq 0$ ta được:

$$\left ( 2x-\dfrac{1}{x} \right )\left ( 2y-\dfrac{1}{y} \right )=\dfrac{7}{2}$$

Ta có:

$$2x-\dfrac{1}{x}\geq 2.2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{2}$$

Bài 517: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{3+2x^{2}y-x^{4}y^{2}}+x^{4}(1-2x^{2})=y^{4} \\ &1+\sqrt{1+(x-y)^{2}}=x^{3}(x^{3}-x+2y^{2}) \end{matrix}\right.$

Lời giải.

Điều kiện xác định: $3+2x^{2}y-x^{4}y^{2}\geq 0$.

Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ ta được:

$$\sqrt{3+2x^{2}y-x^{4}y^{2}}+x^{4}\left ( 1-2x^{2} \right )-1-\sqrt{1+\left ( x-y \right )^{2}}=y^{4}-x^{3}\left ( x^{3}-x+2y^{2} \right )$$

Bài này thay thế cho bài mang tính chất "giải trí" ở trên

Bài 528: Giải hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix}y^6+y^3+\frac{x^2}{2}=\sqrt{\frac{xy}{2}-\frac{x^2y^2}{4}} \\2xy^3+y^3+\frac{1}{2}=\frac{x^2}{2}+\sqrt{x^2-2xy+1+y^2} \end{matrix}\right.$

 

P/S: Sao bài 523 và bài 527 giống nhau vậy.

@Baoriven: Một bài là đề sai, một bài là đề sai sau khi sửa

Sửa bài của Baoriven để trả lời câu hỏi chứ post trả lời thôi thì loãng topic và spam hi vọng không thấy phiền.

Xin trình bày hướng giải rồi sẽ sửa bài viết trình bày đầy đủ sau.

Lời giải.

Điều kiện xác định: $\dfrac{xy}{2}-\dfrac{x^{2}y^{2}}{4}\geq 0$.

Ta có:

$$y^{6}+y^{3}+\dfrac{x^{2}}{2}=\sqrt{\dfrac{xy}{2}\left ( 1-\dfrac{xy}{2} \right )}\leq \dfrac{\frac{xy}{2}+1-\frac{xy}{2}}{2}=\dfrac{1}{2}$$

Từ hai bài toán trên có thể thấy được một hướng chế đề từ các tổng bình phương khá hay

Điều kiện: $-1\leq x\leq 1, -1\leq y\leq 1$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$VT_{(1)}\leq \sqrt{(x^{2}+1-x^{2})(y^{2}+1-y^{2})}=1$

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz nếu mình không nhớ không nhầm thì là vầy:

$$\left ( ax+by \right )^{2}\leq \left ( a^{2}+b^{2} \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right )$$

Nếu vậy thì sao có đoạn này được nhỉ? Mình không rành bất đẳng thức cho lắm nên có gì sai sót mong bỏ qua...

Các cách thực sự rất hay. Chị có thể cho em ý tưởng cách đặt ẩn và biến đổi "ảo diệu" hoặc tài liệu về PP trên dc ko ạ?

Tài liệu thì tham khảo ở chuyên đề phương trình - hệ phương trình của diễn đàn mathscope (bạn down ở mathscope mình không trích dẫn link lại) còn đây là tài liệu mấy bài toán mình còn trong máy (hồi thi xong xóa hết tài liệu luôn giờ lại tiếc :|).

 K2pi.Net.Vn---Casio Vũ Hồng Phong bản chính thức.pdf   938.39K   108 Số lần tải

 K2pi.Net.Vn---hgtpboxmath.pdf   1.47MB   117 Số lần tải

 K2pi.Net.Vn---Phương trình vô tỷ- K2pi.pdf   1020.02K   110 Số lần tải

 K2pi.Net.Vn---PT Voty.pdf   208.65K   224 Số lần tải

 K2pi.Net.Vn---Tong Hop PTVT On Thi DH 2014.pdf   831.84K   127 Số lần tải

Bài 350: $x^3+(3-\sqrt{x^2+2})x=1+2\sqrt{x^2+2}$

Lời giải.

$$x^{2}+\left ( 3-\sqrt{x^{2}+2} \right )x=1+2\sqrt{x^{2}+2}$$

$\iff b^4+\sqrt{2}b^2-2\sqrt{2}b-\sqrt{2}+2=0$

 

$\iff (b^2-\sqrt[4]{2}b+\sqrt{2}-\sqrt[4]{2})(b^2+\sqrt[4]{2}b+\sqrt[4]{2}+2)=0$

Phiền bạn trình bày rõ cách tách đoạn này giúp mình với vì mình cũng làm tương tự nhưng đến đoạn bậc bốn tách này mình làm khá lằng nhằng và đôi khi tách không được

Bài 461: Giải phương trình: $x-1=ln(x)$

Lời giải.

Điều kiện xác định $x>0$.

Phương trình tương đương với $x=\ln\left ( x \right )+1$.

Xét vế trái đặt $f\left ( x \right )=x$, ta có $f'\left ( x \right )=1$ đây là hàm hằng.

Đặt vế phải là $g\left ( x \right )=\ln\left ( x \right )+1$ thì $g'\left ( x \right )=\frac{1}{x}>0$ vì theo điều kiện xác định $x>0$.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất, dễ thấy $x=1$ là nghiệm của phương trình.

Không biết tác giả hay người post đề của bài 350 mình post ở trên có ngụ ý chế thêm theo cách giải khác hay ý gì khác không nhỉ?

Bài trên ở trang 104 chuyên đề phương trình, hệ phương trình của diễn đàn mathscope.

Bài 487. Giải phương trình:

$$x+\sqrt{\sqrt{-x-1}+\sqrt{1+2\sqrt{-x-1}}}=\sqrt{-x-1}$$

ĐK: $x \geq 1$

 

Từ pt(2) $\iff 6=\dfrac{5\sqrt{5x+y-5}}{5}+\sqrt{1-x+y} \leq \dfrac{5x+y+20}{10}+\dfrac{2-x+y}{2}=\dfrac{6y+30}{20} \rightarrow y \geq 5$

$$\dfrac{6y+30}{20}\geq 6$$

$$\Leftrightarrow y\geq 15$$

Bạn nhầm đoạn này rồi, phải là $\dfrac{6y+30}{10}$

Bài 512: Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} \left ( x^{2}-1 \right )^{2}+3=\dfrac{6x^{5}y}{x^{2}+2} \\ 3y-x=\sqrt{\dfrac{4x-3x^{2}y-9xy^{2}}{x+3y}} \end{matrix}\right.$$

Bài 510: $\left\{\begin{matrix} &7\sqrt{16-y^{2}}=(x-1)(x+6) \\ &(x+2)^{2}+2(y-4)^{2}=9 \end{matrix}\right.$

 

P/s: Chậc...các bạn giải bài nhanh quá 

Lời giải.

Điều kiện xác định: $-4\leq y\leq 4$.

Vì $\text{VT}$ của phương trình thứ nhất không âm nên $\text{VP}$ cũng phải không âm, hay:

$$\left ( x-1 \right )\left ( x+6 \right )\geq 0$$

Chặn vậy ổn chưa nhỉ 

Nhờ mọi người giúp em bài này ạ:

Bạn đánh số thứ tự bài theo quy định của topic và

Đăng một bài nữa rồi ăn cơm

Bài 515: Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}=\dfrac{35}{12} \\ \dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}-\dfrac{y}{\sqrt{1-y^{2}}}=\dfrac{7}{12} \end{matrix}\right.$$

Nói qua về bài này, hiện tại mình biết có $3$ cách giải cho bài này trong đó có một lời giải là ngắn gọn nhất còn hai cách khác thì hơi cồng kềnh một chút nhưng mà có một ý tưởng nữa được đăng bên boxmath là dùng lượng giác nhưng chưa hoàn thiện. Do đó mình đăng vào topic này và muốn xem còn cách giải nào khác nữa không (không biết trong topic có chưa, nếu có mình sẽ sửa bài khác).