Mình xin đóng góp 1 bài
Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng 3. Chứng minh
$3a^2+3b^2+3c^2+4abc \geq 13$
Ta có: $3-2a=a+b+c-2a=b+c-a >0$. Tương tự, ta có: $3-2b>0, 3-2c>0$
Áp dụng BĐT Côsi ta có:
$(3-2a)(3-2b)(3-2c) \leq (\dfrac{3-2a+3-2b+3-2c}{3})^3=1$
$\Leftrightarrow 27-9(2a+2b+2c)+12(ab+bc+ac)-8abc \leq 1$
$\Leftrightarrow 27-54+12(ab+bc+ca)-8abc \leq 1$
$\Leftrightarrow 4abc \geq 6(ab+bc+ca)-14$
$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)+4abc \geq 3(a+b+c)^2 -14=13$
Đắng thức xảy ra khi $a=b=c=1$