96/ Cho $0<x;y;z \leq \frac{3}{2}$. Chứng minh rằng $\sum \sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}} \geq \frac{3}{2}.\sqrt{17}$

 

97/ Cho x; y; z > 0. Chứng minh $\sum \frac{2x}{x^6+y^4} \leq \sum \frac{1}{x^4}$

 

98/ Cho x; y; z > 0 và $\sum \frac{a^5}{b+c}=\frac{3}{2}$. Chứng minh $\sum ab^2 \leq 3$

 

99/ Cho $a;b;c>0$ và $a+b+c \leq \frac{3}{2}$. Chứng minh $\sum (a+\frac{1}{b})^3 \geq \frac{375}{8}$

 

100/ Cho x; y; z > 0. Chứng minh $\sum \frac{x^7}{x^2+y^2} \geq \frac{\sum x^5}{2}$

99 

ta có 

$\sum \left ( a+\frac{1}{b} \right )^{3}\geq \frac{\left ( a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}+c+\frac{1}{c} \right )^{3}}{9}$

ta tìm min $\sum \left ( a+\frac{1}{a} \right )$

áp dụng bất đẳng thức côsi và bunhia

$\sum \left ( a+\frac{1}{a} \right )= \sum \left ( a+\frac{1}{4a} \right )+\sum \frac{3}{4a}\geq 3+\frac{27}{4\left ( a+b+c \right )}\geq \frac{15}{2}$

$\Rightarrow \sum \left ( a+\frac{1}{b} \right )^{3}\geq \frac{\left ( \frac{15}{2} \right )^{3}}{9}= \frac{375}{8}$

96/ Cho $0<x;y;z \leq \frac{3}{2}$. Chứng minh rằng $\sum \sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}} \geq \frac{3}{2}.\sqrt{17}$

 

97/ Cho x; y; z > 0. Chứng minh $\sum \frac{2x}{x^6+y^4} \leq \sum \frac{1}{x^4}$

 

98/ Cho x; y; z > 0 và $\sum \frac{a^5}{b+c}=\frac{3}{2}$. Chứng minh $\sum ab^2 \leq 3$

 

99/ Cho $a;b;c>0$ và $a+b+c \leq \frac{3}{2}$. Chứng minh $\sum (a+\frac{1}{b})^3 \geq \frac{375}{8}$

 

100/ Cho x; y; z > 0. Chứng minh $\sum \frac{x^7}{x^2+y^2} \geq \frac{\sum x^5}{2}$

98 

áp dụng bất đẳng thức côsi

$\frac{a^{5}}{b+c}+\frac{a^{3}\left ( b+c \right )}{4}\geq a^{4}$

mà  dễ chứng minh  $\sum a^{3}\left ( b+c \right )\leq 2\sum a^{4}$

$\Rightarrow a^{4}+b^{4}+c^{4}\leq 3$

tiếp tục côsi 

$a^{4}+a^{4}+a^{4}+1\geq 4a^{3}$

thiết lập các bất đăng thức tương tự cộng lại ta có 

$a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 3$

97 $\sum \frac{2x}{x^{6}+y^{4}}\leq \frac{2x}{2x^{3}y^{2}}=\frac{1}{x^{2}y^{2}}$

đến đây thì dễ rồi

28) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a+b+c=3$. Cmr: $\sum \frac{a+1}{b^2+1}\geq 3$

làm thế này không biết có sai không

ta có $ab+bc+ca\leq 3$

$\Rightarrow \sum \frac{a+1}{b^{2}+1}\geq \sum \frac{a+1}{b^{2}+ab+bc+ca}=\sum \frac{a+1}{\left ( b+a \right )\left ( b+c \right )}$

đặt $\left\{\begin{matrix} a+b=x & \\ b+c=y & \\ c+a=z & \end{matrix}\right.$

$\sum \frac{2x+2z-y}{3xy}\geq 3$ với $x+y+z=6$

đến đoạn này việc đánh giá là hoàn toàn đơn giản chỉ có đièu mình sai hệ số chỗ nào không phát hiện ra,mong các bạn sửa hộ

220/ 

a. $\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=y$

b.Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} 2x+3y=8 & & \\ 5y+3z=1 & & \end{matrix}\right.$

c.$.x+y+z=xyz$

d.$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1998}$

e.$3x^2+5y^2=12$

f.$3(x^2+y^2+xy)=x+8y$

g.$x(x+1)(x+2)(x+3)=y^2$

h.$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}=1$

a,$\Leftrightarrow 2x+3+2\sqrt{x\left ( x+3 \right )}=y^{2}$

nếu $x=0$  không thoả mãn 

nếu $x=3$ không thoả mãn

nếu $x\left ( x+3 \right )=k^{2}$

$\Leftrightarrow \left ( 2x+3-k \right )\left ( 2x+3+k \right )=9$

220/ 

a. $\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=y$

b.Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} 2x+3y=8 & & \\ 5y+3z=1 & & \end{matrix}\right.$

c.$.x+y+z=xyz$

d.$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1998}$

e.$3x^2+5y^2=12$

f.$3(x^2+y^2+xy)=x+8y$

g.$x(x+1)(x+2)(x+3)=y^2$

h.$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}=1$

c,giả sử $x\geq y\geq z$

với $x=y=z=0$ đúng

ta có $1=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\leq \frac{3}{z^{2}}$

$\Rightarrow z=1$

$\Leftrightarrow \left ( x-1 \right )\left ( y-1 \right )=2$

220/ 

a. $\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=y$

b.Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} 2x+3y=8 & & \\ 5y+3z=1 & & \end{matrix}\right.$

c.$.x+y+z=xyz$

d.$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1998}$

e.$3x^2+5y^2=12$

f.$3(x^2+y^2+xy)=x+8y$

g.$x(x+1)(x+2)(x+3)=y^2$

h.$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}=1$

g,$\Leftrightarrow \left ( x^{2}+3x+2 \right )\left ( x^{2}+3x \right )=y^{2}$

$\left ( x^{2}+3x+1-y \right )\left ( x^{2}+3x+1+y \right )=1$

Câu 1
Tập làm thám tử:Người ta phát hiện một xác chết treo cổ ở nóc nhà. Ngay dưới chân anh ta cách 20 cm co một vũng nước lớn.
bạn hãy giả thuyết xem anh ta chết bằng cách nào mà để lại hiện trường như thế???

đưng trên cục băng treo cổ

Thử luôn.

sao hình mình up lên nhỏ thế

thử phát

Hai toán thủ nguyentrungphuc26041999  và  Frankie nole có cùng địa chỉ IP và có lời giải giống hệt nhau. Điều này là gian lận.

 

BTC đã chấm điểm cho nguyentrungphuc26041999 và cảnh cáo toán thủ này. 

 

Toán thủ Frankie nole bị loại vì hành vi gian lận

xin lỗi BTC nhưng hôm đó,mạng nhà em bị rớt,mất mạng vài tuần nên đến nhà toán thủ frankynole để làm,do bài này khá dễ nên làm giống nhau là chuyện bình thường vì đây là cách mà phần lớn các toán thủ đều làm.

hệ tương đương với $\left\{\begin{matrix} 2x^{2}-5xy+3y^{2}=0 & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( x-y \right )\left ( 2x-3y \right )=0 & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & \end{matrix}\right.$

trường hợp 1 nếu $x=y$

hệ trở thành $\left\{\begin{matrix} x=y & \\ 3x^{2}-3x +1=0& \end{matrix}\right.$

$\Delta =-3< 0$ nên hệ vô nghiệm

trường hợp 2 

nếu $2x=3y$

hệ trở thành $\left\{\begin{matrix} 2x=3y & \\ 8y^{2}-6y+1=0 & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} 2x=3y & \\ \left ( 4y-1 \right )\left ( 2y-1 \right )=0 & \end{matrix}\right.$

nếu $y=\frac{1}{4}$ $\Rightarrow x=\frac{3}{8}$

 nếu $y=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow x=\frac{3}{4}$

Vậy $\left ( x,y \right )=\left \{ \left ( \frac{3}{8},\frac{1}{4} \right ),\left ( \frac{3}{4},\frac{1}{2} \right ) \right \}$

d = 10

S = 36

 

Chứng minh A=$\sqrt{\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}}$ là 1 số hữu tỷ

 

đặt $a-b=x$

$b-c=y$

$c-a=z$

$\Rightarrow x+y+z=0$

$\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}=\frac{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}}{x^{2}y^{2}z^{2}}$

$= \frac{x^{2}y^{2}+x^{2}y^{2}+x^{2}y^{2}+2xyz\left ( x+y+z \right )}{\left ( xyz \right )^{2}}=\frac{\left ( xy+yz+zx \right )^{2}}{\left ( xyz \right )^{2}}$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}}=\frac{xy+yz+zx}{xyz}= \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ là số hữu tỉ

 

b/ Rút gọn 

P=$\frac{1}{1\sqrt{3}+3\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{5}+5\sqrt{3}}+...+\frac{1}{97\sqrt{99}+99\sqrt{97}}$

 

$\frac{1}{k\sqrt{k+2}+\sqrt{k}\left ( k+2 \right )}= \frac{1}{\sqrt{k\left ( k+2 \right )}\left ( \sqrt{k}+\sqrt{k+2} \right )}$

$= \frac{\sqrt{k+2}-\sqrt{k}}{2\sqrt{k\left ( k+2 \right )}}= \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k-2}} \right )$

thay vào

$P=\frac{1}{2}\left ( 1-\frac{1}{\sqrt{99}} \right )$

 

8/ So sánh 2 số A và B sau :

A=$\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}}$

và B=$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$

 

 

rõ ràng A>B

$\frac{1}{\sqrt{2}}> \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

cứ như thế

$\frac{1}{\sqrt{99}}> \frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$

 

5/ (đề thi T/s trường Phổ thông năng khiếu (Khtn) - đại học quốc gia TPHCM 2005-2006)

Cho $a,b> 0$ và c khác 0 . Chứng minh

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow \sqrt{a+b}=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}$

 

như sau 

$\left ( \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c} \right )^{2}= a+b+c+b+2\sqrt{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )}= 2b+2\sqrt{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )}$

$= 2b+2\sqrt{b^{2}+ab+bc+ca}= 2b+2b$(do $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}= 0$ $\Rightarrow ab+bc+ca= 0$)

$=4b$

đến đây cũng chẳng hiểu sao suy ra cái bạn nói cần chứng minh

Nếu mình sửa lại đề là rút gọn A,B ? Các bạn làm thử đi

rút gọn B thôi

$\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}= \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{k+1-k}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$

thay vào ta được

$B=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}= 9$

Ta có 

$x^{2}+y^{2}\geq 2xy$ (mọi $x,y\in R$)

$\Rightarrow \left ( x+y \right )^{2}\geq 4xy$

$\Rightarrow \left ( x+y \right )^{3}+\left ( x+y \right )^{2}\geq \left ( x+y \right )^{3}+4xy\geq 2$

$\Rightarrow \left ( x+y \right )^{3}+\left ( x+y \right )^{2}\geq 2$

$\Rightarrow \left ( x+y-1 \right )\left [ \left ( x+y \right )^{2}+2\left ( x+y \right )+2 \right ]\geq 0$

Do $\left ( x+y \right )^{2}+2\left ( x+y \right )+2= \left ( x+y+1 \right )^{2}+1>0$

$\Rightarrow x+y-1 \geq 0$

$\Rightarrow x+y \geq 1$

Theo bất đăng thức Bunnhiacopxki 

$2\left ( x^{2}+y^{2} \right )\geq \left ( x+y \right )^{2}\geq 1$

$x^{2}+y^{2}\geq \frac{1}{2}$

ta lại có 

$P=3\left ( x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2} \right )-2\left ( x^{2}+y^{2} \right )+1$

$\Rightarrow P=3\left [ \frac{2\left ( x^{4}+y^{4} \right )}{4}+\frac{x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}}{2} \right ]-2\left ( x^{2}+y^{2} \right )+1$

Theo bất đẳng thức bunhiacopxki ta có

$P\geq 3\left [ \frac{\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}}{4}+\frac{\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}}{2} \right ]-2\left ( x^{2}+y^{2} \right )+1$

$\Rightarrow P\geq \frac{9}{4}\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}-2\left ( x^{2}+y^{2} \right )+1$

đặt $x^{2}+y^{2}=a\left ( a\geq \frac{1}{2} \right )$

ta sẽ tìm GTNN của $\frac{9}{4}a^{2}-2a+1$

ta có $\frac{9}{4}a^{2}-2a+1=2\left ( a^{2}-a+\frac{1}{4} \right )+\frac{a^{2}+2}{4}$

$=2\left ( a-\frac{1}{2} \right )^{2}+\frac{\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}+2}{4}\geq \frac{9}{16}$

$\Rightarrow P\geq \frac{9}{16}$ 

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

Điểm 10.

Giả sử $m\neq 1$

$\Rightarrow m> 1$

Khi $n$ lẻ $\Rightarrow n^{2}+1\vdots 2$

$\Rightarrow \left ( n^{2}+1 \right )^{2^{k}}\equiv 1\left ( mod4 \right )$

$\Rightarrow \left ( 44n^{3}+11n^{2}+10n+2 \right )\equiv 2\left ( mod4 \right )$

$\Rightarrow VT\equiv 2\left ( mod4 \right )$

$\Rightarrow N\vdots 2$

$\Rightarrow N^{m}\vdots 4$

Suy ra vô lý 

khi n chẵn,$44n^{3}+11n^{2}+10n+2\vdots 2$

$N\vdots 2$

đặt $N=2^{a}b$ với $b\equiv 1\left ( mod2 \right )$ 

đặt $n^{2}+1=2c$ với $c\equiv 1\left ( mod2 \right )$

Phương trình trở thành 

$\left ( 2c \right )^{2^{k}}.\left ( 44n^{3}+11n^{2}+10n+2 \right )=\left ( 2^{a}b \right )^{m}$

$2^{2^{k}}c^{2^{k}}.\left ( 44n^{3}+11n^{2}+10n+2 \right )= 2^{am}b^{m}$

do $b$ lẻ  nên $2^{k}=am$

$\Rightarrow m$ chẵn

$\left ( 44n^{3}+11n^{2}+10n+2 \right )$  là số chính phương 

$44n^{3}+11n^{2}+10n+2=44n^{3}+12n^{2}+8n-\left ( n^{2}-2n-2 \right )\equiv -n^{2}+2n+2\left ( mod4 \right )$

$\Rightarrow -n^{2}+2n+2=3-\left ( n-1 \right )^{2}$

nếu $\left ( n-1 \right )^{2}\equiv 1\left ( mod 4 \right )$

$\Rightarrow 3-\left ( n-1 \right )^{2}\equiv 2\left ( mod 4 \right )$

suy ra $44n^{3}+11n^{2}+10n+2$ không phải số chính phương 

nếu $\left ( n-1 \right )^{2}\equiv 0\left ( mod4 \right )$

$\Rightarrow 3-\left ( n-1 \right )^{2}\equiv 3\left ( mod4 \right )$

suy ra $44n^{3}+11n^{2}+10n+2$ không là số chính phương 

Suy ra $m=1$

Điểm bài :6đ ( chổ màu đỏ xem lại cách lập luận)

Nhầm lẫn nghiêm trọng giữa hai trường hợp $n$ lẻ và $n$ chẵn.

S = 16,3 + 6*3 = 34.3

chết thật,sót mất $m=0$ loại

ghi nhầm $n$ chẵn lẻ nữa

bạn kiểm tra dấu = xảy ra chưa vậy?

theo mình bạn kiểm tra dấu bằng đi

sử dụng AM-GM 5 số cũng được đó

dấu bằng xẩy ra $a=b=c$

Sorry khonggiadinh, mình post bài hơi cao, thôi để mình hạ bớt nhiệt huyết nhé

Bài 5: Chứng minh $\frac{a^5}{b^3}+\frac{b^5}{c^3}+\frac{c^5}{a^3}\geq \frac{a^4}{b^2}+\frac{b^4}{c^2}+\frac{c^4}{a^2}$ với mọi $a,b,c>0$

ta có 

theo bunhiacopxki

$\frac{a^{4}}{b^{2}}+\frac{b^{4}}{a^{2}}+\frac{c^{4}}{a^{2}}\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}= }a^{2}+b^{2}+c^{2}$

ta có $\frac{a^{5}}{b^{3}}+\frac{a^{5}}{b^{3}}+a^{2}\geq 3\frac{a^{4}}{2}$

thiết lập các bđt tương tự rồi cộng lại 

$2\sum \frac{a^{5}}{b^{3}}\geq 3\left ( \sum \frac{a^{4}}{b^{2}} \right )-\sum a^{2}\geq 2\sum \frac{a^{4}}{b^{2}}$

Tiếc quá bạn quên mất một điều rồi

Đáp án là $\sqrt{2}$ vì với lời giải của bạn thì dấu bằng không xảy ra

Áp dụng AM-GM ta có:

$S=\sum (\frac{x} {\sqrt{y}}+\sqrt{y})-(\sqrt{x}+\sqrt{y})\geq 2\sqrt{x}+2\sqrt{y}-\sqrt{x}-\sqrt{y}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$

mặt $\neq$ ta viết lại: $S=\frac{1-y}{\sqrt{y}}+\frac{1-x}{\sqrt{x}}=(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}})-(\sqrt{x}+\sqrt{y})$

Từ đó rút ra được

$2S\geq \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\geq \frac{2}{\sqrt[4]{xy}}\geq \frac{2}{\sqrt{\frac{xy}{2}}}=2\sqrt{2}\rightarrow S\geq 2$

Dấu bằng khi $x=y=\frac{1}{2}$

Dấu bằng là cái ở bản đầu tiên mình đã lưu ý rằng nó rất quan trong mà

cái này sao viết lại được 

x+y=1 mà bạn

hề hề nhầm

ui da mình nhầm hì hì, sorry nhé

bài 10: Chứng minh$a^{n+k}+b^{n+k}+c^{n+k}\geq a^nb^k+b^nc^k+c^na^k$ với mọi $n,k\in \mathbb{N}$

giả sử $a\geq b\geq c$

theo bất đẳng thức hoán vị hiển nhiên đúng

ồ, mình chép sai đề hì hì, phải là $S=a+\frac{1}{a^2}$. Hèn chi thấy giải dễ thế

ta có 

$a+\frac{1}{a^{2}}=\frac{a}{8}+\frac{a}{8}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{3a}{4}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^{2}}{64a^{2}}}+\frac{3a}{4}= \frac{3}{4}+\frac{3}{2}= \frac{9}{4}$

dấu bằng xảy ra khi $a=2$

Bài 11: cho $a,b,c\geq 0\wedge a+b+c=1. MaxS=\sum _{cyc}\sqrt[3]{a+b}$

bài 12: Cho $a,b,c,d>0.MinS=(1+\frac{2a}{3b})(1+\frac{2b}{3c})(1+\frac{2c}{3d})(1+\frac{2d}{3a})$

Bài vui vẻ: Chứng minh $(x+1)^r>1+rx$ với $x>-1$ (bất đẳng thức Bernoulli)

Đi ngủ cái, mai chiến tiếp nhé

bài bernulli thiếu đề

các dạng cơ bản 

$a>-1,n\in R+$ thì $\left ( 1+a \right )^{n}\geq 1+na$

dạng 2 $\left ( 1+a \right )^{n}\leq 1+na$ với $a> -1,r\in Q$ $0\leq r\leq 1$

dạng 3$\left ( 1+a \right )^{n}\geq 1+na$ với $a> -1,r\in Q$ với $r\leq 0$hoặc $r\geq 1$