220/ 

a. $\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=y$

b.Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} 2x+3y=8 & & \\ 5y+3z=1 & & \end{matrix}\right.$

c.$.x+y+z=xyz$

d.$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1998}$

e.$3x^2+5y^2=12$

f.$3(x^2+y^2+xy)=x+8y$

g.$x(x+1)(x+2)(x+3)=y^2$

h.$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}=1$

g,$\Leftrightarrow \left ( x^{2}+3x+2 \right )\left ( x^{2}+3x \right )=y^{2}$

$\left ( x^{2}+3x+1-y \right )\left ( x^{2}+3x+1+y \right )=1$

220/ 

a. $\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=y$

b.Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} 2x+3y=8 & & \\ 5y+3z=1 & & \end{matrix}\right.$

c.$.x+y+z=xyz$

d.$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1998}$

e.$3x^2+5y^2=12$

f.$3(x^2+y^2+xy)=x+8y$

g.$x(x+1)(x+2)(x+3)=y^2$

h.$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}=1$

a,$\Leftrightarrow 2x+3+2\sqrt{x\left ( x+3 \right )}=y^{2}$

nếu $x=0$  không thoả mãn 

nếu $x=3$ không thoả mãn

nếu $x\left ( x+3 \right )=k^{2}$

$\Leftrightarrow \left ( 2x+3-k \right )\left ( 2x+3+k \right )=9$

220/ 

a. $\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=y$

b.Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} 2x+3y=8 & & \\ 5y+3z=1 & & \end{matrix}\right.$

c.$.x+y+z=xyz$

d.$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1998}$

e.$3x^2+5y^2=12$

f.$3(x^2+y^2+xy)=x+8y$

g.$x(x+1)(x+2)(x+3)=y^2$

h.$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}=1$

c,giả sử $x\geq y\geq z$

với $x=y=z=0$ đúng

ta có $1=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\leq \frac{3}{z^{2}}$

$\Rightarrow z=1$

$\Leftrightarrow \left ( x-1 \right )\left ( y-1 \right )=2$

28) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a+b+c=3$. Cmr: $\sum \frac{a+1}{b^2+1}\geq 3$

làm thế này không biết có sai không

ta có $ab+bc+ca\leq 3$

$\Rightarrow \sum \frac{a+1}{b^{2}+1}\geq \sum \frac{a+1}{b^{2}+ab+bc+ca}=\sum \frac{a+1}{\left ( b+a \right )\left ( b+c \right )}$

đặt $\left\{\begin{matrix} a+b=x & \\ b+c=y & \\ c+a=z & \end{matrix}\right.$

$\sum \frac{2x+2z-y}{3xy}\geq 3$ với $x+y+z=6$

đến đoạn này việc đánh giá là hoàn toàn đơn giản chỉ có đièu mình sai hệ số chỗ nào không phát hiện ra,mong các bạn sửa hộ

96/ Cho $0<x;y;z \leq \frac{3}{2}$. Chứng minh rằng $\sum \sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}} \geq \frac{3}{2}.\sqrt{17}$

 

97/ Cho x; y; z > 0. Chứng minh $\sum \frac{2x}{x^6+y^4} \leq \sum \frac{1}{x^4}$

 

98/ Cho x; y; z > 0 và $\sum \frac{a^5}{b+c}=\frac{3}{2}$. Chứng minh $\sum ab^2 \leq 3$

 

99/ Cho $a;b;c>0$ và $a+b+c \leq \frac{3}{2}$. Chứng minh $\sum (a+\frac{1}{b})^3 \geq \frac{375}{8}$

 

100/ Cho x; y; z > 0. Chứng minh $\sum \frac{x^7}{x^2+y^2} \geq \frac{\sum x^5}{2}$

98 

áp dụng bất đẳng thức côsi

$\frac{a^{5}}{b+c}+\frac{a^{3}\left ( b+c \right )}{4}\geq a^{4}$

mà  dễ chứng minh  $\sum a^{3}\left ( b+c \right )\leq 2\sum a^{4}$

$\Rightarrow a^{4}+b^{4}+c^{4}\leq 3$

tiếp tục côsi 

$a^{4}+a^{4}+a^{4}+1\geq 4a^{3}$

thiết lập các bất đăng thức tương tự cộng lại ta có 

$a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 3$

97 $\sum \frac{2x}{x^{6}+y^{4}}\leq \frac{2x}{2x^{3}y^{2}}=\frac{1}{x^{2}y^{2}}$

đến đây thì dễ rồi

96/ Cho $0<x;y;z \leq \frac{3}{2}$. Chứng minh rằng $\sum \sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}} \geq \frac{3}{2}.\sqrt{17}$

 

97/ Cho x; y; z > 0. Chứng minh $\sum \frac{2x}{x^6+y^4} \leq \sum \frac{1}{x^4}$

 

98/ Cho x; y; z > 0 và $\sum \frac{a^5}{b+c}=\frac{3}{2}$. Chứng minh $\sum ab^2 \leq 3$

 

99/ Cho $a;b;c>0$ và $a+b+c \leq \frac{3}{2}$. Chứng minh $\sum (a+\frac{1}{b})^3 \geq \frac{375}{8}$

 

100/ Cho x; y; z > 0. Chứng minh $\sum \frac{x^7}{x^2+y^2} \geq \frac{\sum x^5}{2}$

99 

ta có 

$\sum \left ( a+\frac{1}{b} \right )^{3}\geq \frac{\left ( a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}+c+\frac{1}{c} \right )^{3}}{9}$

ta tìm min $\sum \left ( a+\frac{1}{a} \right )$

áp dụng bất đẳng thức côsi và bunhia

$\sum \left ( a+\frac{1}{a} \right )= \sum \left ( a+\frac{1}{4a} \right )+\sum \frac{3}{4a}\geq 3+\frac{27}{4\left ( a+b+c \right )}\geq \frac{15}{2}$

$\Rightarrow \sum \left ( a+\frac{1}{b} \right )^{3}\geq \frac{\left ( \frac{15}{2} \right )^{3}}{9}= \frac{375}{8}$

Câu 1
Tập làm thám tử:Người ta phát hiện một xác chết treo cổ ở nóc nhà. Ngay dưới chân anh ta cách 20 cm co một vũng nước lớn.
bạn hãy giả thuyết xem anh ta chết bằng cách nào mà để lại hiện trường như thế???

đưng trên cục băng treo cổ

 

8/ So sánh 2 số A và B sau :

A=$\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}}$

và B=$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$

 

 

rõ ràng A>B

$\frac{1}{\sqrt{2}}> \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

cứ như thế

$\frac{1}{\sqrt{99}}> \frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$

Nếu mình sửa lại đề là rút gọn A,B ? Các bạn làm thử đi

rút gọn B thôi

$\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}= \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{k+1-k}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$

thay vào ta được

$B=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}= 9$

 

Chứng minh A=$\sqrt{\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}}$ là 1 số hữu tỷ

 

đặt $a-b=x$

$b-c=y$

$c-a=z$

$\Rightarrow x+y+z=0$

$\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}=\frac{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}}{x^{2}y^{2}z^{2}}$

$= \frac{x^{2}y^{2}+x^{2}y^{2}+x^{2}y^{2}+2xyz\left ( x+y+z \right )}{\left ( xyz \right )^{2}}=\frac{\left ( xy+yz+zx \right )^{2}}{\left ( xyz \right )^{2}}$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}}=\frac{xy+yz+zx}{xyz}= \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ là số hữu tỉ

 

5/ (đề thi T/s trường Phổ thông năng khiếu (Khtn) - đại học quốc gia TPHCM 2005-2006)

Cho $a,b> 0$ và c khác 0 . Chứng minh

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow \sqrt{a+b}=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}$

 

như sau 

$\left ( \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c} \right )^{2}= a+b+c+b+2\sqrt{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )}= 2b+2\sqrt{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )}$

$= 2b+2\sqrt{b^{2}+ab+bc+ca}= 2b+2b$(do $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}= 0$ $\Rightarrow ab+bc+ca= 0$)

$=4b$

đến đây cũng chẳng hiểu sao suy ra cái bạn nói cần chứng minh

 

b/ Rút gọn 

P=$\frac{1}{1\sqrt{3}+3\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{5}+5\sqrt{3}}+...+\frac{1}{97\sqrt{99}+99\sqrt{97}}$

 

$\frac{1}{k\sqrt{k+2}+\sqrt{k}\left ( k+2 \right )}= \frac{1}{\sqrt{k\left ( k+2 \right )}\left ( \sqrt{k}+\sqrt{k+2} \right )}$

$= \frac{\sqrt{k+2}-\sqrt{k}}{2\sqrt{k\left ( k+2 \right )}}= \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k-2}} \right )$

thay vào

$P=\frac{1}{2}\left ( 1-\frac{1}{\sqrt{99}} \right )$

chết thật,sót mất $m=0$ loại

ghi nhầm $n$ chẵn lẻ nữa

Giả sử $m\neq 1$

$\Rightarrow m> 1$

Khi $n$ lẻ $\Rightarrow n^{2}+1\vdots 2$

$\Rightarrow \left ( n^{2}+1 \right )^{2^{k}}\equiv 1\left ( mod4 \right )$

$\Rightarrow \left ( 44n^{3}+11n^{2}+10n+2 \right )\equiv 2\left ( mod4 \right )$

$\Rightarrow VT\equiv 2\left ( mod4 \right )$

$\Rightarrow N\vdots 2$

$\Rightarrow N^{m}\vdots 4$

Suy ra vô lý 

khi n chẵn,$44n^{3}+11n^{2}+10n+2\vdots 2$

$N\vdots 2$

đặt $N=2^{a}b$ với $b\equiv 1\left ( mod2 \right )$ 

đặt $n^{2}+1=2c$ với $c\equiv 1\left ( mod2 \right )$

Phương trình trở thành 

$\left ( 2c \right )^{2^{k}}.\left ( 44n^{3}+11n^{2}+10n+2 \right )=\left ( 2^{a}b \right )^{m}$

$2^{2^{k}}c^{2^{k}}.\left ( 44n^{3}+11n^{2}+10n+2 \right )= 2^{am}b^{m}$

do $b$ lẻ  nên $2^{k}=am$

$\Rightarrow m$ chẵn

$\left ( 44n^{3}+11n^{2}+10n+2 \right )$  là số chính phương 

$44n^{3}+11n^{2}+10n+2=44n^{3}+12n^{2}+8n-\left ( n^{2}-2n-2 \right )\equiv -n^{2}+2n+2\left ( mod4 \right )$

$\Rightarrow -n^{2}+2n+2=3-\left ( n-1 \right )^{2}$

nếu $\left ( n-1 \right )^{2}\equiv 1\left ( mod 4 \right )$

$\Rightarrow 3-\left ( n-1 \right )^{2}\equiv 2\left ( mod 4 \right )$

suy ra $44n^{3}+11n^{2}+10n+2$ không phải số chính phương 

nếu $\left ( n-1 \right )^{2}\equiv 0\left ( mod4 \right )$

$\Rightarrow 3-\left ( n-1 \right )^{2}\equiv 3\left ( mod4 \right )$

suy ra $44n^{3}+11n^{2}+10n+2$ không là số chính phương 

Suy ra $m=1$

Điểm bài :6đ ( chổ màu đỏ xem lại cách lập luận)

Nhầm lẫn nghiêm trọng giữa hai trường hợp $n$ lẻ và $n$ chẵn.

S = 16,3 + 6*3 = 34.3

Ta có 

$x^{2}+y^{2}\geq 2xy$ (mọi $x,y\in R$)

$\Rightarrow \left ( x+y \right )^{2}\geq 4xy$

$\Rightarrow \left ( x+y \right )^{3}+\left ( x+y \right )^{2}\geq \left ( x+y \right )^{3}+4xy\geq 2$

$\Rightarrow \left ( x+y \right )^{3}+\left ( x+y \right )^{2}\geq 2$

$\Rightarrow \left ( x+y-1 \right )\left [ \left ( x+y \right )^{2}+2\left ( x+y \right )+2 \right ]\geq 0$

Do $\left ( x+y \right )^{2}+2\left ( x+y \right )+2= \left ( x+y+1 \right )^{2}+1>0$

$\Rightarrow x+y-1 \geq 0$

$\Rightarrow x+y \geq 1$

Theo bất đăng thức Bunnhiacopxki 

$2\left ( x^{2}+y^{2} \right )\geq \left ( x+y \right )^{2}\geq 1$

$x^{2}+y^{2}\geq \frac{1}{2}$

ta lại có 

$P=3\left ( x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2} \right )-2\left ( x^{2}+y^{2} \right )+1$

$\Rightarrow P=3\left [ \frac{2\left ( x^{4}+y^{4} \right )}{4}+\frac{x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}}{2} \right ]-2\left ( x^{2}+y^{2} \right )+1$

Theo bất đẳng thức bunhiacopxki ta có

$P\geq 3\left [ \frac{\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}}{4}+\frac{\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}}{2} \right ]-2\left ( x^{2}+y^{2} \right )+1$

$\Rightarrow P\geq \frac{9}{4}\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}-2\left ( x^{2}+y^{2} \right )+1$

đặt $x^{2}+y^{2}=a\left ( a\geq \frac{1}{2} \right )$

ta sẽ tìm GTNN của $\frac{9}{4}a^{2}-2a+1$

ta có $\frac{9}{4}a^{2}-2a+1=2\left ( a^{2}-a+\frac{1}{4} \right )+\frac{a^{2}+2}{4}$

$=2\left ( a-\frac{1}{2} \right )^{2}+\frac{\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}+2}{4}\geq \frac{9}{16}$

$\Rightarrow P\geq \frac{9}{16}$ 

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

Điểm 10.

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

Toán thủ ra đề: angleofdarkness

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức,ta có

$E=\sum \frac{\frac{1}{x^{2}}}{xy+xz}\geq \frac{\left ( \frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right )^{2}}{2\left ( xy+yz+zx \right )}=\frac{xy+yz+zx}{2}$

áp dụng bất đẳng thức Cô-si 

$\frac{xy+yz+xz}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}}{2}=\frac{3}{2}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $E=\frac{3}{2}$ đạt được khi $a=b=c=1$

$d = 10$

$S = 41$

ta có ,với $x=1$

$\sqrt{2025x^{2}+2012x+3188}=\sqrt{2025+2012+3188}=85$

$\Rightarrow 85=2013-2011y+2094$

$\Leftrightarrow 4022=2011y$

$\Leftrightarrow y=2$ (thoả mãn $y$ là số tự nhiên)

Cặp số nguyên $\left ( x,y \right )=\left ( 1,2 \right )$ thoả mãn phương trình.

Vậy luôn tồn tại cặp số nguyên $\left ( x,y \right )$ thoả mãn phương trình

  d =9

 S =17+9x3 = 44

thử phát

Thử luôn.

sao hình mình up lên nhỏ thế

Họ và tên : Nguyễn Trung Phúc.

Đang học lớp 9A , Trường THCS Đặng Thai Mai, thành phố Vinh ,Tỉnh Nghệ An

Đề

Cho $a,b,c$ là các số thực dương, thoả mãn $a+b+c=3$

Chứng minh rằng

$\sum \frac{1}{4a^{2}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{1}{2}$

Lời giải

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có

$\frac{9}{4a^{2}+b^{2}+c^{2}}= \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{2a^{2}+\left ( a^{2}+b^{2} \right )+\left ( a^{2}+c^{2} \right )}\leq \frac{a^{2}}{2a^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+c^{2}}$

từ đây suy ra

$\sum \frac{9}{4a^{2}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{3}{2}+\sum \left ( \frac{b^{2}}{a^{2}+c^{2}} \right )=\frac{3}{2}+3= \frac{9}{2}$(đpcm)

dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

hệ tương đương với $\left\{\begin{matrix} 2x^{2}-5xy+3y^{2}=0 & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( x-y \right )\left ( 2x-3y \right )=0 & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & \end{matrix}\right.$

trường hợp 1 nếu $x=y$

hệ trở thành $\left\{\begin{matrix} x=y & \\ 3x^{2}-3x +1=0& \end{matrix}\right.$

$\Delta =-3< 0$ nên hệ vô nghiệm

trường hợp 2 

nếu $2x=3y$

hệ trở thành $\left\{\begin{matrix} 2x=3y & \\ 8y^{2}-6y+1=0 & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} 2x=3y & \\ \left ( 4y-1 \right )\left ( 2y-1 \right )=0 & \end{matrix}\right.$

nếu $y=\frac{1}{4}$ $\Rightarrow x=\frac{3}{8}$

 nếu $y=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow x=\frac{3}{4}$

Vậy $\left ( x,y \right )=\left \{ \left ( \frac{3}{8},\frac{1}{4} \right ),\left ( \frac{3}{4},\frac{1}{2} \right ) \right \}$

d = 10

S = 36

Hai toán thủ nguyentrungphuc26041999  và  Frankie nole có cùng địa chỉ IP và có lời giải giống hệt nhau. Điều này là gian lận.

 

BTC đã chấm điểm cho nguyentrungphuc26041999 và cảnh cáo toán thủ này. 

 

Toán thủ Frankie nole bị loại vì hành vi gian lận

xin lỗi BTC nhưng hôm đó,mạng nhà em bị rớt,mất mạng vài tuần nên đến nhà toán thủ frankynole để làm,do bài này khá dễ nên làm giống nhau là chuyện bình thường vì đây là cách mà phần lớn các toán thủ đều làm.

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho BM = CN. Kẻ MH, NK vuông góc với BC(H, K thuộc BC). CHứng minh:

Đường thẳng BC cắt đường thẳng MN tại trung điểm I của MN

Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định.

 

Sory bạn nguyentrungphuc26041999 nhá , lời giải đầy đủ như thế này:

 

3.png

 

a/Xét $\Delta BMH$ và $\Delta CNK$ có:

$\widehat{B} = \widehat{KCN}$ ( $= \widehat{ACB}$)

BM =CN

$\widehat{H} = \widehat{K} = 90^{\circ}$

Vậy  $\Delta BMH$ = $\Delta CNK$ (g.c.g)

=> MH = KN (c.c.t.ứ)

Gọi P là giao điểm của MN và HK (cái này giống nguyentrungphuc26041999)

Xét $\Delta MHP$ và $\Delta NKP$ có:

$\widehat{H} = \widehat{K} = 90^{\circ}$

MH=KN (C.m.t)

$\widehat{HMP} = \widehat{KNP}$( sole-trong)

=> $\Delta MHP$ = $\Delta NKP$ (g.c.g)

Vậy MP = PN (c.c.t.ứ)

Mà P nằm giữa M và N

=> P là trung điểm MN

Mà I là trung điểm MN

=> P $\equiv$ I

Vậy BC cắt MN tại trung điểm I

=> ĐPCM (Q.E.D)

---------------------------------------------------------

Ai có cách ngắn hơn thì post lên nhá. Cách mình hơi dài dòng.

 

câu b

đường trung trực của $MN$ cắt tia phân giác $\angle A$ tại $O$

khi đó

$BM=CN$,$OM=ON$,$OB=OC$(do tia phân giác góc A là đường trung trực của BC)

$\Delta OBM= \Delta OCN$

$\angle OBM=\angle OCN$

ta có

$\angle OBM= 180^{0}-\left ( \angle OAB+\angle BOA \right )=180^{0}-\left ( \angle OAC+\angle COA \right )= \angle OCN= \angle OAC+\angle COA$

suy ra

$\angle OBM+\angle OCN= 180^{0}$

$\angle ABO= \angle ACO= 90^{0}$

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho BM = CN. Kẻ MH, NK vuông góc với BC(H, K thuộc BC). CHứng minh:

Đường thẳng BC cắt đường thẳng MN tại trung điểm I của MN

Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định

câu a

$P$  là giao điểm của $MN$ và$HK$

$\Delta MPH= \Delta NPK$

suy ra

$MN$ cắt $KH$ tại trung điểm của chúng

$P\equiv I$

tìm các số nguyên x,y,z thỏa mãn $x^2+y^2+z^2< xy+3y+2z-3$

ta có

bất đẳng thức tương đương với

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-3y-2z+3< 0$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-3y-2z+3\leq -1$(do x,y,z nguyên)

hay$x^{2}-xy+\frac{y^{2}}{4}+3\left ( \frac{y^{2}}{4}-y+1 \right )+z^{2}-2z+1\leq 0$

suy ra$\left ( x-\frac{y}{2} \right )^{2}+3\left ( \frac{y}{2}-1 \right )^{2}+\left ( z-1 \right )^{2}\leq 0$

đến đây thì dễ rồi

giải ra ta được

$x=1,y=2,z=1$