Bài 73: Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp phản chứng

Thật vậy ta có thể giả sử a+b là số nguyên tố 

Theo giả thiết ta có: $(a+b)(b+c)(c+a)-8abc \vdots a+b$

Hay $8abc \vdots a+b$. Lại có a+b là số lẻ nên gcd(a+b,8)=1

Do đó $abc \vdots a+b$ 

Mà a+b là số nguyên tố nên xảy ra 1 trong 3 trường hợp sau: $a \vdots a+b$ hoặc $b \vdots a+b$ hoặc $c \vdots a+b$ (điều này là vô lí do a, b, c là 3 cạnh của tam giác nên max{a, b, c}< a+b)

Nên ta có điều giả sử là sai.

Vậy a+b phải là số nguyên tố

Lời giải của mình cho bài 35 như sau:

PT đã cho $\Leftrightarrow y^3=(x^3+1)(x^2+1)$

Do x là số lẻ ta dễ dàng chứng minh được gcd(x³+1,x²+1)=1

$\Rightarrow$ x³+1 là lập phương của 1 số nguyên.

Như vậy, x³ và x³+1 là 2 số nguyên liên tiếp và đều là lập phương của các số nguyên, và theo giả thiết x là số lẻ nên suy ra x= -1

Từ đó thay vào giả thiết tìm được y= 0

Vậy cặp số (x, y) thỏa mãn bài là (0, -1)

Bài 85: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$. CMR: 

$a+b+c\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

Bài 84: Cho $0< x, y, z< 1$ thỏa mãn: $xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$. CMR: $x^2+y^2+z^2\geq \frac{3}{4}$

Bài 81(VMO 2015): Cho a, b, c là các số thực dương. CMR:

$3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq (a+b+c)^2$

Bài 106: Cho a₁, a₂,...,a₁₉ là các số tự nhiên thỏa mãn: a₁+a₂+...+a₁₉ =26. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

S=a₁²+a₂²+...+a₁₉²

P/s: Topic dạo này buồn quá. Bài mới nha mọi người

Bài 123: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq 1$. Chứng minh rằng:

$a^2+b^2+c^2+7(ab+bc+ca)\geq \sqrt{8(a+b)(b+c)(c+a)}$

Chúc 2k3 thi tốt bình tĩnh, tự tin, chiến thắng đạt được những mục tiêu đã đề ra!

Bài 145: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: $abc=1$. Chứng minh rằng:

1. $\frac{1}{(1+a)^2}+\frac{1}{(1+b)^2}+\frac{1}{(1+c)^2}+\frac{1}{a+b+c+1}\geq 1$

2. $\frac{a+3}{(a+1)^2}+\frac{b+3}{(b+1)^2}+\frac{c+3}{(c+1)^2}\geq 3$

Bài 148: Cho x, y, z là các số thực dương và $x+y+1=z$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

$P=\frac{x^3y^3}{(x+yz)(y+zx)(z+xy)}$

Bài 140:

Từ giả thiết ta có bất đẳng thức sau: $0< ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}\leq 1$

Do đó

$\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}\leq \frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}= \frac{\sqrt{a}.\sqrt{a}}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c})$ (bất đẳng thức Cauchy)

Chứng minh tương tự như trên ta có:

$P\leq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a})=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Vậy $MaxP=\frac{3}{2}$ $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Bài 139: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}(6-\frac{a}{b}-\frac{b}{c}-\frac{c}{a})$

Bài 138: Với a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{2}{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}-\frac{3}{\sqrt{a+b+c}}$

Bài 79: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR:

$(a^2-a+1)(b^2-b+1)(c^2-c+1)\geq 1$

Bài 78(IMO 1984): Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn $a+b+c=1$.CMR:

$0\leq ab+bc+ca-2abc\leq \frac{7}{27}$

Bài 25: Cho $0\leq a, b, c \leq 2$ và a+b+c=3

1. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của M =$a^2+b^2+c^2$

2. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của N =$a^3+b^3+c^3$

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của H =$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$

P/s: Mỗi câu là 1 bài toán riêng mình ghép chung thành 1 bài

Bài 13: Cho a, b, c >0 và a+b+c=1. CMR: $5(a^2+b^2+c^2)\leq 6(a^3+b^3+c^3)+1$

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 10: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng $\frac{\sqrt{a^{4}+b^{4}}}{1+ab}+\frac{\sqrt{b^{4}+c^{4}}}{1+bc}+\frac{\sqrt{c^{4}+a^{4}}}{1+ac}\geq 3$

Bất đẳng thức của bạn sai rồi vế phải là $\frac{3}{\sqrt{2}}$

$P=\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} + \frac{{3{\rm{a}}bc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}$

$P-2=\frac{(a+b-c)(a+c-b)(a-b-c)}{{abc(a+b)(b+c)(c+a)}}\geq 0$ Luôn đúng

Vậy $minP=2$ khi $a=b=c$

Quote : Không biết lời giải của mình có trùng với lời giải gốc không

Bạn ơi điều kiện ở bài này là $a\geq b+c$

Bài 26: Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn: $x+y+z=100$

Xác định giá trị lớn nhất của M =$11xy+3xz+2012yz$

Bài 27: Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn: $a+b+c=3$

Chứng minh rằng $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca$

Bài 9: Đặt a+b+c=p,ab+bc+ca=q,abc=r

Theo giả thiết, $ =>p+r=4=>r=4−p => p+r=4 => r=4−p $ , từ giả thiết ta dễ dàng chứng minh được p$\geq$3

Theo bất đẳng thức Schur, ta có

$p^3-4pq + 9r \geq 0 => p^3-4pq + 9(4-p) \geq 0 =>  p^3- 9p+36 \geq 4pq => \frac{p^3-9p+36}{4p} \geq q$

$\Rightarrow \frac{p^3 -9p+36}{4p}\geq q$

Ta sẽ chứng minh p$\geq q$ hay ta chứng minh:p \geq \frac{p^3-9p+36}{4p}  <=> p^3 - 4p^2 -9p + 36 \leq 0 <=> 3 \leq p \leq 4(bất đẳng thức này hiển nhiên đúng)

Từ đó ta suy ra q$\leq$ 4

Bài 77(APMO 2004): Cho a, b, c là các số thực dương. CMR: $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 9(ab+bc+ca)$

Bài 75: Cho a, b, c là các số thực dương. CMR:

$a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

Bài 28(IMO 1961): Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c và có diện tích là S. Chứng minh rằng: $a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}S$

Cách của bạn Linh đúng rồi mọi người thử tìm các cách khác chẳng hạn như dùng nguyên lí Đirichlet