Bài toán. Trong mặt phẳng $(P)$ cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và một điểm $A$ cố định cách $O$ một khoảng $d>R$. $SO$ là đoạn thẳng vuông góc với $(P)$ và $SO=a$; $B$ là một điểm di động trên đường tròn nói trên.

 

1. Tìm vị trí của $B$ sao cho $(SAB) \bot (SBO)$
2. Xác định $B$ sao cho $S_{SAB}$ đạt $Max$

Có ai giỏi giải giúp cái này với dc hok:
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)<= 225/16

điều kiện là gì hả bạn?

Bất đẳng thức Nesbitt có thể chứng minh như sau( Sáng tạo BĐT-PKH theo mình cách này khá hay):
Điều phải chứng minh:
$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\geq \dfrac{3}{2}$
Xét các biểu thức:
$S=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}$
$A=\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{a}{a+b}$
$B=\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{b}{a+b}$
=>A+B=3 Dễ CM:
$S+B\geq 3$ (*)
$S+A\geq 3$ (**)
(*)(**)$\Rightarrow$ A+B+2S$\geq$ $\geq$ 6
=> $S\geq \dfrac{3}{2}$

Hình như bài này bị sai đề thì phải. Nếu theo điều kiện thì điểm rơi của bất đẳng thức đạt tại a=b=c=d=1 mà như thế thì Min=$\frac{4}{3}$chứ không phải 1 như đề bài. :|

Mình trình bày tóm tắt như sau:

$\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1+a+ab}{9}\geq\frac{2}{3}$
Đánh giá tương tự cộng các vế ta có:

VT$\geq\frac{8}{3}-\frac{4+(a+b+c+d)+(ab+bc+cd+da)}{9}\geq\frac{8}{3}-\frac{4+4\sqrt[4]{abcd}+4\sqrt[4]{(abcd)^2}}{9}=\frac{4}{3}$

Đẳng thức xảy ra <=>a=b=c=d=1

Mình nhầm hì, bài này không có đẳng thức (, bạn có cách khác không?

1.

a) Tìm toạ độ giao điểm của $©$ và $d$ có $2$ giao điểm, gọi là $A';B'$.

Gọi $(S)$ có dạng $x^2+y^2+2ax+2by+c=0$ trong đó $a^2+b^2>c$, biết $(S)$ đi qua $3$ điểm, lập phương trình $3$ ẩn giải ra được $a,b,c$.

b) Gọi $M(6;y)$ và $N(6;y')$ do $MN=6 \Leftrightarrow \sqrt{(y'-y)^2=6}$

Gọi $(S)$ có dạng $x^2+y^2+2ax+2by+c=0$ trong đó $a^2+b^2>c$, biết $(S)$ thoả $\left\{\begin{matrix} (S) \cap A' & & & & & \\(S) \cap B' & & & & & \\ (S) \cap M & & & & & \\ (S) \cap N & & & & & \\ \sqrt{(y'-y)^2}=6 & & & & & \end{matrix}\right.$

------------------------------

2.

a. Sử dụng điều kiện $a^2+b^2>c$.

b. Có $\Delta_{OA}:2ax=0$ bài toán quy về chứng minh hệ $\left\{\begin{matrix} 2ax=0 & & \\x^2+y^2-2m(x-a)=0 & & \end{matrix}\right.$ luôn có nghiệm.

c. Gọi $(C_1);(C_2)$ là hai đường tròn bất kì thuộc họ đường thẳng trong đó $\left\{\begin{matrix} (C_1):x^2+y^2-2m_1.x+2m_1.a=0 & & \\(C_2):x^2+y^2-2m_2.x+2m_2.a=0 & & \end{matrix}\right.$

Sử dụng điều kiện $(a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2 \neq 0$ (phần này không chắc )

d. Gọi $K(x_0;y_0)$ là điểm mà họ $©$ luôn đi qua nghĩa là

$x_0^2+y_0^2-2m(x_0-a)=0\forall m\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_0^2+y_0^2=0 & & \\x_0=a & & \end{matrix}\right.$

--------------------------------

Bài 4: cho 3 điểm A(0,a) ;B(b;0) ;C(-b;0) với a,b>0
a) Viết phương trình đường tròn (C ) tiếp xúc AB tại B và tiếp xúc AC tại C
b) Gọi M thuộc chứng minh rằng tích khoảng cách từ M đến AB nhân với tích khoảng cách từ M đến AC bằng khoảng cách từ M đến BC bình phương

Chỗ bôi đỏ ý là gì vậy bạn ?

Hướng giải:

Từ $I$ ta tính được $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, biết tâm và bán kính ta viết được phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Gọi $B(x;y)$ toạ độ điểm $B$ thoả mãn

+ Thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
+ $IB=R$
P/s: cho tâm đường tròn nội tiếp làm gì nhỉ.

Tìm tiếp tuyến chung của 2 đường tròn :
© : $x^{2}+y^{2}-10x+24y=56$
©' : $x^{2}+y^{2}-2x-4y=20$
P/s: mong mọi người cho pp làm

Chỉ cần phương pháp thôi hả

Gọi $(d):ax+by+c=0$

Giả sử $(d)$ là tiếp tuyến chung của $©;©'$ thì ta có $\left\{\begin{matrix}
d(I_1;d)=R_1 & & \\d(I_2;d)=R_2
& &
\end{matrix}\right.$

Bạn làm thử với bài này xem sao !

----------------

Ví dụ


$$\left\{\begin{matrix}
\frac{|2a+3b+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=1 & & \\ \frac{|3a+4b+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=3
& &
\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{|2a+3b+c|}{|3a+4b+c|}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{2a+3b+c}{3a+4b+c}=\pm \frac{1}{3} \\ \Rightarrow 3a+5b+2c=0...........$$

Đến đây rút $c$ ra và thế vào phương trình ban đầu !

Cách này thì mình làm được rồi,nhưng không biết có phải là cách duy nhất không?

Mình nghĩ là duy nhất rồi và đơn giản nhất rồi !

nếu là $ x-1 $ thì nó đã không còn đến bây giờ rồi

Dạ vâng và giờ nó đã đến giở tử

Em trình bày tạm hướng giải đã, mai sẽ post đầy đù ( Buồn ngủ quá )

$\text{PT} \Longleftrightarrow \frac{\sqrt{x^2-x+2}}{1+\sqrt{4-(x^2-x+2)}}-\frac{\sqrt{x^2+x}}{1+\sqrt{4-(x^2+x)}}=x^2-1

\\

\Longrightarrow f(x^2-x+2)-f(x^2+x)-(x^2-1)=0$

Xét $f(t)=\frac{\sqrt{t}}{1+\sqrt{4-t}}$ dễ thấy $f(t)$ đồng biến trong $ t \in [0;4]$

Hướng giải còn lại là chứng minh được $ f(x^2-x+2)-f(x^2+x)-(x^2-1)=0$ có một nghiệm $x=1$ là xong xuôi

---------------------------------------------------------

Phần còn lại xét $x^2-x+2 <x^2+x$ với $x \in .............$, xét khoảng này ta được $f(x^2-x+2)-f(x^2+x)-(x^2-1)<0$

Xét tiếp $x^2-x+2 >x^2+x$ với $x \in................$ khoảng này xét ta được $f(x^2-x+2)-f(x^2+x)-(x^2-1)>0$

Còn lại chỉ còn $x=1$ là thoả mãn

Bài 27. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}
x^3+y=2& & \\ x+2x^3+\sqrt{x+y+xy+1}=5
& &
\end{matrix}\right.$$
chọn đội tuyển hưng yên 2011-2012

Một cách

Đặt $\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x+1}=a & & \\ \sqrt{y+1}=b
& &
\end{matrix}\right.$

Thế $(1)$ vào $(2)$ và biến đổi ta được

$$a^2+ab-2b^2=0 \Longrightarrow \left [ \begin{matrix} a=b \\ a=-2b \end{matrix} \right. \Longrightarrow \sqrt{x+1}=\sqrt{y+1} \Longrightarrow x=y $$

Thế vào $(1)$ được

$$x^3+x-2=0 \Longleftrightarrow x=1$$

Yeah, còn bài lượng giác ai chém đi

Các bạn thảo luận nhiệt tình lên nào Không cần phải giải quyết trọn vẹn đâu Nghĩ đến đâu post đến đấy là được rồi

điều kiện: $ 4x^2+5x+1 \geq 0$

pt tương đương với

$9x-3=(9x-3)( \sqrt{4x^2+5x+1}+ 2 \sqrt{x^2-x+1})$

$(9x-3)(\sqrt{4x^2+5x+1}+ 2 \sqrt{x^2-x+1}-1)=0$

vì

$ 2 \sqrt{x^2-x+1}=2 \sqrt{(x- \frac{1}{2})^2+ \frac{3}{4}} \geq \sqrt3 >1 $

nên pt tương đương với

$ 9x-3=0 \Leftrightarrow  x= \frac{1}{3} $

  (thoả mãn đk)

 

Lời giải của bạn đúng rồi. Cảm ơn bạn đã tham gia giải bài, nhưng bạn chú ý hộ mình 2 điều sau

 

+/ Viết hoa đầu dòng.

+/ Quote đề bài.

 

Chúc bạn vui

Thêm 1 bài nữa

Bài 61. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}
2+6y=\frac{x}{y}-\sqrt{x-2y} & & \\\sqrt{x+\sqrt{x-2y}} =x+3y-2
& &
\end{matrix}\right.$$

Đề thi HSG Hải Phòng - 2011/2012

Post vài bài làm làm đến mai là vừa

Bài 29. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}
(2-x)(1-2x)(2+y)(1+2y)=4\sqrt{10z+1} & & \\ x^2+y^2+z^2+2xz+2yz+x^2y^2+1=0
& &
\end{matrix}\right.$$

Đề chọn đội tuyển tỉnh Hà Tĩnh

Bài 30. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}
x+\frac{3x-y}{x^2+y^2}=3 & & \\ y-\frac{x+3y}{x^2+y^2}=0
& &
\end{matrix}\right.$$

Đề chọn đội tuyển - Chuyên Vĩnh Phúc 10/11

Bài 31. Giải phương trình

$$\frac{\sqrt{x^2-x+2}}{1+\sqrt{-x^2+x+2}}-\frac{\sqrt{x^2+x}}{1+\sqrt{-x^2-x+4}}=x^2-1$$

Đề thi HSG Bình Phước - 10/11

---------------------

Còn Bài 28 nữa nhé mọi người

Một cách khác

Bài 26. Chứng minh rằng phương trình có đúng $1$ nghiệm

$$\left (\sqrt{x+1} \right)^{2011}-2(\sqrt{x+1})^3=x^3+3x^2+3x+2$$

Đề dự bị HSG Nghệ An - 10/11

$PT \Longleftrightarrow \left ( \sqrt{x+1} \right )^{2011}-2\left ( \sqrt{x+1} \right )^3-\left ( x+1 \right )^3-1=0 \\

\Longrightarrow t^{2011}-2t^3-t^6-1=0=f(t)$

Xét $f(t)$ với $ t \geq 0$ ta được $f(0)=-1$ và $\lim_{x\to +\infty}=+ \infty$ Kẻ bảng biến thiên, ta có $f(t)$ chắc chắn có ít nhất một nghiệm.

Tiếp tục xét $f(t)$ có $f'(t)=2011t^{2010}-6t^5-6t^2=6t^{2010}-6t^5+6t^{2010}-6t^2+1999t^{2010}>0$ (dễ chứng minh được $t>1$)

Chính thế $f(t)$ có không quá một nghiệm và đó là ĐPCM

------------------

Chậc chậc, bận quá không có time search đề

Tiếp tục nào !

Bài 57. Giải phương trình

$$-2x^3+10x^2-17x+8=2x^2\sqrt[3]{5x-x^3}$$

Đề thi HSG tỉnh Bình Định - 09/10

Bài 58. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}
9y^3(3x^3-1)=-125 & & \\ 45x^2y+75x=6y^2
& &
\end{matrix}\right.$$

Đề thi HSG tỉnh Đồng Tháp 09/10

Bài toán 1. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}
x^2y^2-8x+y^2=0 & & \\ 2x^2-4x+10+y^3=0
& &
\end{matrix}\right.$$

Đề thi HSG tỉnh vòng 1 khối 12 - Phú Yên 2010-2011

Bài toán 2. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}
x^2+1+y^2+xy=4y & & \\
x+y-2=\frac{y}{x^2+1}& &
\end{matrix}\right.$$

Đề thi HSG tỉnh vòng 1 khối 12 - Phú Thọ 2010-2011

Bài toán 3. Giải phương trình

$$2\sqrt[3]{2x-1}=27x^3-27x^2+13x-2$$

Đề thi HSG tỉnh vòng 1 khối 12 - Hải Dương 2010-2011

Mọi người cùng thảo luận, tìm ra cách giải tốt nhất nhoé :X:D

-----------------

P/S: Giải quyết hiện tượng "thèm" bài cho 1 số thành viên Chặt chém nào !!!!!!!

Làm vài bài nữa nhỉ

Bài 69. Giải hệ phương trình

$$\begin{cases}
x^3+x^2(2-y)+x-y(2x+1)=0 \\ 2x^2+xy-5=0
\end{cases}$$

Đề thi HSG Lạng Sơn Lớp 11 - 2011/2012

Bài 70. Giải phương trình

$$x+\frac{3x}{\sqrt{x^2+1}}=1$$

Đề thi HSG Long An Lớp 12 - 2011/2012

---------------------------

Còn bài 67,59 nữa nhé

Bài 4. Giải hệ PT :
$\left\{\begin{matrix} 2^{2x-y}-2^{x+y}=(x+y)\sqrt{x+y}-(2x-y)\sqrt{2x-y} & \\ \sqrt[3]{y}-2(x-1)^{3}+1=0& \end{matrix}\right.$

Nếu bạn ghi được nguồn bài thì tốt quá !

$(1) \Longrightarrow 2^{2x-y}+(2x-y)\sqrt{2x-y}=2^{x+y}+(x+y)\sqrt{x+y}$

Xét

$f(t)=2^{t^2}+t^3 \Longrightarrow f'(t)=2t.ln2.2^{t^2}+3t^2>0 \Longrightarrow 2x-y=x-y \Longrightarrow x=2y$

Thế vào $(2)$ được

$\sqrt[3]{y}-2(2y-1)^3+1=0 \Longrightarrow y=1$

P/S: Hình như sai đề rồi nhoé

P/S 2: Bà con chém nhiệt tình nhẩy =))=))

Tiếp tục bằng 2 bài phương trình vô tỉ nữa nhé.

 

Bài 3. Giải phương trình

 

$$\sqrt{4x^2+5x+1}-2\sqrt{x^2-x+1}=9x-3$$

 

Chọn đội tuyển QG Trà Vinh 2013

 

Bài 4. Giải phương trình 

 

$$4x^3-7x+\sqrt[3]{4x^3-3x+1}=\sqrt[3]{4x-2}-3$$

 

Chọn đội tuyển quốc gia Quảng Ngãi 2013

Rất gọn và đẹp

Bài 26. Chứng minh rằng phương trình có đúng $1$ nghiệm

$$\left (\sqrt{x+1} \right)^{2011}-2(\sqrt{x+1})^3=x^3+3x^2+3x+2$$

Đề dự bị HSG Nghệ An - 10/11

...........

Không nhất thiết phải tính ra kết quả cuối đâu. Đến đấy là được rồi. 

 

Bài 4 còn một cách nhân liên hợp nữa, cũng rất nhẹ nhàng

 

Nhận xét: 2 bài toán trên tuy là đề thi chọn đội tuyển QG nhưng hơi nhẹ thì phải Cả 2 bài đều giải được bằng nhân liên hợp thông thường.

 

Mai Duc Khai: Tiếp tục cho thêm đề bài đi ạ

Tiện đây gửi một số tài liệu để các bạn cùng tham khảo

1. Tài liệu về sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình vô tỉ (cũng áp dụng được trong hệ phương trình), theo mình thì tài liệu này viết hay, nhất là phần phân tích

2. Tài liệu về rèn luyện tư duy giải phương trình, HPT.

3. Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỉ, của anh Võ Thành Văn, đã được đăng trên trang chủ rồi, đây là bản pdf

4. Phương pháp hệ số bất định (ác ma của mình, đọc hoài không hiểu )

------------------------------------

Tài liệu thì rất nhiều nhưng việc chọn được mà đọc cũng rất mệt Trên đây là một số file mà mình cho là hay, mọi người cùng tham khảo nhé