Cho phương trình $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+ax+1=0$ có nghiệm. Tìm GTNN của biểu thức $P=a^{2}+b^{2}$

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

                         Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

8. Nhận xét $x=0$ không là nghiệm

Với $x\not =0$ thì 

$x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0$ 

$\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}+a(x+\frac{1}{x})+b=0$

$\Leftrightarrow t^2-2+at+b=0$ với $t=x+\frac{1}{x}$  $(|t|\geq 2)$

Ta có : $t^2-2+at+b=0$

$\Leftrightarrow (2-t^2)^2=(at+b)^2\leq (a^2+b^2)(1+t^2)$

$\Rightarrow a^2+b^2\geq \frac{(2-t^2)^2}{1+t^2}\geq \frac{4}{5}$

$\Leftrightarrow (t^2-4)(5t^2-4)\geq 0$

Nên $Min(a^2+b^2)=\frac{4}{5}$

 

bạn ơi mình có một bài na ná thế này : Nếu phương trình $x^{4}+ax^{3}+2x^{2}+bx+1 =0$ có nghiệm thì GTNN của $a^{2}+b^{2}$ là

$\widehat{ABN}=\widehat{BDN}$

BDCN nội tiếp $\Rightarrow \widehat{BDN}=\widehat{BCN}$.Do đó $\widehat{ABN}=\widehat{BCM}\Rightarrow \Delta MNB\sim \Delta MBC\Rightarrow \frac{MB}{MC}=\frac{MN}{MB}\Rightarrow MB^{2}=MN.MC$

b,MA=MB $\Rightarrow MA^{2}=MN.MC\Rightarrow \Delta MNA\sim \Delta MAC \Rightarrow \widehat{MAN}=\widehat{MCA}$

$\widehat{MCA}=\widehat{NDC}\Rightarrow \widehat{MAN}=\widehat{NDC} \Rightarrow \widehat{MAD}=\widehat{ADC}\Rightarrow AB // CD$

c,ABCD là hình thoi $\left\{\begin{matrix} ABCD là hbh & & \\ AB=BC& & \end{matrix}\right.$

ABCD là hbh $\Rightarrow \widehat{BAC}=\widehat{BDC}$
$\widehat{ABC}=\widehat{BDC}\Rightarrow \widehat{BAC}=\widehat{ABC}\Rightarrow \Delta ABC$ đều =>$\widehat{BAC}=60^{\circ}$

ABCD là hình thoi => $\widehat{BAC}=\widehat{BDC}=60^{\circ}\Rightarrow \widehat{HDC}=60^{\circ} \Rightarrow \widehat{HCO}=60^{\circ}\Rightarrow HC=OC.cos30^{\circ}=R.\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow DH=HC.tan 30=\frac{R}{2}\Rightarrow Sabcd=4Sdhc=\frac{R^{2}.\sqrt{3}}{2}$

Có lời giải đây  http://diendantoanho...-thi-a2b2geq-8/
http://diendantoanho...ax3-2x2-bx-1-0/
Đây là topic theo bộ đề nên bạn nhớ vào mục bất đẳng thức cực trị mà đăng
Mình nói bạn echi123 nha không phải spam đâu

mình thi vòng 18 có vào bài đấy mà nên đăng lên cho các bạn cùng xem thôi

Ai đó làm chi tiết câu 30 giúp @@ 

$S_{ICD}=\frac{1}{2}.ID.IC \leqslant \frac{(ID+IC)^{2}}{8}$

 

dbxr $\Leftrightarrow ID=IC \Leftrightarrow$ ABCD là hình thang cân

 

Kẻ IH vuông góc với DC.Dễ dàng chứng minh đk I,O,H thẳng hàng .Khi đó đặt IH=x $\Rightarrow DH=HC=x\Rightarrow OH=x-1\Rightarrow (x-1)^{2}+x^{2}=5$

 

Gỉai phương trình được x=2 thỏa mãn 

 

Khi đó $S_{ICD}=\frac{1}{2}IH.DC=4$

 

Vậy Max $S_{ICD}=4$

 

 

12. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$; $HB=6cm; HC=24cm$ . Vẽ đường tròn tâm $A$ bán kính $AH$ . Kẻ tiếp tuyến $CN$ với $N$ là tiếp điểm . $CN$ cắt $HA$ tại $K$ . Chu vi tam giác $ANK$ là.. 

 

 

 

P/s: Hai bài điền só và cóc vàng đã đăng, mình đăng nốt bài kim cương

 $AH^{2}=HC.HB =24.6=144 \Rightarrow AH=12 \Rightarrow AN=12$

 

Dễ tính đk $\widehat{HCK}\approx 53,13^{\circ}\Rightarrow \widehat{NAK}\approx 53,13^{\circ}\Rightarrow NK=AN.tan \widehat{NAK}=12.tan \widehat{NAK}=16 \Rightarrow AK =20 \Rightarrow C_{ANK}=16+12+20=48$ cm

Bài 40:

có phải bằng 6 không bạn

em được có 160 điẻm nhục chỉ vì chưa gõ kết quả vào đã bấm trả lời (((((((

có ai nhớ để k ạ

Thế mấy bác xem 190 thì được cái gì không

chắc vẫn đk khuyến khích chứ bác :/ e 160 ms thảm đây

các bác xem điểm đâu hay vậy

cho tam giác ABC không cân,có ba góc nhọn,nội tiếp (O).Các đường cao $AA_{1}$,$BB_{1}$,$CC_{1}$  cắt nhau tại H .Các đường thẳng $A_{1}C_{1}$ cắt AC tại D.Gọi X là gia điểm thứ hai của BD với (O).

 

a,chứng minh : DX.DB=$DC_{1}.DA_{1}$

b,Gọi M là trung điểm của  AC,Chứng minh DH vuông góc với BM.

có thống kê rồi các bác ơi........ e đứng thứ 542.. điểm năm nay cao thật

Bạn xem danh sách ở đâu vậy

cho bốn số nguyên dương a,b,c,d có tổng bằng 2013.Tìm giá trị lớn nhất của tích bốn số đó

p/s:cẩn thận bài siêu dị

Cho tam giác ABC cân tại A.Trên AB,AC lần lượt lấy các điểm D,E sao cho DE=BD+CE .Phân giác góc DBE cắt AC tại I.a,CMR:tam giác DIE vuông
b,chứng minh DI luôn đi qua một điểm cố định

chứng minh được không chị

.
giả sử có một đường thẳng d vuông góc với IC và cắt AC tại S.Ta phải chứng minh S đối xứng với D qua IC.
Thật vậy ta có tam giác ECD có IC vuông góc với DS và IC là phân giác nên tam giác đó cân =>S đối xứng với D qua IC=>S trùng với E=>E thuộc AC
Tương tự : F thuộc AB

cho tứ giác lồi ABCD .Gọi M và N tương ứng là trung điểm các đoạn thẩng AD và BC.Đường thẳng CM và DN cắt nhau tại E,đường thẳng BM và AN cắt nhau tại F.Gọi diện tích tứ giác MENF là S,diện tích tam giác DEC là S',diện tích tam giác FAB là S''.Chứng minh :
a,S=S'+S''
b,vì bộ gõ bị hỏng nên mình up tạm hình để thay thế mong mn thôg cảm

1,$\left\{\begin{matrix}x^{4}-y^{4}=\frac{3}{4y}-\frac{1}{2x} & \\ (x^{2}-y^{2})^{5}+5=0\end{matrix}\right.$

 

2,$\left\{\begin{matrix} (\sqrt{y}+1)^{2}+\frac{y^{2}}{x}=y^{2}+2.\sqrt{x-2} & \\x+\frac{x-1}{y}+\frac{y}{x}=y^{2}+y & \end{matrix}\right.$

 

3,$8x^{3}-12x+7x=(x+1).\sqrt[3]{3x^{2}-2}$

 

4,$x^{3}-5x^{2}+4x-5=(1-2x).\sqrt[3]{6x^{2}-2x+7}$

 

5,$\frac{1}{\sqrt{x+3}}+\frac{1}{\sqrt{3x+1}}=\frac{2}{1+\sqrt{x}}$

 

6,$\frac{1}{x+\sqrt{x^{2}-1}}=\frac{1}{4x}+\frac{3x}{2x^{2}+2}$

 

7,$\left\{\begin{matrix}\sqrt{2x-3}-\sqrt{y}=2x-6 & \\ x^{3}+y^{3}+7.(x+y)xy=8xy\sqrt{2.(x^{2}+y^{2})} & \end{matrix}\right.$

 

8,$\left\{\begin{matrix}4x^{2}=(\sqrt{x^{2}+1}+1)(x^{2}-y^{2}+3y-2) &\\(x^{2}+y^{2})^{2}+1=x^{2}+2y& \end{matrix}\right.$

đăng 1 lần 1-2 bài thôi cậu. Dễ thảo luận hơn

về sau mình sẽ chú ý

có ai làm được câu 1 chưa ạ ??

1.tam giac ABC nội tiếp (O) , trực tâm H , tâm nội I , M là TĐ BC. Lấy N đối xứng với I qua M . lấy P bất kì trên (BHC). . X,Y Z là hình chiếu của N xuống BC , PB , PC . CMR : tâm ngoài tam giác XYZ thuộc 1 đường tròn cố định khi P thay đổi trên (HBC).
2.Tam giác ABC nội tiếp (O) , tâm nội I , Lấy N đối xứng với B qua IC , M đối xứng với C qua IB . CMR MN vuông góc với OI và bán kinh ngoại tiếp (AMN )=OI

Cho nửa đườngtròn đường kính AB , P bất kì thuộc AB , lấy CD trên nửa đường tròn sao cho AC =AP , BD=BP , (PCD)cắt AB tại N ,AC cắt BD tại E , K là hình chiếu của N lên DC , CMR EK vuông góc với Ab

$\bigcap$

Bài 2 Chắc đề là $u_{n+1}=u_n+\frac{n}{u_n},\forall n \geq 1$
 
- Ta sẽ chứng minh $u_n \ge n$ với mọi $n \ge 2$
 
Với $n=2$ thì $u_2=u_1+\frac{1}{u_1} \geq 2$ (Đúng theo cosi)
Giả sử khẳng định đúng với n=k, với n=k+1 thì
$u_{k+1}=u_k+\frac{k}{u_k} \ge k+1$ Đúng do nó tương đương $(u_k-1)(u_k-k) \ge 0$
 
- Ta chứng minh dãy$ \begin{Bmatrix} \frac{u_n}{n} \end{Bmatrix}$ là dãy giảm
 
Là $\frac{u_n}{n} \ge \frac{u_{n+1}}{n+1}$
 
$\frac{u_n}{n} \ge \frac{u_{n+1}}{n+1} \Leftrightarrow \frac{u_n}{n} \ge \frac{u_n+\frac{n}{u_n}}{n+1}\\\Leftrightarrow u_n \ge n$ (đúng)
 
Suy ra dãy $ \begin{Bmatrix}\frac{u_n}{n}  \end{Bmatrix}$ giảm, bị chặn dưới nên có giới hạn.
 
Ta có $u_{n+1}=n+\frac{n}{u_n}$
 
$u_{n+1}=u_n+\frac{n}{u_n} \Rightarrow \sum_{k=2}^{n}u_{k+1}=\sum_{k=2}^{n}u_k+\sum_{k=2}^{n}\frac{k}{u_k}\\\Rightarrow u_{n+1}=u_2+\sum_{k=2}^{n}\frac{k}{u_k}\leq n-2 \Rightarrow \frac{u_{n+1}}{n+1}\le\frac{n-2+u_2}{n+1}$
 
$\Rightarrow 1 \le \frac{u_{n+1}}{n+1} \le\frac{u_2}{n+1}+\frac{n-2}{n+1}$
 
Lấy lim hai vế, suy ra giới hạn của dãy $ \begin{Bmatrix}\frac{u_n}{n}  \end{Bmatrix}$ =1

nêu đề như vậy thi sử dụng trung bình cesaro là ra lim = 1 mà :v