Chủ đề này có 1 trả lời

[ecchi123]

cho bốn số nguyên dương a,b,c,d có tổng bằng 2013.Tìm giá trị lớn nhất của tích bốn số đó

p/s:cẩn thận bài siêu dị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ecchi123: 19-05-2015 - 21:40

[ZzNightWalkerZz]

 Do 2013 lẻ nên $a + b, c + d$ 1 số lẻ, 1 số chẵn $=> (a + b - c - d)^2 \geq 1$

Giả sử $a + b$ lẻ => $a, b$ 1 số lẻ, 1 số chẵn $=>(a - b)^2 \geq 1$

Ta có : $4ab = (a + b)^2 - (a - b)^2 \leq (a + b)^2 - 1; 4cd = (c + d)^2 - (c - d)^2 \leq (c + d)^2$

$=> 16abcd \leq [(a + b)^2 -1](c + d)^2 = (a + b - 1)(c + d)(a + b + 1)(c + d)$

$= \frac{[(a + b + c + d)^2 - (a + b - c - d -1)^2][(a + b + c + d)^2 - (a + b - c - d + 1)^2]}{16} $

$=\frac{[2013^2 - (a + b - c - d)^2 -1 + 2(a + b - c - d)][2013^2 - (a + b - c - d)^2 -1 - 2(a + b - c - d)]}{16}$

$=\frac{[2013^2 - (a + b - c - d)^2 -1]^2 - 4(a + b - c - d)^2}{16} \leq \frac{(2013^2 - 1 -1)^2 -4}{16}$

Dấu "=" : $(a + b - c - d)^2 = 1; a - b = 1, c - d = 0, a + b lẻ => c = d = b =503, a = 504$

Còn một trường hợp c + d lẻ làm tương tự