$\boxed{1}$Cho hình vuông $ABCD$, $I$ là một điểm bất kì trên cạnh $AB$ ($I$ khác $A$ và $B$). Tia $DI$ cắt $CB$ tại $E$. Đường thẳng $CI$ cắt $AE$ tại $M$. Chứng minh rằng $DE$ vuông góc với $BM$ 

$\boxed{2}$Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=a,AD=b$ $(a>b>0)$. Tia phân giác của $\widehat{BAD}$ cắt $BD,CD$ lần lượt tại $E,K$. Trên cạnh $BD$ lấy điểm $H$ sao cho $AE$ là phân giác của $\widehat{CAH}$. Gọi $F$ là giao điểm của $HK$ và $AB$. Chứng minh rằng: $C,E,F$ thẳng hàng.

$\boxed{3}$Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB<AC$), các đường cao $BD$ và $CE$. $DE$ cắt $BC$ tại $K$. Các tia phân giác của các góc $BAC,DKB$ cắt nhau tại $S$. $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BD,CE$. Chứng minh rằng $M,S,N$ thẳng hàng.

$\boxed{4}$Trên cạnh $AC,BC$ của tam giác ABC theo thứ tự lấy $M,K$, trên đoạn thẳng $MK$ lấy điểm $P$ sao cho $\frac{AM}{MC}=\frac{CK}{KB}=\frac{MP}{PK}$. Tính diện tích tam giác ABC, nếu diện tích tam giác AMP và BKP bằng S₁, S₂.

Anh cho Topic thêm mấy bài để em củng cố kiến thức chuyên đề này được không anh ?

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}(xy)^3+3xy^3+1=5y^2 & \\ 3xy^3=2y^2+1 & \end{matrix}\right.$

Giải.

Xét y = 0 thì thấy vô lí

Xét $y\neq 0$ thì ta viết hệ dưới dạng: $\left\{\begin{matrix}x^3+3x+\frac{1}{y^3}=\frac{5}{y} & \\ 6x=\frac{4}{y}+\frac{2}{y^3} & \end{matrix}\right.$

Cộng theo vế hai phương trình trên, ta được: $x^3+9x=\frac{9}{y}+\frac{1}{y^3}$

$\Leftrightarrow (x-\frac{1}{y})(x^2+\frac{x}{y}+\frac{1}{y^2}+9)=0$

Dễ có $x^2+\frac{x}{y}+\frac{1}{y^2}+9 > 0$ nên $x=\frac{1}{y}$

Thay vào phương trình (2) tìm được $y = 1$ hoặc $y = -1$

Vậy nghiệm của hệ là $(x,y) = (1,1)$ và $(x,y) = (-1,-1)$

Anh ơi anh có thể chỉ viết đề được không hoặc đáp án để ở bài viết sau hoặc ẩn đi được ko ?

P/s : Em muốn thức sức vs các bài này 

Bạn thử nhé!

Giải phương trình: $\frac{1}{\sqrt{3x^2+x^3}}+2\sqrt{\frac{x}{3x+1}}=\frac{3}{2}$

Bạn thử nhé!

Giải phương trình: $\frac{1}{\sqrt{3x^2+x^3}}+2\sqrt{\frac{x}{3x+1}}=\frac{3}{2}$

Lời giải.

Dễ thấy điều kiện xác định của phương trình là $-3<x<\frac{-1}{3}$ hoặc $x>0$

+) Nếu $-3<x<\frac{-1}{3}$ thì $\frac{1}{\sqrt{3x^2+x^3}}=\frac{1}{\sqrt{4+(x-1)(x+2)^2}}>\frac{1}{2}$

và $2\sqrt{\frac{x}{3x+1}}=\sqrt{\frac{4x}{3x+1}}=\sqrt{\frac{5}{4}+\frac{x-5}{4(3x+1)}}>\sqrt{\frac{5}{4}}>1$

Suy ra: $\frac{1}{\sqrt{3x^2+x^3}}+2\sqrt{\frac{x}{3x+1}}>\frac{3}{2}$ (vô lí)

Vậy $x>0$

Xét $0<x\leqslant 1$ thì $3x^2+x^3\leqslant 3x^2+x$ nên $\frac{1}{\sqrt{3x^2+x^3}}+2\sqrt{\frac{x}{3x+1}}\geqslant \frac{2x+1}{\sqrt{x(3x+1)}}$

Mà ta dễ có: $\frac{2x+1}{\sqrt{x(3x+1)}}\geqslant \frac{3}{2}$ do biến đổi tương đương nên dấu bằng xảy ra khi $x=1$

Nếu $x>1$ thì ngược lại điều trên ta có điều vô lí

Vậy $x=1$

Góp cho topic một bài hệ phương trình thú vị: $\left\{\begin{matrix}x^3-y^3=35 & \\ 4x+y^3-2y^2=-4 & \end{matrix}\right.$

Lời giải.

Phương trình (2) tương đương với: $(y+2)(y^2-4y+8)=12-4x$

* Xét $y>-2$ thì $12-4x>0$ nên $x<3$

Và $x^3=y^3+35>-8+35=27\Rightarrow x>3$ (mâu thuẫn)

Tương tự với $y <-2$ thì cũng suy ra vô lí

Vậy $y = -2$ nên $x = 3$

Giải phương trình: $x^3-15x^2+78x-141=5\sqrt[3]{2x-9}$

$PT\Leftrightarrow (x-5)^3=5(5+\sqrt[3]{2x-9})-3x-9$

Đặt: $y=5+\sqrt[3]{2x-9}$ thì ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}(y-5)^3=2x-9 & \\ (x-5)^3=5y-3x-9 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (x-5)^3-(y-5)^3+5(x-y)=0\Rightarrow x=y$

$ĐK:x\geq \frac{-3}{2}$

$PT\Leftrightarrow (x+2)^2+2(x+2)=2\sqrt{2x+3}+(2x+3)$

Đặt $x+2=a,\sqrt{2x+3}=b$ thì phương trình được đưa về dạng: $a^2+2a=b^2+2b$

$\Leftrightarrow (a-b)(a+b+2)=0$

Dễ có: a + b + 2 > 0 nên a = b hay $x+2=\sqrt{2x+3}\Leftrightarrow (x+1)^2=0\Leftrightarrow x=-1$

Vậy x = -1

Bài 171: Tìm các số nguyên dương $n>1$ thỏa mãn với mọi ước nguyên dương $d>1$ của $n$ thì $d^2-d+1$ và $d^2+d+1$ là số nguyên tố

~~~~~~~~~~~~~~

Lời giải.

Đầu tiên ta giả sử $n$ có ước nguyên tố $p>3$ thì $p\equiv 1,2(\text{mod 3})$

Nếu $p\equiv 1(\text{mod 3})\Rightarrow p^2+p+1\equiv 0(\text{mod 3})$

Nếu $p\equiv 2(\text{mod 3})\Rightarrow p^2-p+1\equiv 0(\text{mod 3})$

Mà $p^2+p+1>p^2-p+1>3$ nên ta khẳng định $n$ chỉ có ước nguyên tố là $2$ và $3$. Đặt $n=2^x.3^y$

Nếu $x\geqslant 2$ thì $n$ có ước là $4$, loại do $d^2+d+1=21$ là hợp số. Nếu $y\geqslant 2$ thì $n$ có ước là $9$, cũng loại do $d^2+d+1=91$ là hợp số

Vậy $x,y$ chỉ có thể bằng $0,1$ và đương nhiên $x,y$ không thể cùng bằng $0$

Vậy có 3 số thỏa mãn là $2,3,6$

Bài 168: Tìm các số nguyên dương $x,y,z$ sao cho $x^2(y^2z-x^2-5)=y(x^4+z)$

~~~~~~~~~~~~~~~

Lời giải.

Từ giả thiết: $yz(x^2y-1)=x^2(x^2y+x^2+5)\Rightarrow x^2y+x^2+5\vdots x^2y-1\Rightarrow x^2+6\vdots x^2y-1\Rightarrow x^2+6+6(x^2y-1)\vdots x^2y-1\Rightarrow x^2+6x^2y\vdots x^2y-1\Rightarrow 6y+1\vdots x^2y-1$ vì dễ có: $(x^2,x^2y-1)=1$

Khi $x^2\geqslant 9\Rightarrow x^2y-1\geqslant 9y-1>6y+1$ nên chỉ còn trường hợp $x=1,x=2$.

Từ đây dễ kết luận $(x,y,z)=(1,2,4)$

Bài 159: Tìm các số nguyên không âm $a,b$ phân biệt thỏa mãn $a^4-b^4=p(a^3-b^3)$ với $p$ là một số nguyên tố

Lời giải.

Đặt $(a,b)=d$ thì tồn tại các số nguyên không âm $x,y$ sao cho $a=dx,b=dy$ và $(x,y)=1$

Lúc đó phương trình trở thành: $d(x+y)(x^2+y^2)=p(x^2+xy+y^2)$ do dễ thấy $x$ khác $y$

Dễ thấy khi $(x,y)=1$ thì $(x^2+xy+y^2,x+y)=(x^2+xy+y^2,x^2+y^2)=1\Rightarrow d\vdots x^2+xy+y^2$

Đặt $d=k(x^2+xy+y^2)\Rightarrow k(x+y)(x^2+y^2)=p$

Dễ thấy nếu $k=1$ thì không thỏa mãn nên một trong hai số $x+y$ hoặc $x^2+y^2$ phải bằng 1. Chỉ có trường hợp $x=1,y=0$ hoặc $x=0,y=1$

Vậy $a=p,b=0$ hoặc $a=0,b=p$

Bài 172: Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương lẻ và $a-2$ không là số chính phương thỏa mãn $a^2+a+3=3(b^2+b+3)(c^2+c+3)$. Chứng minh rằng $b^2+b+3$ và $c^2+c+3$ không đồng thời là số nguyên tố

~~~~~~~~~~~~~~

Lời giải.

Giả sử cả hai số $b^2+b+3$ và $c^2+c+3$ cùng là số nguyên tố và không mất tính tổng quát, ta có thể coi $b\geqslant c$

+) Xét $b\in\left \{ 2,3,5,7 \right \}$ thì ta thấy không thỏa mãn

+) Xét $b\geqslant 9$ thì $3(b^2+b+3)^2<4b^4+2b^2+3$

Ta có: $a^2+a+3=3(b^2+b+3)(c^2+c+3)>4(b^2+b+3)>4b^2+2b+3\Rightarrow a>2b$

và $a^2+a+3=3(b^2+b+3)(c^2+c+3)<3(b^2+b+3)^2<4b^4+2b^2+3\Rightarrow a<2b^2$

Như vậy ta sẽ được: $2c\leqslant 2b<a<2b^2$

Đẳng thức ban đầu tương đương: $(a-b)(a+b+1)=(b^2+b+3)(3c^2+3c+8)$

Vì $b^2+b+3$ là số nguyên tố nên ta xét 2 trường hợp

* Nếu $b^2+b+3|a-b\Rightarrow b^2+b+3\leqslant a-b<2b^2-b<2b^2+2b+6\Rightarrow a-b=b^2+b+3\Rightarrow a-2=(b+1)^2$ (Vô lí)

* Nếu $b^2+b+3|a+b+1\Rightarrow b^2+b+3\leqslant a+b+1<2b^2+b+1<2b^2+2b+6\Rightarrow a+b+1=b^2+b+3\Rightarrow a-2=b^2$ (Vô lí)

Vậy giả sử là sai

Bài 176: Tìm các số nguyên dương $a,b,c$ sao cho $a^2+2b,b^2+3c,c^2+4a$ là các số chính phương

~~~~~~~~~~~~~~~

Lời giải. 

Vì $a^2+2b>a^2$ mà $a^2+2b$ là số chính phương nên $a^2+2b\geqslant (a+1)^2\Rightarrow 2b\geqslant 2a+1>2a\Rightarrow b>a$

Tương tự ta cũng có: $c^2+4a\geqslant (c+1)^2$ nhưng ta thấy trường hợp $c^2+4a=(c+1)^2$ vô lí do $4a$ chẵn còn $2b+1$ lẻ nên $c^2+4a\geqslant (c+2)^2\Rightarrow 4a\geqslant 4c+4>4c\Rightarrow a>c$

Như vậy thì $b>a>c$

Lúc này ta có được khoảng chặn sau: $b^2<b^2+3c<b^2+3b<(b+2)^2\Rightarrow b^2+3c=(b+1)^2\Rightarrow 3c=2b+1$

$\Rightarrow a^2<a^2+2b=a^2+3c-1<a^2+3a-1<(a+2)^2\Rightarrow a^2+2b=(a+1)^2\Rightarrow 2b=2a+1\Rightarrow a=\frac{2b-1}{2}$

Đến đây: $c^2+4a=\frac{(2b+1)^2}{9}+2(2b-1)$ là số chính phương. Chỉ cần chặn là xong!

Bài 183: Tìm các số nguyên tố $a,b,c,d,e$ thỏa mãn phương trình: $a+\sqrt{b^2+c}=\sqrt{d^2+e}$

~~~~~~~~~~~~~~

Lời giải.

Ta biết rằng nếu $\sqrt{m}-\sqrt{n}$ là số nguyên thì $m=n$ hoặc $m,n$ đều là các số chính phương

Áp dụng bổ đề trên và chú ý $p$ không thể bằng $0$ suy ra $b^2+c$ và $d^2+e$ là các số chính phương

Đặt $b^2+c=t^2$ nên $c=(t+b)(t-b)$ mà $t-b<t+b$ nên $t-b=1$ do đó $c=t+b=b+1+b=2b+1$

Tương tự: $e=2d+1$ do vậy ta được phương trình: $a+b=d$

$a,b$ không thể cùng chẵn hoặc cùng lẻ nên ta xét

+) $a=2$ thì tiếp tục xét các trường hợp nhỏ hơn

     * $b\geqslant 5$ thì $b$ chỉ có dạng $6k+5$ nên $d=6k+7$ do đó $e=12k+15$ (vô lí)

     * $b=2,b=3$ thì tìm được $(a,b,c,d,e)=(2,3,7,5,11)$

+) $b=2$ thì xét tương tự

Bài 182: Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn $(x^2+y)(y^2+x)=(x+1)(y+1)$

~~~~~~~~~~~~

Lời giải.

* Xét $x+1=y+1=0$ thì $x=y=-1$ (Thỏa mãn)

* Nếu có ít nhất một trong hai số $x+1,y+1$ khác $0$ thì ta đặt $(x+1,y+1)=d$ lúc này thì tồn tại $a,b$ sao cho $x+1=da, y+1=db$ và $(a,b)=1$

$\Rightarrow x^2+y=(da-1)^2+db-1=d\left [ da^2-2a+b\right ]=d\left [ a(x-1)+b \right ]$

Tương tự: $y^2+x=d\left [ b(y-1)+a \right ]$

Phương trình lúc này trở thành: $\left [ a(x-1)+b \right ]\left [ b(y-1)+a \right ]=ab\Leftrightarrow a^2(x-1)+ab(x-1)(y-1)+b^2(y-1)=0$

+) Nếu $x=1$ thì tìm được  $y=\pm 1$

+) Nếu $x\neq 1$ thì coi đây là phương trình bậc hai theo ẩn $a$

$\Rightarrow \Delta _a=b^2(x-1)^2(y-1)^2-4b^2(x-1)(y-1)$

Hiển nhiên $\Delta _a$ phải là số chính phương hay $(x-1)^2(y-1)^2-4(x-1)(y-1)$ là số chính phương

Ta đặt: $(x-1)^2(y-1)^2-4(x-1)(y-1)=k^2\Leftrightarrow \left [ (x-1)(y-1)-2 \right ]^2=k^2+4\Leftrightarrow (xy-x-y-1-k)(xy-x-y-1+k)=4$

Đến đây thì mọi chuyện đã đơn giản

Bài 177: Cho $p,q$ là các số nguyên tố thỏa mãn $p^3-p^2-q^2$ là số chính phương. Chứng minh rằng $p=q$

~~~~~~~~~~~~~~~

Lời giải.

Ta xét $p,q$ đều lẻ lúc đó thì $p^3-p^2-q^2=a^2$ lẻ nên $p^3-p^2=a^2+q^2\equiv 2(\text{mod 4})\Rightarrow p\equiv 3(\text{mod 4})$

Mặt khác vì $p|a^2+q^2$ và $p$ có dạng $4k+3$ do chứng minh trên nên ta suy ra $p|q^2\Rightarrow p|q\Rightarrow p=q$

Xét $p=q=2$ thì thỏa mãn

Xét $p=2$ thì $4-q^2\leqslant 4$ nên $q=2$ vì nếu $4-q^2=4$ thì $q=0$ (vô lí)

Xét $q=2$ thì $p^3-p^2=4+k^2\equiv 0,1(\text{mod 4})$ nên $p$ chẵn

Tóm lại ta luôn đó $p=q$

Bài 157: Cho $x,y$ là các số nguyên dương thỏa mãn $x^2+y^2-x$ chia hết cho $xy$. Chứng minh $x$ là số chính phương

~~~~~~~~~~~~~~~

Lời giải.

Đặt $(x,y)=d$ thì tồn tại $a,b$ nguyên dương sao cho $\left\{\begin{matrix}(a,b)=1 & \\ x=da,y=db & \end{matrix}\right.$

Như vậy, ta được: $da^2+db^2-a\vdots dab\Rightarrow \left\{\begin{matrix}db^2\vdots a & \\ a\vdots d & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}d\vdots a & \\ a\vdots d & \end{matrix}\right.\Rightarrow a=d\Rightarrow x=da=d^2$ là số chính phương

Bài 156: Tìm $x,y$ nguyên dương và nguyên tố cùng nhau thỏa mãn $2(x^3-x)=y^3-y$

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Lời giải.

Phương trình đã cho tương đương: $x^3+x^3-y^3-3.x.x.(-y)-3x^2y-(2x-y)=0\Leftrightarrow (2x-y)(x^2+y^2+2xy-1)=3x^2y$

$\Rightarrow 3x^2y\vdots (2x-y)\Rightarrow 3x^2(2x-y)-6x^3\vdots (2x-y)\Rightarrow 6x^3\vdots 2x-y$

Mà dễ có: $(x^3,2x-y)=(x,y)=1$ nên $6\vdots 2x-y$

+) Nếu $2x-y=1\Rightarrow 2(x^3-x)=(2x-1)^3-(2x-1)\Leftrightarrow 6x(x-1)^2=0\Rightarrow x=1\Rightarrow y=1$

+) Nếu $2x-y=2\Rightarrow 2(x^3-x)=(2x-2)^3-(2x-2)\Rightarrow 6(x-1)(x^2-3x+1)=0\Rightarrow x=1\Rightarrow y=0$ (loại)

+) Nếu $2x-y=3\Rightarrow 2(x^3-x)=(2x-3)^3-(2x-3)\Rightarrow 6(x-4)(x-1)^2=0\Rightarrow x=4\Rightarrow y=5$

+) Nếu $2x-y=6\Rightarrow 2(x^3-x)=(2x-6)^3-(2x-6)$ (vô nghiệm nguyên)

Vậy có 2 cặp nghiệm nguyên dương thỏa mãn là $(x,y)\in\left \{ (1,1);(4,5) \right \}$

$\boxed{135}$ Tìm các số nguyên dương $(p,q)$ thỏa mãn $p$ là số nguyên tố và $p^5+p^3+2=q^2-q$

P.s: Một bài hơi giống 134

Ta có: $p^3(p^2+1)=(q-2)(q+1)$

$\blacksquare $ Xét $p=2$ thì $(q-2)(q+1)=40\Rightarrow q=7$

$\blacksquare $ Xét $p=3$ thì $(q-2)(q+1)=270\Rightarrow q=17$

$\blacksquare $ Xét $p>3$ thì $(q+1)-(q-2)=3<p$ do đó $p+1$ và $p-2$ không thể cùng chia hết cho $p$

Nên chỉ có $q+1$ hoặc $q-2$ chia hết cho $p^3$ mà $p^3>p^2+1$ nên $\left\{\begin{matrix}p^3=q+1 & \\ p^2+1=q-2 & \end{matrix}\right.\Rightarrow p=2;q=7$

Vậy có 2 cặp số $(p;q)$ thỏa mãn là $(2;7)$ và $(3;17)$

Em xin góp một bài!

$\boxed{124}$ Giải phương trình nghiệm nguyên dương: $a^b+b^a=a!+b!$

 Mình xin đóng góp 2 bài: 

$\boxed{\textsf{Bài 122}}$ Cho số nguyên dương $n$ là 1 lập phương đúng. Chứng minh rằng: $n^2 + 3n +3$  không là lập phương đúng. ( Lập phương đúng là số có dạng $a^3$ với $a$ nguyên)

Em xin thử, không biết có đúng không   

Lời giải:

n là một lập phương đúng nên ta đặt $n=a^3$ $(a\geqslant 1;a\in N)$

Khi đó $n^2+3n+3=a^6+3a^3+3$

Ta có: $(a^6+3a^3+3)-(a^2)^3=3a^3+3>0\Rightarrow a^6+3a^3+3>(a^2)^3$

           $(a^2+1)^3-(a^6+3a^3+3)=3a^3(a-1)+(3a^2-2)>0\Rightarrow (a^2+1)^3>a^6+3a^3+3$

Vậy $(a^2)^3<a^6+3a^3+3<(a^2+1)^3$ nên không thể là lập phương đúng (đpcm)

$\boxed{119}$Giải phương trình nghiệm nguyên: $(x-y)^{30}+5(y-z)^4+(z-x)=2021$

P/s: Bài này tương đối dễ vì thực chất nó xuất hiện trong đề thi học sinh giỏi toán 8 của một huyện ờ Hà Tĩnh

$\boxed{110}$Cho n là số nguyên dương chia hết cho 4 và k là số tự nhiên lẻ. Chứng minh rằng: $\frac{1^k+2^k+3^k+...+n^k}{2}$ là số tự nhiên chia hết cho $n+1$

$\boxed{111}$Tìm các số tự nhiên n sao cho dãy số $n+9;2n+9;3n+9;4n+9;...$ không chứa số chính phương nào

$\boxed{101}$ Tìm các số nguyên tố a, b, c sao cho $a^{c-b}+c,c^a+b$ là các số nguyên tố

Mình sẽ sol luôn:

Các số $a,b,c$ nguyên tố nên $a^{c-b}+c\geqslant 3$ và $c^a+b\geqslant 6$, điều này chứng tỏ $a^{c-b}+c,c^a+b$ là các số lẻ

Suy ra trong hai số $c^a$ và $b$ có một số lẻ, một số chẵn

* Nếu $b$ lẻ thì $c^a$ chẵn suy ra c chẵn ($c=2$) nên $a^{c-b}$ lẻ, mà dễ có $c\geqslant b$ nên $b = 2$ (loại vì $b$ lẻ)

* Nếu $b$ chẵn thì $b=2$ và $c^a$ lẻ hay $c$ lẻ suy ra a chẵn nên a = 2. Ta cần tìm số $c$ sao cho $2^{c-2}+c,c^2+2$ là các số nguyên tố

Nếu c > 3 thì $c^2$ chia 3 dư 1 nên $c^2+2$ chia hết cho 3 (loại). Vậy c = 3, thử vào $2^{c-2}+c$ ta thấy thỏa mãn

Vậy ta có bộ ba số nguyên tố (a,b,c) = (2,2,3)

Tiếp tục: $\boxed{103}$ Tìm các số nguyên tố $p, q$ sao cho $p + q$ và $p + 4q$ là các số chính phương.

$\boxed{109}$Cho $a,b,c$ là các số hữu tỉ dương thỏa mãn $a+\frac{1}{bc},b+\frac{1}{ca},c+\frac{1}{ab}$ là những số nguyên. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $M=a+b^2+c^3$

Bài 121:tìm các cặp số nguyên tố (p,q) sao cho $p^2-q^2-1$ là số chính phương

Đặt $p^2-q^2-1=k^2$ ($k$ là số nguyên)

$\Rightarrow (p+q)(p-q)=k^2+1$

Nếu $p$ và $q$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ thì $(p+q)(p-q)\vdots 4$ suy ra $k^2$ chia 4 dư 3 (vô lí vì số chính phương chia 4 dư 0 hoặc 1)

Vậy trong hai số $p,q$ có 1 số chẵn, 1 số lẻ mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 và $p>q$ nên q = 2

Khi đó $(p+k)(p-k)=5=1.5=5.1=(-1).(-5)=(-5).(-1)$

Xét các trường hợp tìm được $p=3$ 

Vậy cặp số nguyên tố duy nhất thỏa mãn là $(p,q)=(3,2)$