Cho $(O;R)$ và dây $AB$ cố định nhỏ hơn $2R$. $C$ chính giữa cung $AB$ nhỏ. $M$ thuộc cung $AB$ lớn. $CM\cap AB=\left \{ N \right \}$.

$a)$ Chứng minh $CM.CN$ không phụ thuộc vào vị trí của $M$.

$b)$ Xác định vị trí của $M$ thuộc cung $AB$ lớn để $AM-BM=\frac{1}{3}AB$

Cho $(O;R)$ và dây $BC$ cố định $(BC< 2R)$. $A$ di chuyển thuộc cung $BC$ lớn $(A\neq B;C)$. $M$ là trung điểm của $AC$. $HM\perp AB$. Xác định vị trí của $A$ thuộc cung $BC$ lớn để $CH$ đạt $GTLN$

 

Ngày thi thứ nhất.

Câu 2. Cho $a, b, c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng $$3(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq(a+b+c)^2.$$
 

$\star $ Ta có: $\sum \sqrt{ab}\leq \sqrt{3\left ( \sum ab \right )}$ 

Ta cần chứng minh $3\sum a^{2}\geq \left ( \sum a \right )\left ( \sqrt{3\left ( \sum ab \right )} \right )+\sum \left ( a-b \right )^{2}\Leftrightarrow \sum a^{2}\geq \left ( \sum a \right )\left ( \sqrt{3\left ( \sum ab \right )} \right )-2\sum ab\Leftrightarrow \left ( a+b+c \right )^{2}\geq (a+b+c)\left ( \sqrt{3(a+b+c)} \right )\Leftrightarrow \left ( a+b+c \right )^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$ (luôn đúng)

$\star $ $\left ( \sum a \right )\left ( \sum \sqrt{ab} \right )+\sum \left ( a-b \right )^{2}\geq \left ( \sum a \right )^{2}\Leftrightarrow \left ( \sum a \right )\left ( \sum \sqrt{ab} \right )+\sum a^{2}\geq 4\sum ab$ $(1)$

Đặt $\left ( \sum x^{2} \right )\left ( \sum xy \right )+\sum x^{4}\geq 4\sum x^{2}y^{2}$ 

Đặt $\left\{\begin{matrix} p=x+y+z & \\ q=xy+yz+zx & \\ r=xyz & \end{matrix}\right.$

$(1)$ trở thành $\left ( p^{2}-2q \right )q+p^{4}-4p^{2}q+2q^{2}+4pr\geq 4(q^{2}-2pr)\Leftrightarrow p^{4}-3p^{2}q+12pr\geq 4q^{2}$

Mặt khác ta có bđt quen thuộc $4q^{2}\leq p^{2}q+3pr$ $(2)$

Theo bđt Schur ta có: $a^{r}(a-b)(a-c)+b^{r}(b-c)(b-a)+c^{r}(c-a)(c-b)\geq 0$

Cho $r=1$ bđt Schur trở thành: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\Leftrightarrow p^{3}-4pq+9r\geq 0\Leftrightarrow p^{4}-4p^{2}q+9pr\geq 0$ $(3)$

Cộng theo vế $(2)$ và $(3)$ suy ra đpcm

Bài 2
Tìm x,y là số nguyên sao cho
$$1+x+x^{2}+x^{3}=y^{3}$$

+) Với $x>0$ hoặc $x<-1$ ta có: $x^{3}< x^{3}+x^{2}+x+1< (x+1)^{3}\Rightarrow x^{3}< y^{3}< (x+1)^{3}$ (không thỏa mãn)
+) Nên $-1\leq x\leq 0$. Mà $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x\in \left \{ -1;0 \right \}$
$\bullet$ Với $x=-1$ ta có: $y=0$
$\bullet$ Với $x=0$ ta có: $y=1$
Vậy phương trình có $2$ nghiệm nguyên $(x;y)$ là $(-1;0)$ và $(0;1)$

TÌm tất cả số nguyên dương $n$ để $A=2^{9}+2^{13}+2^{n}$ là số chính phương

TÌm số tự nhiên $n$ để $A=2^{2012}+2^{2014}-2^{n}$ có giá trị là một số chính phương

Trong mặt phẳng cho $8045$ điểm mà diện tích của mọi tam giác với các đỉnh là các điểm đã cho không lớn hơn $1$. Chứng minh rằng trong số các điểm đã cho có thể tìm được $2012$ điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của $1$ tam giác có diện tích không lớn hơn $1$

Chứng minh : $n^{4} - 14n^{3} + 71n^{2} - 154n + 120$ $\vdots$ $24$ với $n \in \mathbb{N}$.

Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta phân tích đa thức đã cho thành
$(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)$
Vì $(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)$ là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho 4; ít nhất 1 số chia hết cho 2 nên tích chia hết cho 8; ít nhất 1 số chia hết cho 3 nên tích chia hết cho 3.
Mà $(3;8)=1$ nên $(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)\vdots 24$ (đpcm)

Chứng minh rằng :
$11^{10} - 1$ $\vdots$ $100$.

Ta có: $11^{10}-1=(11^{5}-1)(11^{5}+1)=10.(11^{4}+11^{3}+11^{2}+11+1).12.(11^{4}-11^{3}+11^{2}-11+1)$
Vì $11^{4}+11^{3}+11^{2}+11+1$ tận cùng là 5 nên chia hết cho 5
$\Rightarrow 12(11^{4}+11^{3}+11^{2}+11+1)\vdots 10\Rightarrow dpcm$

Giải pt:$\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[3]{7-x}=3$

Đặt $\sqrt[3]{x+2}=a;\sqrt[3]{7-x}=b$, ta có hệ $\left\{\begin{matrix} a+b=3 & \\ a^{3}+b^{3}=9 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3 & \\ ab=2 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} a=1 & \\ b=2 & \end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix} a=2 & \\ b=1 & \end{matrix}\right. & \end{bmatrix}$

Từ đây tìm được $\left\{\begin{matrix} x=-1 & \\ x=6 & \end{matrix}\right.$

Giải phương trình :
$\sqrt[n]{\left ( x + 1 \right )^{2}} - 3\sqrt[n]{\left ( x - 1 \right )^{2}} = -2\sqrt[n]{x^{2} - 1}$ (với $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$)

Rõ ràng $x=1$ không phải là nghiệm của phương trình
Chia $2$ vế phương trình cho $\sqrt[n]{(x-1)^{2}}$ ta được
$\sqrt[n]{\left ( \frac{x+1}{x-1} \right )^{2}}-3=-2.\sqrt[n]{\frac{x+1}{x-1}}$
Đặt $\sqrt[n]{\frac{x+1}{x-1}}=y$
Ta có: $y^{2}-3=-2y\Leftrightarrow (y-1)(y+3)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=1\\ y=-3 \end{bmatrix}$
$+)\sqrt[n]{\frac{x+1}{x-1}}=1\Leftrightarrow \frac{x+1}{x-1}=1\Leftrightarrow 0x=-2$ (vô nghiệm)
$+)\sqrt[n]{\frac{x+1}{x-1}}=-3$
$\bullet$ Với $n$ lẻ ta có: $\frac{x+1}{x-1}=(-3)^{n}\Leftrightarrow x=\frac{3^{n}-1}{3^{n}+1}$
$\bullet$ Với $n$ lẻ thì vô nghiệm
Vậy nếu $n$ lẻ thì $x=\frac{3^{n}-1}{3^{n}+1}$
nếu $n$ chẵn vô nghiệm.

Bài 18. Tìm $x,y \in \mathbb{N}^*$ sao cho $6x+5y+18=2xy$.

Ta có phương trình đã cho $\Leftrightarrow 2x(3-y)-5(3-y)=-23\Leftrightarrow (2x-5)(3-y)=-23$
Vì $x;y\in \mathbb{N}^{*}$ nên $(2x-5)(3-y)$ là tích 2 số nguyên
Mà $-23$ viết thành tích của 2 số nguyên có các trường hợp là $-23=1.(-23)=-1.23=23.(-1)=-23.1$
Tới đây thử các trường hợp ta tìm được phương trình có 2 nghiệm tự nhiên $(x;y)$ là $(3;26);(14;4)$

Nhận xét. Lời giải của bạn đang còn thiếu nghiệm. Bạn kiểm lại coi sao nhé!

Bài 72:

Tìm $x,y,z$ nguyên để $xyz=x^{2}-2z+2$

Bài 26. Tìm nghiệm nguyên dương phương trình $$5(x+y+z+t)+15=2xyzt$$

Không mất tính tổng quát, giả sử $x\geq y\geq z\geq t> 0$
phương trình đã cho $\Leftrightarrow 2=\frac{5}{yzt}+\frac{5}{xzt}+\frac{5}{xyt}+\frac{5}{xyz}+\frac{15}{xyzt}\leq \frac{35}{t^{3}}$
$\Rightarrow t^{3}\leq \frac{35}{2}\Rightarrow t\leq 2\Rightarrow t\in \left \{ 1;2 \right \}$
+) Với $t=1$ ta có $2=\frac{5}{yz}+\frac{5}{xz}+\frac{5}{xy}+\frac{5}{xyz}+\frac{15}{xyz}\leq \frac{35}{z^{2}}$
$\Rightarrow z^{2}\leq \frac{35}{2}\Rightarrow z\in \left \{ 1;2;3;4 \right \}$
Với $z=1$ ta có $5(x+y)+25=2xy$$\Leftrightarrow (2x-5)(2y-5)=75\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=5 & \\ y=10& \end{matrix}\right.$
hoặc $\left\{\begin{matrix} x=4 & \\ y=15 & \end{matrix}\right.$
Ta có nghiệm là $(5;10;1;1);(4;15;1;1)$ và tất cả các hoán vị của chúng
Với $z=2;z=3;z=4$ phương trình vô nghiệm nguyên dương
+) Với $t=2$ ta có $5(x+y+z)+25=4xyz$
$\Leftrightarrow 4=\frac{5}{xy}+\frac{5}{yz}+\frac{5}{xz}+\frac{25}{xyz}\leq \frac{40}{z^{2}}\Leftrightarrow z^{2}\leq 10\Leftrightarrow z\in \left \{ 1;2;3 \right \}$
Với $z=1$ ta có $t\leq z\Rightarrow t=1$ (vô lý)
Với $z=2$ ta có $(8x-5)(8y-5)=305$
Vì $x\geq y\geq z\geq t\geq 2$ nên $8x-5\geq 8y-5\geq 11$
Mà $305$ không viết được thành tích 2 số nguyên thỏa mãn ĐK trên
Vơi $z=3$ cũng không có số nguyên nào thỏa mãn
Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương là $(5;10;1;1);(4;15;1;1)$ và tất cả các hoán vị của chúng

Bài 70. Tìm tất cả các cặp số nguyên $x,y$ thỏa mãn : $9x^{2}+3y=y^{2}+8$

Ta có: $9x^{2}+3y=y^{2}+8\Leftrightarrow y^{2}-3y+8-9x^{2}=0(1)$

Xét phương trình $(1)$ có $\Delta =36x^{2}-23$

Để phương trình có nghiệm nguyên khi $\Delta$ là số chính phương 

Đặt $36x^{2}-23=t^{2}\Leftrightarrow (6x-t)(6x+t)=23$

Vì $x,y\in \mathbb{Z}$ nên $(6x-t)(6x+t)$ là tích $2$ số nguyên 

Mà $23$ viết thành tích $2$ số nguyên có các trương hợp là $23=1.23=-1.(-23)$

$\bullet$ Nếu $\left\{\begin{matrix} 6x-t=1 & \\ 6x+t=23 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2 & \\ t=11 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2 & \\ \begin{bmatrix} y=-4 & \\ y=7 & \end{bmatrix} & \end{matrix}\right.$

$\bullet$ Nếu $\left\{\begin{matrix} 6x-t=-1 & \\ 6x+t=-23 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-2 & \\ t=-11 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-2 & \\ \begin{bmatrix} y=-4 & \\ y=7 & \end{bmatrix} & \end{matrix}\right.$

Vậy phương trình có $4$ nghiệm nguyên $(x;y)$ là $(2;-4);(2;7);(-2;-4);(-2;7)$

Bài 16. Giải phương trình nghiệm nguyên $$x^4+4x^3+7x^2+6x+4=y^2$$

Mình xin giải bằng phương pháp kẹp:
Với $x< -2$ và $x> 0$ ta có: $(x^{2}+2x+1)^{2}< x^{4}+4x^{3}+7x^{2}+6x+4< (x^{2}+2x+2)^{2}$
$\Rightarrow (x^{2}+2x+1)^{2}< y^{2}< (x^{2}+2x+2)^{2}$
Nên trường hợp này không xảy ra
Suy ra $-2\leq x\leq 0$ và $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \left \{ -2;-1;0 \right \}$
+) Với $x=-2$ ta có: $y=\pm 2$
+) Với $x=-1$ ta có $y=\sqrt{2}$ (không thỏa mãn)
+) Với $x=0$ ta có: $y=\pm 2$
Vậy phương trình có 4 nghiệm nguyên $(x;y)$ là $(-2;-2);(-2;2);(0;2);(0;-2)$

Bài 86 : Chứng minh rằng phương trình $x^{2}-2mx+2.1993^{1994}=0$ không có nghiệm nguyên với mọi số nguyên m

 

Ta có: $x^{2}-2mx+2.1993^{1994}=0(1)$

Xét phương trình $(1)$ có $\Delta '=m^{2}-2.1993^{1994}$

Ta có: $2.1993^{1994}\equiv 2(mod4)$

Vì $m^{2}$ là số chính phương nên ta có: $\begin{bmatrix} m^{2}\vdots 4 & \\ m^{2}\equiv 1(mod4) & \end{bmatrix}$

$\bigstar$ Nếu $m^{2}\vdots 4$ ta có: $\Delta '\equiv 2(mod4)$ nên $\Delta '$ không là số chính phương

$\bigstar$ Nếu $m^{2}\equiv 1(mod4)$ ta có: $\Delta '\equiv 3(mod4)$ nên $\Delta '$ không là số chính phương 

Vậy $\forall m\in \mathbb{Z}$ thì phương trình $(1)$ không có nghiệm nguyên

mn thấy có xinh k?

Đề của duaconcuachua98
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $x^{2}-y^{3}=7$

Đáp án:
Giả sử $(x_{0};y_{0})$ là một nghiệm nguyên dương của phương trình
Ta có: $x_{0}^{2}-y_{0}^{3}=7$$\Leftrightarrow x_{0}^{2}+1=y_{0}^{3}+8\Leftrightarrow x_{0}^{2}+1=(y_{0}+2)(y_{0}^{2}-2y_{0}+4)$
Xét các trường hợp sau
$1)$ $y_{0}$ chẵn:
Khi đó $y_{0}+2$ và $y_{0}^{2}-2y_{0}+4$ đều chẵn
Suy ra $(x_{0}^{2}+1)\vdots 4$ (không thể xảy ra)
$2)$ $y_{0}$ lẻ nên $y_{0}$ có dạng $y_{0}=4m+1$ $(m\in \mathbb{Z}^{+})$
Khi đó $y_{0}+2=4m+3$
Mà $y_{0}+2\geq 3$ nên tồn tại $p$ nguyên tố có dạng $4m+3$
Mà $p\mid y_{0}+2$
Nghĩa là tồn tại $p$ nguyên tố dạng $4m+3$ mà $q\mid x_{0}^{2}+1$ (điều này vô lý)
$3)$ $y_{0}$ lẻ có dạng $4m+3$.
Khi đó $y_{0}^{2}-2y_{0}+4$ có dạng $4n+3$
Mà $y_{0}^{2}-2y_{0}+4\geq 3$ nên tồn tại số nguyên tố $p$ có dạng $4k+3$
Mà $p\mid y_{0}^{2}-2y_{0}+4$
Suy ra $x_{0}^{2}+1$ có ước nguyên tố $p$ có dạng $4k+3$
Điều này vô lý.
Vậy phương trình không có nghiệm nguyên dương.

Đề của duaconcuachua98

 

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng

$S=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a+b+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\geq 3+\sqrt{3}$

 

Đáp án:

 

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta được:

$\left ( \frac{ab^{2}}{c}+ca\right )+\left ( \frac{bc^{2}}{a}+ab \right )+\left ( \frac{ca^{2}}{b}+bc \right )\geq 2(ab+bc+ca)$

Suy ra $\frac{ab^{2}}{c}+\frac{bc^{2}}{a}+\frac{ca^{2}}{b}\geq ab+bc+ca$

Khi đó ta có:

$(ab+bc+ca)\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )=(a^{2}+b^{2}+c^{2})+(ab+bc+ca)+\left ( \frac{ab^{2}}{c}+\frac{bc^{2}}{a}+\frac{ca^{2}}{b} \right )\geq (a+b+c)^{2}$

Suy ra $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}$

Từ đó ta có:

$S\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{a+b+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=\frac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{\sqrt{3}(a+b+c)}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}-\frac{(\sqrt{3}-1)(a+b+c)}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\geq 2\sqrt[4]{3}.\sqrt{\frac{(a+b+c)^{2}}{(ab+bc+ca)\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}-\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)=P$

Mặt khác $(ab+bc+ca)^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq \left [ \frac{2(ab+bc+ca)+(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{3} \right ]^{3}=\frac{(a+b+c)^{6}}{27}$

Từ đó suy ra $S\geq P\geq 2\sqrt[4]{3}.\sqrt{3\sqrt{3}}-\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)=2\sqrt[4]{81}-(3-\sqrt{3})=3+\sqrt{3}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Đề của duaconcuachua98

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng $\frac{8(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}+\frac{27(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)^{3}}\geq 16$

Đáp án:

Áp dụng BĐT Cauchy ta được:
$\frac{8(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}+\frac{27(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)^{3}}\geq 2\sqrt{\frac{8(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}\cdot\frac{27(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)^{3}} }$
Nên ta cần chứng minh $27(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8(ab+bc+ca)(a+b+c)^{3}(1)$
Áp dụng đẳng thức $(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$ và theo Cauchy: $abc\leq \frac{1}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$ ta được:
$(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra ta cần chứng minh $3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (a+b+c)^{2}\Leftrightarrow (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\geq 0$ (đúng)
Suy ra $dpcm$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

Cho x=$\underset{2011 c/s 1}{11...1}$

        y=$1 \underset{2010 c/s 0}{00...0}5$

CMR $\sqrt{xy+1}$ là số tự nhiên

Ta có:$y=9x+6\Rightarrow xy+1=9x^{2}+6x+1=(3x+1)^{2}\Rightarrow \sqrt{xy+1}=3x+1=333...34(2010c/s3)$

Biết đường thẳng ax + 8y = 0 là đường phân giác của góc phần tư thứ hai thì giá trị của a là

Câu này trên violympic đúng không bạn?a=8 thì fải

 

Câu 7b: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hình thang cân $ABCD$ có AD và BC là hai đáy, $AB=BC=5.$ Biết rằng $E(2;1)$ thuộc cạnh $AB, F(-2;-5)$ thuộc đường thẳng AD và phương trình đường thẳng $AC:x-3y-3=0.$ Tìm tọa độ $A,B$

 

$AC$ là phân giác của góc $BAD$. $M$ đối xứng với $E$ qua $AC$. $EM$ cắt $AC$ tại $K$

Suy ra $\Delta EM:3x+y-7=0\Rightarrow K\left\{\begin{matrix} 3x+y-7=0 & \\ x-3y-3=0 & \end{matrix}\right. \Rightarrow K(\frac{12}{5};\frac{-1}{5}) \Rightarrow M(\frac{14}{5};\frac{-7}{5})$

Suy ra $\Delta AD:3x-4y-14=0\Rightarrow A\left\{\begin{matrix} 3x-4y-14=0\\ x-3y-3=0 \end{matrix}\right. \Rightarrow A(6;1)$

$\Delta AB:y-1=0\Rightarrow B(b;1)\Rightarrow \left | 6-b \right |=5\Rightarrow \begin{bmatrix} b=1\rightarrow B(1;1)\\ b=11\rightarrow B(11;1) \end{bmatrix}$

Mà $E\in AB\Rightarrow B(1;1)$

                                            THI THỬ KHTN ĐỢT 4 ( TOÁN 2 ) 

Câu $1$ : a) Giải hệ 

                                   $x^{2}+y^{2}-y=(2x+1)(y-1)$

                                   $(x-1)(2y+1)=7$

$x^{2}+y^{2}-y=2xy-2x+y-1\Leftrightarrow (x-y)^{2}+2(x-y)+1=0\Leftrightarrow (x-y+1)^{2}=0\Leftrightarrow x=y-1$

$(x-1)(2y+1)=7\Leftrightarrow (y-2)(2y+1)=7\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=3\rightarrow x=2 & \\ y=\frac{-3}{2}\rightarrow x=\frac{-5}{2} & \end{bmatrix}$