Đóng góp tí cho vui
151)Cho $\Delta ABC$ đều nội tiếp (O). M là 1 điểm thuộc cung nhỏ AC, D là giao điểm của CM và BA, E là giao điểm của BM và AC. CMR: Đường thẳng DE luôn đi qua 1 điểm cố định.

146)Cho $\Delta ABC$ vuông tại C có AB=c; AC=b; BC=a.Kẻ các trung tuyến AE và BF có độ dài là AE=m và BF=n. Đặt bán kính đường tròn nội tiếp là r. CMR:
a)$\frac{r^{2}}{m^{2}+n^{2}}< \frac{1}{20}$
b)Tìm GTLN của $\frac{r^{2}}{m^{2}+n^{2}}$

Áp dụng kết quả bài toán này là ra.

sao em thử trên máy thì không chính xác nhỉ
Kết quả đó chỉ đúng khi $a+b=c$

Tính $\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\sqrt{\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}+...+\sqrt{\frac{1}{2011^{^{^{2}}}}+\frac{1}{2012^{2}}+\frac{1}{2013^{2}}}$

Mình xin chém bài 6 nha:

a)Dễ thấy K là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABD$ nên AK là p/g trong $\widehat{BAD}$  (1)

$\Delta ABD$ có BL là p/g trong $\widehat{ABD}$ và DL là p/g ngoài $\widehat{ADB}$ nên L là tâm đường tròn bàng tiếp $\widehat{ABD}$ của $\Delta ABD$ $\Rightarrow$ AL là p/g ngoài $\widehat{BAD}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AK\perp AL$ nên $\widehat{KAL}=90^{\circ}$

Mà DK, DL là p/g trong và ngoài $\widehat{ADB}$ nên $\widehat{KDL}=90^{\circ}$

Vậy AKDL nội tiếp đường tròn đường kính KL

b) Chứng minh dễ dàng $\widehat{AIC}=90^{\circ}+\frac{\widehat{ABC}}{2}$

$\Delta AIJ$ cân tại J nên $\widehat{AJI}=180^{\circ}-2\widehat{AIJ}$

Tương tự $\widehat{CJI}=180^{\circ}-2\widehat{CIJ}$

$\Rightarrow$ $\widehat{AJC}=360^{\circ}-2\widehat{AIC}=360^{\circ}-2(90^{\circ}+\frac{\widehat{ABC}}{2})=180^{\circ}-\widehat{ABC}$

$\Rightarrow \widehat{AJC}+\widehat{ABC}=180^{\circ}$

$\Rightarrow$ ABCJ nội tiếp

$\Rightarrow$ $J\epsilon (O)$ (O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)

Mà $JA=JC$ (J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIC)

$\Rightarrow$ BJ là p/g $\widehat{ABC}$

Mà BI cũng là p/g $\widehat{ABC}$

Vậy B,I,J thẳng hàng

Ai giải giúp mình bài 5 một cách dễ hiểu hơn được hem?

Gợi ý hướng giải :

• Chứng minh $S \le \frac{1}{4}$,đẳng thức có được khi tam giác đều.
• Đưa BĐT về dạng $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \le \frac{1}{4r^2}$.
• Chứng minh $\frac{1}{a^2} \le \frac{1}{4(p-b)(p-c)}$ và $r^2=\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}$;trong đó $p$ là nửa chu vi.

anh có thể nói cụ thể hơn vì sao $S$ $\leq$ $\frac{1}{4}$ không ạ

Gợi ý hướng giải :

• Chứng minh $S \le \frac{1}{4}$,đẳng thức có được khi tam giác đều.
• Đưa BĐT về dạng $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \le \frac{1}{4r^2}$.
• Chứng minh $\frac{1}{a^2} \le \frac{1}{4(p-b)(p-c)}$ và $r^2=\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}$;trong đó $p$ là nửa chu vi.

Sao từ BĐT $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \le \frac{1}{4r^2}$ mà suy ra được $S \le \frac{1}{4}$ vậy a

Gọi $a$,$b$,$c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác $ABC$ và $h_{a},h_{b},h_{c}$ là 3 đường cao tương ứng. Tìm tính chất của tam giác $ABC$ khi biểu thức $S=\frac{h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}}{(a+b+c)^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất.

$\sum$ dấu đó là gì vậy anh

Tính A=$\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\sqrt{\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}+...+\sqrt{\frac{1}{2011^{2}}+\frac{1}{2012^{2}}+\frac{1}{2013^{2}}}$

Trước tiên chứng minh
Nếu $a+b+c=0$ thì
$\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}= \begin{vmatrix} \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \end{vmatrix}$

Chứng minh khá đơn giản:

$\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}= \sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ac}}= \begin{vmatrix} \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \end{vmatrix}$

Áp dụng vào bài toán:

$\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}} =\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}} = 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$
Tương tự như vậy thay vào sẽ triệt tiêu hết

công thức trên thấy chỉ đúng cho căn thức đầu tiên thôi mà

Bài 2: ĐK $x=0$ hoặc $x\ge 1$.
Với $x=0$, ta thấy thỏa mãn.
Với $x\ge 1$, PT $\Leftrightarrow x\sqrt x=\sqrt{x-1}(\sqrt x-1)=\frac{\sqrt{(x-1)^3}}{\sqrt x+1}$.
Nhận xét, với $x\ge 1$ thì $\frac{\sqrt{(x-1)^3}}{\sqrt x+1}\le \sqrt{(x-1)^3}< x\sqrt x$. Do vậy, phương trình vô nghiệm.

KL: Vậy PT ban đâu có duy nhất một nghiệm là $x=0$.

dấu "+" chứ đâu phải "-"

Tôi chả đã nói là lấy A' đối xứng với B qua A là gì

AA'=AC=AB à

Bài này cùi thôi:
chứng minh được I chuyển động trên cung chứa góc (90 độ cộng với góc A chia 2) dựng trên BC.
Bây giờ chúng minh bài toán phụ : trong (O), dây BC cố định. Xác định A thuộc (O) sao cho P ABC max
với bài toán phụ này cậu hãy vẽ điểm A' đối xứng với B qua A. Rồi chứng minh BA' ( = BA+AC) Max khi nó đi qua điểm I là điewẻm chính giữa cung BC lớn ( sử dụng liên hệ giữa dây cung và đường kính)

sao BA'=BA+AC được vậy bạn

Cho dây cung $BC$ cố định của $(O)$. Gọi $A$ là điểm chuyển động trên cung lớn $BC$. $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ . Hãy xác định vị trí điểm $I$ sao cho chu vi $\Delta IBC$ đạt giá trị lớn nhất.

Tôi chả đã nói là lấy A' đối xứng với B qua A là gì

chắc bạn nhầm hay sao ấy chứ bài toán phụ mà bạn đưa ra phải vẽ thêm như thế này: trên tia đối tia AB lấy điểm A' sao cho AA'=AC

1/ Cho a,b,c>0 và $a+b+c\leq \frac{3}{2}$
Tìm min $N=(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(3+\frac{1}{c}+\frac{1}{a})$
2/ Giải phương trình: $x^{2}=\sqrt{x^{3}-x^{2}}+\sqrt{x^{2}-x}$

à ra vậy 

c) Ta có $\widehat {AMN}=\widehat {ABM} (do cung AM=cung AN)$

$\Rightarrow \Delta AMF \sim \Delta ABM (g.g) \Rightarrow AM^2=AF.AB$

Mà $BDHF$ nội tiếp $\Rightarrow AF.AB=AH.AD$

$\Rightarrow AM^2=AH.AD \Rightarrow AM$ là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp $\Delta MHD$

Dễ thấy $\Delta MPQ$ cân tại M

$S_{MPQ}=2S_{MOP}=OC.MP=R.MP$

Áp dụng BĐT Cauchy:

$MP=MC+CP \geq 2\sqrt {MC.CP}=2\sqrt {OC^2}=2\sqrt {R^2}=2R$

$\Rightarrow S_{MPQ} \geq R.2R=2R^2$

$Min S_{MPQ}=2R^2 \Leftrightarrow MC=CP=R \Leftrightarrow OM=R\sqrt 2 \Leftrightarrow M$ là giao điểm của $(O; R\sqrt 2)$ với đường thẳng $d$. 

P/S: sao mình không dùng đến điểm H nhỉ?

Có tồn tại hay không 1 số chính phương có tổng các chữ số bằng 2012.

à vậy thầy mình nhầm rồi. Vậy tìm max nha

Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$
Tìm min $A=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}+1}$

Gọi I là TĐ DE, M là giao điểm của đường trung trực Ix của DE với (O)
IM là đường trung trực của DE nên DM=DE
$\Delta DBM=\Delta ECM$(cgc) nên BM=CM nên M là điểm chính giữa cung lớn BC $\Rightarrow$ M cố định