a, I ( giao điểm hai đường chéo ) thuộc đường tròn tâm K( trung điểm OB ) bán kính OB trên 2
b, Vẽ hẳn cái đường tròn ở câu a ra. Nối OA cắt (K) tại J ( J luôn cố đinh---> tự chứng minh) chứng minh được AN luôn nhỏ hơn hoặc bằng AJ. từ đó tìm được vị trí điểm M
Đùng thì thanks nhát nhé (lâu lắm rồi mới tái xuất dieddantoanhoc)

chỗ này có vấn đề. Hình mình vẽ theo bạn này

Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $AB$ cố định. $M$ di động trên $(O)$., gọi $N$ là điểm sao cho $AMNB$ là hình bình hành.
a)Tìm quỹ tích giao điểm 2 đường chéo của hình bình hành $AMNB$ khi $M$ chuyển động trên $(O)$.
b)Xác định vị trí điểm $M$ trên $(O)$ sao cho $AN$ dài nhất.

1)Cho $\Delta ABC$ có các cạnh thỏa a<b<c. Một đường thẳng L đi qua trọng tâm G của $\Delta ABC$. Xác định vị trí của L để tổng khoảng cách từ 3 đỉnh của tam giác đến L là lớn nhất.
2)Gọi O là điểm trong tam giác ABC. Gọi $d_{a},d_{b},d_{c}$ lần lượt là khoảng cách từ O đến BC,CA,AB.Xác định vị trí của O để $d_{a},d_{b},d_{c}$ có giá trị lớn nhất.
3)Cho M là điểm trong tam giác ABC, các đường thẳng AM,BM,CM cắt các cạnh của tam giác ABC tại A',B',C'.Xác định M để $\frac{MA}{MA'}=\frac{MB}{MB'}=\frac{MC}{MC'}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
p/s:Chỗ này dấu "=" hay "+" mình cũng chả biết.Đề thì ghi "=" nhưng mình lại nghĩ là "+".

Tìm x để $(a+b+x)^{2}-4(a^{3}+b^{3}+x^{3})-12abx = 0$ (với a,b là tham số)

Cho tam giác $ABC$ có 3 góc nhọn. Từ điểm $I$ thuộc miền trong của tam giác vẽ các đoạn thẳng $IH, IK, IL$ theo thứ tự vuông góc với $BC, CA, AB$. Tìm vị trí điểm $I$ sao cho $AL^{2}+BH^{2}+CK^{2}$ nhỏ nhất.

 

Dễ thấy $\Delta MPQ$ cân tại M

$S_{MPQ}=2S_{MOP}=OC.MP=R.MP$

Áp dụng BĐT Cauchy:

$MP=MC+CP \geq 2\sqrt {MC.CP}=2\sqrt {OC^2}=2\sqrt {R^2}=2R$

$\Rightarrow S_{MPQ} \geq R.2R=2R^2$

$Min S_{MPQ}=2R^2 \Leftrightarrow MC=CP=R \Leftrightarrow OM=R\sqrt 2 \Leftrightarrow M$ là giao điểm của $(O; R\sqrt 2)$ với đường thẳng $d$. 

P/S: sao mình không dùng đến điểm H nhỉ?

à ra vậy 

Từ điểm $O$ nằm trong tam giác $ABC$.Kẻ $OP$  vuông góc $BC$ tại $P$, kẻ $OR$ vuông góc với $AB$ tại $R$, $OQ$ vuông góc $CA$ tại $Q$.

a) Chứng minh : $AB^2+BC^2+CA^2=BP^2+CQ^2+AR^2$

b) Tìm vị trí $O$ sao cho $AQ^2+BR^2+CP^2$ nhỏ nhất  

Câu a hình như bạn ghi nhầm. Mình nghĩ là $AQ^2+BR^2+CP^2=BP^2+CQ^2+AR^2$

Bạn có thể tham khảo tại đây: http://diendantoanho...ất/#entry427372

sao không ai giải giúp mình vậy

1)Trong các tứ giác lồi có 3 cạnh bằng a (a là hằng số).Tìm tứ giác có diện tích lớn nhất.
2)Cho (O) đường kính AB. Từ một điểm C trên đường tròn kẻ $CH\perp AB$ (C khác A và B; H $\in$ AB). (C;CH) cắt (O) tại D và E. CMR DE luôn qua 1 điểm cố định.
3)Cho 2 đường tròn đồng tâm và điểm M cố định trên đường tròn nhỏ. Qua M kẻ 2 đường thẳng vuông góc với nhau, một đường thẳng cắt đtr nhỏ ở A khác M, đường kia cắt đtr lớn ở B và C.Khi cho 2 đường này quay quanh M mà vẫn vuông góc với nhau.CMR:
a)Tổng $MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}$ không đổi.
b)Trọng tâm tam giác ABC là điểm cố định.

Bài 1> Cho mình không vẽ hình nha!
câu a> $\widehat{BMA}=\widehat{BCA}=60^{\circ}\Rightarrow \widehat{BMN}=60^{\circ}$ mà $\bigtriangleup BMN$ cân ở M nên $\bigtriangleup BMN$ đều $\Rightarrow BN=BM$
Mặt khác ta lại có $\left\{\begin{matrix} \widehat{ABN}=\widehat{ABC}-\widehat{NBC}=60^{\circ}-\widehat{NBC}\\ \widehat{MBC}=\widehat{MBN}-\widehat{NBC}=60^{\circ}-\widehat{NBC} \end{matrix}\right.\Rightarrow \widehat{ABN}=\widehat{MBC}$ mà AB=BC.Do vậy ta có $\Delta ABN=\Delta CBM$ (c-g-c)nên MC=AN do vậy MB+MC=MA
Do $MA\leq 2R\Rightarrow MB+MC\leq 2R$ ta tìm dc GTLN.Dáu = khi MA=2R hay AM là đường kính (O)
Bài 2> Giải sử hình thoi có Đường chéo AC dài hơn BD nên $O_{1},O_{2}$ lần lượt ở ngoài và trong đoạn BD,AC
DO là hình thoi nên ta có $(O_{2},q),(O_{1};p)$ lần lượt là Đường trong ngoại tiếp tam giác ABD,ABC
Gọi E là trung điểm AB ta có $\Delta O_{1}EB\sim \Delta AOB(g-g)\Rightarrow \frac{O_{1}E}{AO}=\frac{BE}{OB}=\frac{O_{1}B}{AB}\Rightarrow \frac{AB}{2OB}=\frac{p}{AB}\Rightarrow OB=\frac{AB^{2}}{2p};O_{1}O=\frac{p}{q}.BO=\frac{AB^{2}}{2q}\Rightarrow AO.BO=\frac{AB^{2}}{4pq}$
Mặt khác $AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}=\frac{AB^{2}}{4p^{2}}+\frac{AB^{2}}{4q^{2}}\Rightarrow \frac{1}{4p^{2}}+\frac{1}{4q^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}\Leftrightarrow AB^{2}=\frac{4p^{2}q^{2}}{p^{2}+q^{2}}\Rightarrow AB^{4}=\frac{16p^{4}q^{4}}{(p^{2}+q^{2})^{2}}\Rightarrow AO.BO=\frac{16p^{4}q^{4}}{4pq(p^{2}+q^{2})^{2}}=\frac{4p^{3}q^{3}}{(p^{2}+q^{2})^{2}};S=4S_{ABO}=2AO.BO=\frac{8p^{3}q^{3}}{(p^{2}+q^{2})^{2}}$
Mình quên mất Bạn cần phải c/m bổ đề đã $\frac{AO}{BO}=\frac{p}{q}$
Chứng minh như sau: $\widehat{O_{2}DO}=90^{\circ}-\widehat{OO_{2}D}=90^{\circ}-\widehat{BAD};\widehat{AO_{1}C}=180^{\circ}-\widehat{ABC}=\widehat{BAD}\Rightarrow \widehat{O_{1}AO}=90^{\circ}-\widehat{BAD}\Leftrightarrow \widehat{O_{2}DO}=\widehat{O_{1}AO}\Rightarrow \Delta O_{2}OD\sim O_{1}OA\Rightarrow \frac{AO}{DO}=\frac{O_{1}A}{O_{2}D};OB=OD\Rightarrow \frac{OA}{OB}=\frac{a}{b}$
bạn xem lại có thể trong lúc gõ latex mình gõ nhầm điểm đó.
còn câu b bài 1 nghĩ nốt đã

bài 2 không cần c/m bổ đề cũng được nhưng cách bạn hay. Gợi ý: bài 1 câu b dùng cung chứa góc.

1/Cho $\Delta ABC$ đều nội tiếp $\left ( O \right )$. Gọi M là điểm di động trên cung nhỏ BC, trên đoạn MA lấy N sao cho MN=MB.
a)CM: Khi M chuyển động, ta luôn có MB+MC=MA. Suy ra vị trí điểm M để MB+MC lớn nhất.
b)Tìm tập hợp điểm N khi M chuyển động.
2/Cho hình thoi ABCD. Đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường trung trực của AB cắt BD và AC lần lượt tại $O_{1}$ và $O_{2}$. Biết $O_{1}B$=p, $O_{2}A$=q. Tính $S_{ABCD}$ theo p và q

Gợi ý hướng giải :

• Chứng minh $S \le \frac{1}{4}$,đẳng thức có được khi tam giác đều.
• Đưa BĐT về dạng $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \le \frac{1}{4r^2}$.
• Chứng minh $\frac{1}{a^2} \le \frac{1}{4(p-b)(p-c)}$ và $r^2=\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}$;trong đó $p$ là nửa chu vi.

Sao từ BĐT $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \le \frac{1}{4r^2}$ mà suy ra được $S \le \frac{1}{4}$ vậy a

Gợi ý hướng giải :

• Chứng minh $S \le \frac{1}{4}$,đẳng thức có được khi tam giác đều.
• Đưa BĐT về dạng $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \le \frac{1}{4r^2}$.
• Chứng minh $\frac{1}{a^2} \le \frac{1}{4(p-b)(p-c)}$ và $r^2=\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}$;trong đó $p$ là nửa chu vi.

anh có thể nói cụ thể hơn vì sao $S$ $\leq$ $\frac{1}{4}$ không ạ

Gọi $a$,$b$,$c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác $ABC$ và $h_{a},h_{b},h_{c}$ là 3 đường cao tương ứng. Tìm tính chất của tam giác $ABC$ khi biểu thức $S=\frac{h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}}{(a+b+c)^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất.

1/ Cho a,b,c>0 và $a+b+c\leq \frac{3}{2}$
Tìm min $N=(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(3+\frac{1}{c}+\frac{1}{a})$
2/ Giải phương trình: $x^{2}=\sqrt{x^{3}-x^{2}}+\sqrt{x^{2}-x}$

Bài 2: ĐK $x=0$ hoặc $x\ge 1$.
Với $x=0$, ta thấy thỏa mãn.
Với $x\ge 1$, PT $\Leftrightarrow x\sqrt x=\sqrt{x-1}(\sqrt x-1)=\frac{\sqrt{(x-1)^3}}{\sqrt x+1}$.
Nhận xét, với $x\ge 1$ thì $\frac{\sqrt{(x-1)^3}}{\sqrt x+1}\le \sqrt{(x-1)^3}< x\sqrt x$. Do vậy, phương trình vô nghiệm.

KL: Vậy PT ban đâu có duy nhất một nghiệm là $x=0$.

dấu "+" chứ đâu phải "-"

Cho (O) và điểm P cố định trong đường tròn (P$\neq$O). 2 dây AB và CD thay đổi sao cho AB$\perp$CD tại P. Gọi E, F lần lượt là trung điểm AC,AD.Các đường thẳng EP,FP cắt BD,BC lần lượt tại M,N.
a)Chứng minh 4 điểm M,N,B,P cùng thuộc 1 đường tròn.
b)Chứng minh BD=2EO.
c)Tìm Max,Min của diện tích tứ giác ACBD.
p/s: mọi người giúp mình tìm min của diện tích tứ giác ACBD nha

à vậy thầy mình nhầm rồi. Vậy tìm max nha

Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$
Tìm min $A=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}+1}$

Cho 0<b<a,$a^{2}+b^{2}=1$.Tìm min của:
$A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}})^{2}$

bài này mình nghĩ là 0<b$\leqslant$a

Cho 0<b<a,$a^{2}+b^{2}=1$.Tìm min của:
$A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}})^{2}$

Tìm Max của E=$2x+\sqrt{8-2x^{2}}$

Đóng góp tí cho vui
151)Cho $\Delta ABC$ đều nội tiếp (O). M là 1 điểm thuộc cung nhỏ AC, D là giao điểm của CM và BA, E là giao điểm của BM và AC. CMR: Đường thẳng DE luôn đi qua 1 điểm cố định.

146)Cho $\Delta ABC$ vuông tại C có AB=c; AC=b; BC=a.Kẻ các trung tuyến AE và BF có độ dài là AE=m và BF=n. Đặt bán kính đường tròn nội tiếp là r. CMR:
a)$\frac{r^{2}}{m^{2}+n^{2}}< \frac{1}{20}$
b)Tìm GTLN của $\frac{r^{2}}{m^{2}+n^{2}}$