Xin đóng  góp một bài khá dễ : 

Cho $\Delta ABC$ có $AM$ ; $BN$ ; $CP$ là các trung tuyến . Qua $N$ kẻ đường thẳng song song với $PC$ cắt $PC$ tại $F$ . Các đường thẳng kẻ qua $F$ song song với $BC$  và kẻ qua D song sòn với $PC$ cắt nhau ở $D$  . CMR :

a , tứ giác $CPNF$ là  hình bình hành .

b, $BDFN là hình bình hành .

c, $AM = $DN$ .

e , $\Delta ABC$ thỏa mãn điều kiện gì thì $PNCD$ là hình thang cân . 

a, b, Cậu tự chứng minh 

c, Ta có 

$\Delta AIC$ vuông tại $I$ 

$\Rightarrow NA = NC = NI$ ( $N$  là trung điểm của AC )

$\Rightarrow \Delta INC$ cân tại $N$ 

Mà $NO$ là đường cao của $\Delta INC$ , suy ra $NO$ là đường trung tuyến , 

Suy ra điều cần chứng minh . 

Hình như không có số thứ tự ! Mình post luôn : 

Cho $a ,b,c > 0$ CMR :

a, $(a+\frac{b}{ac})(b+\frac{c}{ba})(c+\frac{a}{bc})\geq 8$

b, $\frac{a^{2}}{b+c}+ \frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}$ .

Thôi cho em làm nốt rồi ai muốn xóa thì xóa vậy !
Câu 1 :
Bài làm :
Đặt $a^{2} + 2bc = x;c^{2} + 2ab = z:b^{2} + 2ca = y$
Khi đó $x+y+z = (a+b+c)^{2} \leq 1$
Vậy bài toán sẽ chuyển sang dạng :
$x,y,z > 0 ; x+y+z \leq 1$
Chứng minh rằng : $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}+ \frac{1}{z} \geq 9$
Áp dụng bất đẳng thức Côsi là xong thôi.
Đề đúng rồi Mọi người xem em làm đúng chưa vậy . Duy nè anh.

Anh Quang à ! Anh có lòng vậy thì anh chém hộ em luôn cái bài này nha . Lớp 8 thôi ?
Câu 1 :
Cho $a,b,c > 0 ; a+b+c \leq 1$ . Chứng minh rằng :
$\frac{1}{a^{2}+2bc} + \frac{1}{b^{2}+2ca} + \frac{1}{c^{2}+ 2ab}$ $\frac{1}{a^{2}+2bc} + \frac{1}{b^{2}+2ca} + \frac{1}{c^{2}+ 2ab}\geq 9$
Câu 2 :
Cho $a;b;c \geq 0 ; a+b+c =1$
Chứng minh rằng :
a, $\sqrt{a+b} + \sqrt{b+c} +\sqrt{c+a} \leq \sqrt{6}$
b, $\sqrt{a+1} + \sqrt{b+1} + \sqrt{c+1}< 3,5$
Còn nhiều bài nữa cơ thực ra thì em cũng có biết chút về cái này tôi Cho em làm một chân nha !
Em chưa học cái này nhưng mong Anh chị chỉ giúp em .
À ! mong mấy anh chị chỉ cho em xem có mấy cách chứng minh bất đẳng thức . Lấy ví dụ cho em một thể.Mấy bài trên thì cũng dễ em vừa làm xong mong anh chị làm cho em xem em làm có đúng không nha . Em cảm ơn >

Mọi người có cần bài không ?
- Nếu $a+b+c$ chia hết cho 6 thì $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ chia hết cho 6.
- $2009^{2010}$ không chia hết cho 2010 .
- $n^{2}+7n+22$ không chia hết cho 9 .

Nữa nhé :
a, tìm số dư của $2^{100}$ cho 9 và 25
b, $a^{3}-3$ chia hết cho 3 ; $a^{5}-a$ cia hết cho 5 ; $a^{7}-a$ chia hết cho 7
c, Tìm n$ sao cho $2^{n}-1$ cia hết cho 7 ; $5^{n}-2^{n}$ chia hết cho 9

Có chú nào muốn làm em rể giơ tay lên, giơ chân luôn nhé

Em đắng kí ! Cho làm vợ bé nhá !

Mấy anh em cho em post nhờ cái hình của em , xem em thế nào nha !

Topic im quá ! Hazzi..............

Phân tích đa thức thành nhân tử : 

 A = $x^{4}+2000x^{2}+ 1999x + 2000$

B = $a^{5}-5a^{3}+ 4a$ 

C = $x^{3} + 6x^{2} + 11x + 6$

D= $x^{3}(x^{2}-7)^{2} - 36x$

E = $x^{2}+ 4x - 5$$ab(a-b)- ac(a+c)+ bc(2a-b+c)$

F = $a(b+c)^{2}(b-c)+ b(c+a)^{2}(c-a)+ c(a+b)^{2}(a-b)$

G= $x^{4}+4$

H= $x\sqrt{x}-3x +4\sqrt{x}-2$ ( x > 0)

I = $x^{2}-x-12$

K = $x^{8}+x+1$

N= $(x^{2}+3x+2)(x^{2}+11x + 30)-5$

M= $x^{2}- 7x-6$

O = $2xy +2x - y^{2} -y$

P/s : Định cho nó cái bảng chữ cái tiếng anh cho đẹp mà bận quá . mọi người quay trở lại topic đi !       

Phân tích thành nhân tử : 

$a)A=\left ( x^{2} -x+2\right )^{2}+\left ( x+2 \right )^{2}$

$b)B=6x^{5}+15x^{4}+20x^{3}+15x^{2}+6x+1$

$c)C=\left ( x-y \right )^{3}+\left ( y-x \right )^{3}+\left ( z-x \right )^{3}$

$B=(2x+1)(x^{2}+x+1)(3x^{2}+3x+1)$

Tớ gửi mấy bài lên nhé:

a $x^8+2x^5-2x^4+x^3-2x-100+10x(x^4+x)+(5x-1)^2$

b $3x^3-7x^2+17x-5$

c $2x^2-7x+3$

d $3x^2+7x-76$

e $3x^2+10x-8$

f  $2x^2+3881x-17505$

g $x^4+324$

h  +5x²ⁿ +9x⁴ⁿ

i  x⁴ⁿ+x²ⁿ+1 (n$\epsilon$N)

j  x⁴ⁿ +4x²ⁿ+16

b, $(3x-1)(x^{2}-2x+5)$

c,$(x-3)(2x-1)$

g,$(x^{2}-6x+18)(x^{2}+6x+18)$

j, $(x^{2n}-2x^{n}+4)(x^{2n}+2x^{n}+4)$

bài mới đây

a. $(x^2+2x)^2+9x^2+18x+20$

b.$(4x+1)(12x-1)(3x+2)(x+1)-4$

c. $x^5+x+1$

d. $x^5+x^4+1$

e.$x^8+x+1$

Bạn cũng nên chia sẻ bài tập cho mình đi nhé.

a, $(x^{2}+2x +4 )(x^{2}+2x + 5}$

Bài 1 : Hai cái này cái nào phân tích được ? Vì sao ?

$x^{4}+4$ và $81x^{2}+ 4$

Bài 2 : Chứng minh :

$\frac{n}{12}+ \frac{n^{2}}{8}+\frac{n^{3}}{24}$ là số nguyên  với n chẵn . 

các bác giúp e bài này :
x$^{3}$+5x-6

Cái này tổng các hệ số bằng không dễ mà ?
$(x-1)(x^{2}+x+6)$
Xin lỗi tại lúc tính nhầm !

Một bài cực dễ :
Tính giá trị của biểu thức sau biết :
$x^{3}-x = 6$ . $A= x^{6}-2x^{4}+x^{3}+x^{2}-x$

2b, $(xy+1)(x-3y)(x-y)$

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}$
$\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}=\frac{-a-b}{c(a+b+c)}$
$\Leftrightarrow (a+b)\left ( \frac{1}{ab}+\frac{1}{c(a+b+c)} \right )=0$
$\Leftrightarrow (a+b) \left [\frac{ab+c(a+b+c)}{abc(a+b+c)} \right ]=0$
$\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0$

* TH1: $a=-b$. Ta có $\frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^{n}}=0$. Ta được đpcm.
* Tương tự với hai trường hợp còn lại.

Cách khác được không ! ta có $\frac{1}{a} +\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c}$
Suy ra $\frac{bc+ac+ab}{abc} = \frac{1}{a+b+c}$
nên $(bc+ab+ac)(a+b+c)-abc = 0$
Từ đây ta phân tích thành nhân tử ( chứ cái của anh không giống phan tích thành nhân tử)
$(a+b)(b+c)(a+c)= 0$
Suy ra :
$a=-b ; b = -c ; c= -a$
Vì n lẻ nên :
$a^{n}=-b^{2} ; b^{n}= -c^{2} ; c^{n}= -a^{2}$
Cuối cùng thay vào là có điều chứng minh .

Bài 20 :
Cho $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} +\frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c}$
Chứng minh rằng : $\frac{1}{a^{n}} + \frac{1}{b^{n}} + \frac{1}{c^{n}} = \frac{1}{a^{n}+b^{n}+c^{n}}$ với n lẻ .
Bài 21: Phân tích đa thức thành nhân tử :
a, $x^{4} - 2x^{3} + 3x^{2} - 2x +1$.
b, $x^{4} - 4x^{3} + 10x^{2} -12x+9$.
Bài 22 :
Xét hằng đẳng thức $(x+1)^{2} = x^{2} +2x +1$ lần lượt cho $x= 1,2,3,......n$ rồi cộng từng vế n đẳng thức trên để tính tổng $S = 1+2+3+....+n$ .

Mình vừa làm xong thì mọi người làm hết rồi !

Nữa không mọi người :
1,$6x^{2}-11x+3$
2,$x^{3}+5x^{2}+8x+4$
3,$(x^{2}+x)^{2}-2(x^{2}+x)-15$
4,$x^{2}+2xy+y^{2}-x-y-12$
5,$a(b+c-a)^{2}+b(c+a-b)^{2}+c(a+b-c)^{2}+(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$
6,$4x^{4}-32x^{2}+1$
7,$4x^{4}+y^{4}
8,$x^{3}+3xy+y^{3}-1$
9,$(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-24$

10,$x^{3}-6^{2}-x+30$

11,$ab(a-b)-ac(a+c)+bc(2a+c-b)$

12,$n^{4}-5n^{2}+4$

13,$15x^{3}+x^{2}-2n$ ??

14,$x^{2}y+xy^{2}+x^{2}z+xz^{2}+yz^{2}+2xyz$

Thôi . Mỏi tay !

Cái bài một thì mình nghĩ là sài $AM-GM$ là ra ngay luôn.Đâu cần phải phân tích

Ừ ! Nói có sách mách có chứng ! Chém đi thử xem cách làm thế nào !

Mình thích topic này . Mà sao dạo này vắng vậy . Cho mình góp vài bài nha .!

Bài 1 : CMR : nếu $x^{4}+y^{4}+z^{4}+ t^{4}= 4xyzt$ và $x , y,z,t$ là các số dương thì $x=y=z=t$
Bài 2 : Chứng minh đa thức $a^{50}+a^{49}+.....+a^{2}+a+1$ chia hết cho đa thức $a^{16}+a^{15}+....+a^{2}+a+1
Hoang Huy Thong là tay săn bài của mình hay sao ấy ?

Chỗ đó chỉ cần tách như sau :
9,$(x^{2}+7x+11-1)(x^{2}+7x+11+1)-24 =(x^{2}-7x+11)^{2}-1-24 =(x^{2}-7x+11)-5^{2} =(x^{2}-7x+6)(x^{2}-7x+16)$

Bài 3
Dễ dàng bằng C....A...S..,I...O ta tính được $2^{32}+1=4294967297 \vdots 641$ Vậy là hợp số

Ủa ! Cậu là thịnh đúng không lớp mấy mà đã Casio rồi !
bài 3 : $2^{23}+1 = 2^{2^{16}}+1$ chia hết cho $2^{2}+1$ = 5 . Vậy số này là hợp số ! Chắc vậy !