Chứng minh rằng:
nếu $x> \sqrt{2}x^{2}$ thì
$\frac{2cos^{2}x+sin2x}{sin^{2}x.cos2x}> 16$$

giải bất phương trình sau:

$\frac{log_{3}\left ( x+1 \right )^{2}-log_{4}\left ( x+1 \right )^{3}}{x^{2}-5x-6}> 0$

Cho bất phương trình:

$sinx - \sqrt{x-3}\leq m+1$

Tìm m để bất phương trình có nghiệm x?

Tìm m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm: 

$\sqrt{x-3-2\sqrt{x-4}}+\sqrt{x-6\sqrt{x-4}+5}=m$

cho phương trình: $sin6x-2m(sin3x+cos3x)+m^2-4\sqrt{2}m+9=0$
tìm m để phương trình trên có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện $x\epsilon \left ( 0;\frac{\Pi }{6} \right )$

Cho hàm số : y = f(x) = a.(x^3) + b.(x^2) + c.x + d (a # 0). Chứng minh rằng : đồ thị hàm sô tiếp xúc với Ox nếu pt a.(x^3) + b.(x^2) + c.x + d =0 có nghiệm kép hoặc được viết dưới dạng (x- x0)^3 = 0.

Giải bất phương trình:
$\frac{x^2}{\left ( 1+\sqrt{1+x} \right )^2}>x-4$

Sau khi  m post bài lại tìm được lời giải. Post lên cho m.n tham khảo 

http://toan.hoctainh...3015/bai-103015

CMR: Với mọi a khác không thì hệ sau có nghiệm duy nhất.

$\dpi{100} \left\{\begin{matrix} & \\ 2y^{2}=x+\frac{a^{2}}{x}& \\ & \\ \ 2y^{2}=x+\frac{a^{2}}{x}& \end{matrix}\right.$

Để ý một chút thì 2 bài này có dấu hiệu " lượng giác" rất rõ

Gợi ý.

Bài 1. Đặt $x=\sin{a}$ rồi biến đổi.

Bài 2. Đặt $x=\tan {a}$ thì $y=\tan {2a}$, $z=\tan {4a}$.

bạn có thể trình bày chi tiết bài 1 được không?

1)$\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}.[\sqrt{(1+x)^{3}}-\sqrt{(1-x)^3}]= \frac{2}{\sqrt{3}}+\sqrt{\frac{1-x^2}{3}}$

2) Giải hệ phương trình sau:
$\frac{2x}{1-x^2}=y$
$\frac{2y}{1-y^2}=z$
$\frac{2z}{1-z^2}=x$

Cho 2 dãy số $x_{n}$ và $y_{n}$ :
$x_{1}=y_{1}=1 ;
x_{n+1} = 4x_{n}-2y_{n} ;
y_{n+1}=x_{n}+y_{n}$

Tìm $y_{n}$ ; $x_{n}$ ?

Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện:
$y(y^2+1)+x(x^2-1)=0$.
Chứng minh rằng: $x^2 + y^2 <1$

Cho PT : $x=asinx + b$ với a,b thỏa mãn: 0<a<1 ; b>0 . CMR PT có ít nhất 1 nghiệm dương thỏa mãn x< a+b

Tìm hệ số của $x^{4}$ trong khai triển biểu thức :$A = \left ( 1 - x - 3x^{3} \right )^{n}$ thành đa thức, trong đó n là số nguyên dương thỏa mãn:

$2.\left ( C_{2}^{2}+C_{3}^{2} +...+C_{n}^{2}\right )= 3.A_{n+1}^{2}$

$\left\{\begin{matrix} x^{4} +x^{3}y+9y=y^{3}x+x^{2}y^{2}+9x& \\ x(y^{3}-x^{3})=7& \end{matrix}\right.$

Ta có : $P\geq \frac{(x+y)^2}{2-(x+y)}$

Đặt : $x+y = t$ , $t\epsilon \left ( -1;1 \right )$
Khi đó ta có : $P \geq \frac{t^2}{1-t}$
Xét hàm số : $$y = f\left ( x \right )=\frac{t^2}{2-t}$$
+) TXĐ : $D = (-1;1)$
+) $y^{'} = \frac{4t-t^2}{(2-t)^2}$
$y^{'}=0 \Leftrightarrow \frac{4t-t^2}{(2-t)^2}=0\Leftrightarrow 4t-t^2=0$
$\Leftrightarrow t = 0$ hoặc $t=4$
$f(0)= 0$ và $f(4)= -8$
Lập bảng biến thiên : $y= f(x)$
Từ bảng biến thiên suy ra MinP = - 8
Đây là ý tưởng của mình, bạn có thể tham khảo, nếu sai ở đâu mong m.n chỉ rõ hộ mình nhé

Đặt: $f(x)=4x^{3}+3x-m, \forall x\epsilon \mathbb{R}$$\Rightarrow$ hàm số f(x) liên tục trên R.

+) $f(0)=m$

$\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left [ x^{3}(4+\frac{3}{x^{2}}-\frac{m}{x^{3}}) \right ]=-\infty$

$\Rightarrow$ tồn tại: $x_{1}<0$ để $f(x_{1})<0$

$\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left [ x^{3}(4+\frac{3}{x^{2}}-\frac{m}{x^{3}}) \right ]=+\infty$

$\Rightarrow$ tồn tại $x_{2}> 0$ để $f(x_{2})>0$

+) Với: $m> 0\Rightarrow f(0).f(x_{1})<0$

mà hàm số f(x) liên tục trên $\left ( x_{1} ;0\right )$

$\Rightarrow \forall m>0$ thì phương trình f(x)=0 luôn có ít nhất một nghiêm thuộc $(x_{1};0)$

chứng minh tương tự với m<0

Tìm các giá trị của x trong khia triển Niutơn của $\left ( \sqrt{2^{log(10-3^{x})}+\sqrt[5]{2^{(x-2)log3}}} \right )^{n}$ , biết rằng số hạng thứ sáu trong khai triển đó bằng 21 và $C_{n}^{1}+C_{n}^{3}=2C_{n}^{2}$

 

Xác định số hạng tổng quát (Un) của các dãy số sau:
$\left\{\begin{matrix} U_{1}=0 & \\ U_{n+1}=(3+2U_{n})/(4+4n)& \end{matrix}\right.$
Đặt : $V_{n}=\frac{U_{n}-1}{U_{n}+3}$
Chứng minh rằng $V_{n}$ là cấp số nhân và tìm công thức (Un)

$\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}. (\sqrt{(9+x)^{2}}-\sqrt{(1-x)^{3}} )=2+\sqrt{1-x^2}$

$U_{n}=\frac{1}{2^{n}-1}$
Chứng minh rằng : $U_{n}<\frac{1}{n} \veebar n\geqslant 1$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{cos[\Pi cos(x+\frac{\Pi }{3})]}{2sin(tanx)}$

Cho $x;y;z\geq 0$ thỏa mãn : $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$

Tìm GTLN của $P=xy+yz+xz+\frac{5}{x+y+z}$

$\left\{\begin{matrix} xy+x-2=0 & \\ 2x^{3} -x^{2}y+x^{2}+y^{2}-2xy-y=0& \end{matrix}\right.$