Ảnh này bựa lắm, thôi cứ khoe  . Giật tít cho ảnh nào 

Cái tay anh đó làm gì thế

 VMF-er ngày nay đâu rồi, vào quẩy đê Ảnh chụp em đang kị =.=

 10258058_1423840651202583_6075738646342400607_n.jpg

Long là cái bà mặc áo nâu đó

thằng gào thét là tui giờ này năm ngoái

Anh bị cưỡng hiếp à, tội quá, tội nhất là bị cái anh gì đó thò tay vào

Mấy bác chém ghê quá, em sợ á     

 Không có ảnh để dìm nó :|

Có mà

cái nhận giải đó .___.

Chỉ có cái đó

 Anh Quang dũng cảm ghê Đã thế cho xem cái ảnh rất bựa của em luôn

11173465_433870263441008_335579356_n.jpg

 Dìm HN Tuấn đê :v

11101144_477986692354017_573552001_n.jpg

Ăn ngon ghê

nek mọi người ơi chỉ giúp mình mấy bài này nha, mình mới tham gia nên chưa rành lắm:

1) Cho a,b,c>0. CMR: $\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{^{2}}}+\frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

2) Cho a,b,c>0 thỏa abc=1. CMR: $\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}+\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}+\frac{ca}{c^{5}+a^{5}+ca}\leq 1$

3) Cho các số thực a,b,c thuộc [0;1]. CMR: $\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ca+1}+\frac{c}{ab+1}\leq 2$

cảm ơn nhiều hen.     

Câu 1 dùng luôn S.O.S:

$\sum \frac{a^2}{b^2+c^2}-\sum \frac{a}{b+c}=\sum \frac{ab(a-b)-ca(c-a)}{(b^2+c^2)(b+c)}$

$=\sum \left [ \frac{ab(a-b)}{(b^2+c^2)(b+c)}-\frac{ab(a-b)}{(a^2+c^2)(a+c)} \right ]$

$=(\sum a^2+\sum ab)\sum \frac{ab(a-b)^2}{(a+c)(b+c)(a^2+c^2)(b^2+c^2)} \geq 0$

Câu 2 dùng BĐT $a^5+b^5\geq a^2b^2(a+b)$

Câu 3 dùng $(1-a)(1-b)+(1-ab)(1-c)\geq 0=> 2+abc\geq a+b+c$, ta có:

$\sum \frac{a}{bc+1}\leq \sum \frac{a}{abc+1}\leq \frac{abc+2}{abc+1}\leq \frac{2abc+2}{abc+1}=2$

Bài 76: ( Belarus 1998 ) Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh bất đẳng thức sau:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$

BĐT cần chứng minh tương đương:

$(\frac{a}{b}-\frac{a}{b+c})+(\frac{b}{c}-\frac{b}{b+c})+(\frac{c}{a}-\frac{c}{a+b})\geq \frac{b}{a+b}+1$

$<=>\frac{b^2}{c(b+c)}+\frac{ac}{b(b+c)}+\frac{bc}{a(a+b)}\geq \frac{a+2b}{a+b}$

Ta có:$\left [ \frac{b^2}{c(b+c){}}+\frac{ac}{b(b+c)}+\frac{bc}{a(a+b)} \right ]\left [ \frac{a(b+c)}{b}+(b+c)+(a+b) \right ]\geq (\sum \sqrt{\frac{ab}{c}})^2$

Mà: $\frac{a(b+c)}{b}+(b+c)+(a+b)=\frac{(a+b)(2b+c)}{b}$

Cần chứng minh:$(\sum \sqrt{\frac{ab}{c}})^2\geq \frac{(a+2b)}{a+b}.\frac{(a+b)(2b+c)}{b}=\frac{(a+2b)(2b+c)}{b}$

$<=>\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\geq 2b$ (đúng theo BĐT AM-GM)

Vậy BĐT được chứng minh 

Bài 112:(Canada MO)(Nguyễn Duy Khương): Cho a,b,c>0 sao cho a+b+c=3. Cmr:      

 

$\frac{a}{\sqrt{a^3+a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^3+b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^3+c^2+1}}\leq \frac{\sqrt{3}}{3}$

Đề sai rồi, với $a=b=c=1$ thì VT>VT

VP phải là $\sqrt{3}$ chứ

Bài 148:(Poland 1998) Cho các số thực không âm $a,b,c,d,e,f$ thoả mãn $a+b+c+d+e+f=1$ và $ace+bdf\geq \frac{1}{108}$

Chứng minh:$abc+bcd+cde+def+efa+fba\geq \frac{1}{36}$

Bài 149:(Romania TST 1993) Tìm số thực dương $a$ lớn nhất để bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực $x;y;z$

$\frac{x}{\sqrt{y^{2}+z^{2}}}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+z^{2}}}+\frac{z}{\sqrt{y^{2}+x^{2}}}\geq a$

Câu 148: Hình như bạn đánh sai đề rồi, sao mình giải ra lại ngược dấu nhỉ

Ta có:$(ace+bdf)+(abc+bcd+cde+def+efa+fab)=(a+d)(b+e)(c+f)\leq \frac{(a+d+b+e+c+f)^3}{27}=\frac{1}{27}$

Từ đó => BĐT cuối phải là $\leq \frac{1}{36}$ chứ 

Vực topic dậy nào 

Bài 173:(China Girls Math Olympiad)

Cho $a,b,c$ là các số thực dương.Tìm Min của:

$ \frac {a + 3c}{a + 2b + c} + \frac {4b}{a + b + 2c} - \frac {8c}{a + b + 3c}.$

Bài 174:(China Girls Math Olympiad)

Cho $u;v;w$ là các số thực dương thoả mãn $ u\sqrt {vw} + v\sqrt {wu}+ w\sqrt {uv} \geq 1$.Tìm Min của $ u + v+ w$

Bài 173: Đặt: $x=a+2b+c;y=a+b+2c;z=a+b+3c$

Cần tìm Min của:

$\frac{2y-x}{x}+\frac{4(z+x-2y)}{y}-\frac{8(z-y)}{z}=-17+2(\frac{y}{x}+\frac{2x}{y})+4(\frac{2y}{z}+\frac{z}{y})$

$\geq 4\sqrt{2}+8\sqrt{2}-17=12\sqrt{2}-17$

Bài xx (IMO 2006). Tìm hằng số $M$ nhỏ nhất sao cho  bất đẳng thức

\[\left | ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2) \right | \leqslant M(a^2+b^2+c^2)^2,\]

luôn đúng với mọi số thực $a,\,b,\,c$ thay đổi tùy ý.

Chuẩn hóa $a^2+b^2+c^2=1$

Ta có: $\left | ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2) \right |=\left |(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) \right |\leq M$

Giả sử $c$ =min {a,b,c}

Áp dụng BĐT AM-GM: $\left [ 3(a^2+b^2+c^2) \right ]^2=\left [ 2(a-b)^2+(a+b+c)^2+2(a-c)(b-c) \right ]^2$

$\geq 4\left [ 2(a-b)^2+(a+b+c)^2 \right ].2(a-c)(b-c)\geq 16\sqrt{2}(a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)$

$=>(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)\geq -\frac{9(a^2+b^2+c^2)^2}{16\sqrt{2}}=\frac{-9}{16\sqrt{2}}$

Do đó $M=\frac{9\sqrt{2}}{32}$

Spoiler

Nhác tìm dấu bằng quá

 Bài 106 ( IMO Shortlist 2008 ) Cho các số thực dương $a,b,c,d$ thoả mãn $abcd=1$ và $a+b+c+d> \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}$ thì

$$a+b+c+d< \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{d}{c}+\frac{a}{d}$$

Ta có:$\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{a}{d}\geq 4a$ (AM-GM cho 4 số)

Tương tự với 3 BĐT kia rồi cộng lại được:

$3\sum \frac{a}{b}+\sum \frac{b}{a}\geq 4\sum a>3\sum \frac{a}{b}+\sum a$ (theo giả thiết)

=> ĐPCM

Bài 105: (Japanese 1997) Cho $a,b,c$ là những số thực dương.Chứng minh rằng $\frac{(b+c-a)^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{(a+c-b)^{2}}{b^{2}+(a+c)^{2}}+\frac{(b+a-c)^{2}}{c^{2}+(b+a)^{2}}\geq \frac{3}{5}$

VÌ BĐT là thuần nhất nên ta chuẩn hóa $a+b+c=1$

Ta có:$\frac{(1-2a)^2}{a^2+(1-a)^2}\geq \frac{23-54a}{25}$ ( bằng cách biến đổi tương đương)

Tương tự: $\frac{(1-2b)^2}{b^2+(1-b)^2}\geq \frac{23-54b}{25}$

$\frac{(1-2c)^2}{c^2+(1-c)^2}\geq \frac{23-54c}{25}$

Cộng ba BĐT trên => ĐPCM

Bài 108: (APMO 2004):

 

Cho a,b,c là 3 số thực không âm. Chứng minh: $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geqslant 9(ab+ac+bc)$

Câu này có một cách sử dụng Dirichlet

Ta có: $9\sum ab\leq 3(\sum a)^2$

Cần chứng minh: $\prod (a^2+2)\geq 3(\sum a)^2$

Theo Dirichlet giả sử $(b^2-1)(c^2-1)\geq 0$

Ta có: $(b^2+2)(c^2+2)=3(b^2+c^2+1)+(b^2-1)(c^2-1)\geq 3(b^2+c^2+1)$

$3(a^2+1+1)(1+b^2+c^2)\geq 3(a+b+c)^2$

=> ĐPCM

Nhờ Anh chia sẻ cách tìm bđt tô đỏ trên ạ

Ta sẽ tìm số thực k sao cho $\frac{(1-2a)^2}{a^2+(1-a)^2}\geq \frac{1}{5}+k(a-\frac{1}{3})$

Cho $a=\frac{1}{3}$ thì thu được $k=\frac{-54}{25}$

Từ đó thay vào.

Câu 10: CMR:

$\frac{1+a^2b^2}{(a-b)^2}+\frac{1+b^2c^2}{(b-c)^2}+\frac{1+c^2a^2}{(c-a)^2}\geq \frac{3}{2}$ (bosnia-herzegovina TST 2014)

Còn có câu a với b nữa nhỉ

Tính $\frac{1+ab}{a-b}.\frac{1+bc}{b-c}+\frac{1+bc}{b-c}.\frac{1+ca}{c-a}+\frac{1+ca}{c-a}.\frac{1+ab}{a-b}$

$\frac{1-ab}{a-b}.\frac{1-bc}{b-c}+\frac{1-bc}{b-c}.\frac{1-ca}{c-a}+\frac{1-ca}{c-a}.\frac{1-ab}{a-b}$

Thôi được rồi, có bài gì thì tiếp tục post lên nào 

Và chúng ta vẫn đang tiếp tục làm công việc đó...

Nhắc mới nhớ... Violympic bao giờ mới biết giải đây, đúng 1 tuần rồi!

Cũng lâu thiệt, casio 1 tháng rồi

Khổ thân cho mấy người đã chót dại ấn theo dõi cái topic này, chúng ta nhiều chuyện thế này họ xem thông báo chóng mặt mất!

Phải công nhận chúng ta nhiều chuyện thật, chắc đã làm không ít người đau đầu rồi

Cũng được thôi, có điều ta ko làm được như mi 

Thôi đi ngủ đã, ngồi trước máy tính cả buổi sáng rồi, mi cứ ở đó mà chém 

Thứ 4 đi ăn sinh nhật Hướng, Hướng trả tiền xe nghe

Hoang tưởng Nặng!

Nhưng mà cũng phải công nhận giờ thích học anh hơn học toán, học toán nhiều quá cũng không tốt, đầu óc mụ mẫm

Nhiêu đó thôi, có còn hơn không, tôi sắp cạn khí rồi!

Không khí xung quanh bà kìa