Bài tiếp:

Cho x, y , z là các số dương thay đổi và thỏa điều kiện : $xy^{2}z^{2}+x^{2}z+y=3z^{2}$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = $\frac{z^{4}}{1+z^{4}(x^{4}+y^{4})}$

 

 

 

102) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a+b+c=1$. Cmr: $\sum \sqrt{a+bc}\geq 1+\sum \sqrt{ab}$

 

vì $a+b+c=1$ nên bdt trở thành: $\sum \sqrt{a+bc}\geq \sum a+\sum \sqrt{ab}$

và ta dễ dàng CM được: $\sqrt{a+bc}\geq a+\sqrt{ab}$

(chỉ cần BP 2 vế và sử dụng ĐK $a+b+c=1$ là OK!)

từ đây suy ĐPCM.

$"="\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

105) Cho $x;y;z>0$ thỏa: $x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}=\frac{4}{3}$. Tìm Min $A=x+y+z$

105.

áp dụng AM-GM ta có: $\sqrt{xy}\leq \frac{x}{4}+y$

$\sqrt[3]{xyz}\leq \frac{\frac{x}{4}+y+4z}{3}$

$\frac{4}{3}=x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\leq \frac{4(x+y+z)}{3}\Rightarrow x+y+z\geq 1$

 

46) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Cmr: $\sum \frac{1}{a^2+b^2}\leq \frac{\sum a^3}{2abc}+3$

$\sum \frac{1}{a^2+b^2}\leq \frac{\sum a}{2abc}\leq \frac{\sum a^3+6abc}{2abc}\leq \frac{\sum a^3}{2abc}+3."="\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

40) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Cmr: $\sum \frac{a}{b^2+c^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

từ đk ta được BDT:

$\sum \frac{a}{1-a^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

ta có: $2=2\left ( 1-a^2 \right )+2a^2\geq 3\sqrt[3]{a^2(1-a^2)^2}\Rightarrow a(1-a^2)\geq \frac{4}{27}\Rightarrow \frac{a}{1-a^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\Rightarrow \sum \frac{a}{1-a^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}(\sum a^2)=\frac{3\sqrt{3}}{2}.; "="\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Mình xin đóng góp ít bài  .

106) Cho a,b>0. Cmr: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3a}})\leq 2$

106.

$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}}+\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{3a+b}}\leq 2$

vì vai trò a,b như nhau nên ta chỉ cần chưng minh: $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}}\leq 1;\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{3a+b}}\leq 1$ là OK!

$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}}\leq 1\Leftrightarrow \sqrt{ab}\leq b   (1)$

$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{3a+b}}\leq 1\Leftrightarrow \sqrt{ab}\leq a    (2)$

từ (1) ,(2) ta được: $2\sqrt{ab}\leq a+b\Leftrightarrow \left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )^2\geq 0$ (đúng)

Mình xin đóng góp ít bài  .

108) Cho a,b,c>0 t/m: $a^2+2b^2\leq 3c^2. Cmr: \frac{1}{a}+\frac{2}{b}\geq \frac{3}{c}$

108.

ta có:

$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\geq \frac{9}{a+2b}\geq \frac{9}{3(a^2+2b^2)}\geq \frac{3}{c}$

Cho $a=b=c;k=2$ sai nha!

Hình như C/m:$VT\geq \frac{3}{2^{k}}$

đề đúng mà, nếu là chứng minh $VT\geq \frac{3}{2^{k}}$ ai làm cũng được!

122.    Cho $k\geq 0, a,b,c\geq 0$. CMR:

$\left ( \frac{a}{b+c} \right )^k+\left ( \frac{b}{a+c} \right )^k+\left ( \frac{c}{a+b} \right )^k\geq min \begin{Bmatrix} 2,\frac{3}{2} \end{Bmatrix}$

mình nghĩ bài này bạn giải có vđ vì từ  doạn tô màu ko thể suy ra (1) và (2)

$\sqrt{ab}\leq a;\sqrt{ab}\leq b$

đây là điều mà ta cần chứng minh.

ta cộng 2 bdt lại ta được: $2\sqrt{ab}\leq a+b\Leftrightarrow \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )^2\geq 0$ (đúng)

đây là cmpc đó ban!

110) Cho a,b,c>0 t/m: a+b+c=1. Cmr: $a\sqrt[3]{1+b-c}+b\sqrt[3]{1+c-a}+c\sqrt[3]{1+a-b}\leq 1$

áp dụng AM-GM ta có: $\sum a\sqrt[3]{1+b-c}=\sum \sqrt[3]{a^2(a+ab-ac)}\leq \sum \frac{3a+ab-ac}{3}=\frac{3(a+b+c)}{3}=1; "="\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

...

37) Cho $x;y;z>0$ thỏa: $xyz=1$. Tìm Min $P=\sum \frac{x^9+y^9}{x^6+x^3y^3+y^6}$

$\sum \frac{x^9+y^9}{x^6+x^3y^3+y^6}= \sum\frac{(x^3+y^3)(x^6-x^3y^3+y^6)}{x^6+x^3y^3+y^6}\geq \frac{1}{3}\sum \left ( x^3+y^3 \right )=\frac{2}{3}\left ( x^3+y^3+z^3 \right )\geq 2;"="\Leftrightarrow x=y=z=1$

 

 

 

32) Cho $x+y+z=0$. Tìm Min $P=\sum \sqrt{3+4^x}$

 

c3:

$\sum \sqrt[3]{3+4^x }\geq 4\sum \sqrt[8]{4^x}\Rightarrow P\geq 6\sqrt[24]{4^{x+y+x}}=6$

 

 

24) Cho $a;b;c;d>0$. Cmr: $\sum \frac{a^3}{a^2+b^2}\geq \frac{a+b+c+d}{2}$

 

 

kĩ thuật Cauchy nguọc dấu:

$\sum \frac{a^3}{b^2+c^2}\geq \sum a-\sum \frac{b}{2}=\frac{a+b+c+d}{2}$

 $"="\Leftrightarrow a=b=c=d>0$

 

 

22) Cho $x;y;z>0$ thỏa $xy^2z^2+x^2z+y=3z^2$. Tìm Max $Q=\frac{z^4}{1+z^4(x^4+y^4)}$

$xy^2z^2+x^2z+y=3z^2\Leftrightarrow xy^2+x^2\frac{1}{z}+y\frac{1}{z^2}=3$

$\Rightarrow P=\frac{1}{\frac{1}{z^4}+x^4+z^4}$

ta có: $\sum \left ( x^4+y^4+1+1 \right )\geq 4\sum xy^2$

$\Rightarrow x^4+y^4+\frac{1}{z^4}\geq \frac{4}{3}\left ( xy^2+y\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z}x^2 \right )=3\Rightarrow MaxP=\frac{1}{3};"="\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

15) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a+b+c=3$. Cmr: $\sum \sqrt{1+a^2+2bc}\leq 6$

ta có:

  $\sum \sqrt{1+a^2+2bc}\leq \frac{1}{2}.\sum \frac{15+\sum a^2+2\sum bc}{2}=\frac{1}{2}\frac{15+(a+b+c)^2}{2}=6$

$"=" \Leftrightarrow a=b=c=1$

8)

$\sum \sqrt[3]{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}=\sum \sqrt[3]{\frac{1}{1+(\frac{b+c}{a})^3}}=\sum \sqrt[3]{\frac{1}{1+x^3}}=\sum \frac{1}{\sqrt{(1+x)(x^2-x+1}}\geq \sum \frac{2}{x^2+2}=\sum \frac{2}{(\frac{b+c}{a})^2+2}=\sum \frac{2a^2}{(b+c)^2+2a^2}\geq \sum \frac{2a^2}{2(b^2+c^2)+2a^2}=\sum \frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}=1$

P/s: Đặt $\frac{b+c}{a}=x$ cho dễ nhìn.

chỗ này sai thì phải, đang ở dạng căn bậc 3, lại bằng căn hai, xem lại nhé!

6) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}\geq 2$

ta có: $\sum \sqrt{\frac{a(b+c}{a^2+bc}}=\sum \frac{a(b+c}{\sqrt{(ab+ac)(a^2+bc)}}\geq \sum \frac{2(ab+ac)}{(a+b)(a+c)}$

giwof ta chỉ cần chứng minh rằng: $\sum \frac{a(b+c)}{(a+b)(a+c)}\geq 1\Leftrightarrow \sum a(b+c)^2\geq \sum (a+b)(b+c)(c+a)\Leftrightarrow 4abc\geq 0$

$"="\Leftrightarrow (a;b;c)=\left(x;0;0 \right)$ và các hoán vị của chúng.

 

21) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Cmr: $\sum \frac{a^2}{1+b-a}\geq 1$

 

 

 

$\sum \left [\frac{a^2}{1+b-a}+a^2(1+b-a)  \right ]\geq 2\sum a^2
\Rightarrow \sum \frac{a^2}{1+b-c}\geq \sum a^2=1
"="\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

 

19) Cho $x;y;z>0$ thỏa: $\sum \frac{1}{1+x}\geq 2$.

Tìm Max $B=xyz$

 

 

33) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm Min $A=\sum \frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}$

 

c2: áp dụng bunhiacopxki.

$P=\sum \frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}=\sum \frac{a^4}{a\sqrt{b^2+3}}\geq \frac{(\sum b^2)^2}{\sum a\sqrt{b^2+3}}\geq \frac{(\sum b^2)^2}{\sqrt{(\sum a^2)(\sum a^2+9)}}=\frac{3^2}{\sqrt{3.12}}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$

 Đẳng thức xảy ra tại $a=b=c=1$

 

 

33) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm Min $A=\sum \frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}$

 

c1:dùng holder.

$\left (\sum \frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}} \right )^2(\sum b^2+9)\geq \left ( a^2+b^2+c^2 \right )^3 \Rightarrow \sum \frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}\geq \frac{3}{2}. "="\Leftrightarrow a=b=c=1$

 

 

 

32) Cho $x+y+z=0$. Tìm Min $P=\sum \sqrt{3+4^x}$

 

ta có: $\sum \sqrt{3+4^{x}}\geq \sqrt{\left (3\sqrt{3} \right )^2+(3.4^{x+y+z})^2}=6$

$"="\Leftrightarrow a=b=c=0$

 

 

34) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a+b+c=\frac{3}{4}$. Tìm Min $P=\sum \frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}$

 

 

 

c2: dùng cauchy-schwartz.

$\sum \frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}\geq  \frac{9}{\sum \sqrt[3]{a+3b}}\geq \frac{27}{4(a+b+c)+6}=3."="\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{4}$

 

Tổng quát:
31) Cho $a;b;c\geq 0$. Cmr: $\sum \sqrt[n]{a^n+b^n}\geq \sqrt[n]{2}.\sum a$

 

 

 

ta có: $x+y\leq \sqrt[n]{2^{n-1}(x^n+y^n)} $bạn dễ dàng chứng minh được với mọi x;y>0

áp dụng ta được:

$\sum \sqrt[n]{a^n+b^n}\geq\frac{2}{\sqrt[n]{2^{n-1}}(a+b+c)}=\sqrt[n]{2}(\sum a)$

$"="\Leftrightarrow a=b=c>0$