Bài 411: $\begin{cases} & xy-y^{2}+2y-x-1=\sqrt{y-1}-\sqrt{x}(1) \\ & 3\sqrt{6-y}+3\sqrt{2x+3y-7}=2x+7(2) \end{cases}$

Ta có:

$$(1)\Leftrightarrow (y-1)(x-y+1)=\frac{y-1-x}{\sqrt{y-1}+\sqrt{x}}$$

$$\Leftrightarrow (x-y+1)(y-1+\frac{1}{\sqrt{y-1}+\sqrt{x}})=0$$

Dễ thấy $y-1+\frac{1}{\sqrt{y-1}+\sqrt{x}}>0$ do $y\geq 1$. Do đó $x-y+1=0\Leftrightarrow x=y-1$

Đến đây thế xuống phương trình $(2)$, được:

$$3\sqrt{6-y}+3\sqrt{5y-9}=2y+5$$

Giải PT này không khó, giải ra được $\begin{bmatrix} y=2 \\ y=5 \end{bmatrix}$

Vậy nghiệm của hệ là $(x,y)=(1;2);(4;5)$

Bài 227: $x^{2}+\sqrt{2x-3}=5x-5$

 

$x^{2}+\sqrt{2x-3}=5x-5\Rightarrow \sqrt{2x-3}=-x^2+5x-5\Rightarrow 2x-3=(x^2-5x+5)^2\Rightarrow x^4-10x^3+35x^2-52x+28=0\Rightarrow (x-2)^2(x^2-6x+7)=0$

Bài 410: $\begin{cases} & (x+2)\sqrt{x-1}=y^{3}+3y (1)\\ & x^{2}+y^{2}= (x+2)\sqrt{y^{4}+1}(2) \end{cases}$

Ta có:

$$(1)\Leftrightarrow (x-1)\sqrt{x-1}+3\sqrt{x-1}=y^3+3y\Leftrightarrow (\sqrt{x-1})^3+3\sqrt{x-1}=y^3+3y\Leftrightarrow \sqrt{x-1}=y$$

Thế xuống PT $(2)$:

$$x^2+x-1=(x+2)\sqrt{x^2-2x+2}$$

PT này có thể giải bằng cách bình phương $2$ vế, thu được: $$x^2-2x-7=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=1-2\sqrt{2} \\ x=1+2\sqrt{2} \end{bmatrix}$$

Bài 406: $\sqrt{\frac{x-7}{2011}}+\sqrt{\frac{x-6}{2012}}+\sqrt{\frac{x-5}{2013}}=\sqrt{\frac{x-2011}{7}}+\sqrt{\frac{x-2012}{6}}+\sqrt{\frac{x-2013}{5}}$

Bài 406:

$\sqrt{\frac{x-7}{2011}}+\sqrt{\frac{x-6}{2012}}+\sqrt{\frac{x-5}{2013}}=\sqrt{\frac{x-2011}{7}}+\sqrt{\frac{x-2012}{6}}+\sqrt{\frac{x-2013}{5}}$

$\Leftrightarrow (\sqrt{\frac{x-7}{2011}}-1)+(\sqrt{\frac{x-6}{2012}}-1)+(\sqrt{\frac{x-5}{2013}}-1)=(\sqrt{\frac{x-2011}{7}}-1)+(\sqrt{\frac{x-2012}{6}}-1)+(\sqrt{\frac{x-2013}{5}}-1)$

$\Leftrightarrow \frac{x-2018}{2011(\sqrt{\frac{x-7}{2011}}+1)}+\frac{x-2018}{2012(\sqrt{\frac{x-6}{2012}}+1)}+\frac{x-2018}{2013(\sqrt{\frac{x-5}{2013}}+1)}=\frac{x-2018}{7(\sqrt{\frac{x-2011}{7}}+1)}+\frac{x-2018}{6(\sqrt{\frac{x-2012}{6}}+1)}+\frac{x-2018}{5(\sqrt{\frac{x-2013}{5}}+1)}$

$\Leftrightarrow x=2018$

 

Bài 553: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &2x+\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x-y}=\dfrac{16}{3} \\ &2(x^{2}+y^{2})+\dfrac{1}{(x+y)^{2}}+\dfrac{1}{(x-y)^{2}}=\dfrac{100}{9} \end{matrix}\right.$

 

Ta có:

$HPT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} [(x-y)+\frac{1}{x-y}]+[(x+y)+\frac{1}{x+y}]=\frac{16}{3} \\ [(x-y)+\frac{1}{x-y}]^2+[(x+y)+\frac{1}{x+y}]^2=\frac{136}{9} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \begin{bmatrix} (x-y)+\frac{1}{x-y}=2;(x+y)+\frac{1}{x+y}=\frac{10}{3} \\ (x-y)+\frac{1}{x-y}=\frac{10}{3}; (x+y)+\frac{1}{x+y}=2 \end{bmatrix}\Leftrightarrow\begin{bmatrix} x=\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3} \\ x=\frac{2}{3},y=\frac{1}{3} \\ x=\frac{2}{3},y=-1 \\ x=2,y=1 \end{bmatrix}$

Happy new year!

Tìm min $\sum \frac{a}{\sqrt{b}-3}$ biết a,b,c >9

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz, ta có:

 $\sum \frac{a}{\sqrt{b}-3}\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}-9}$

Đặt $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=x\Rightarrow \sum \frac{a}{\sqrt{b}-3}\geq \frac{x^2}{x-9}$

Đặt $\frac{x^2}{x-9}=A\Rightarrow x^2-Ax+9A=0$. Để PT có nghiệm thì $\Delta =A^2-36A\geq 0\Leftrightarrow A(A-36)\geq 0\Leftrightarrow A\geq 36$

Vậy $min=36\Leftrightarrow a=b=c=36$

Chỗ màu đỏ đã sai, phải là căn bậc $4$ mới đúng

Hì! Nhầm! Em sử rồi đó!

Hoặc tới chỗ đấy không cần đặt A, tách rồi cô si luôn

Cách đấy thế nào vậy?

Để PT có nghiệm thì $\Delta =A^2-36A\geq 0\Leftrightarrow A(A-36)\geq 0\Leftrightarrow A\geq 36$ 

A=0 thì pt vx có nghiệm kép nên chưa thể suy ra A>=36 đc

$x,y,z>9$ thì $A$ luôn $>0$ mà!

 

Bài 4:Cho x,y,z là các số thực dương.Cmr:

$\sum \frac{1+yz+zx}{(1+x+y)^2}\geq 1$

                  _THE END_

Bài này có một lời giải bằng $Cauchy-schwarz$ rất đẹp:

$$\sum \frac{1+yz+zx}{(1+x+y)^2}=\sum \frac{[1+z(x+y)](1+\frac{x+y}{z})}{(1+x+y)^2(1+\frac{x+y}{z})}\geq \sum \frac{(1+x+y)^2}{(1+x+y)^2.\frac{x+y+z}{z}}=\sum \frac{z}{x+y+z}=1.$$

Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=z=1$.

Góp vui một câu  :

Cho $a;b;c$ là số đo ba cạnh của một tam gác có chu vi là $2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $a^2+b^2+c^2+2abc$

Áp dụng BĐT $abc\geq (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$, ta có:

$$abc\geq (2-2a)(2-2b)(2-2c)=-8abc+8(ab+bc+ca)-8(a+b+c)+8\Rightarrow 2abc\geq \frac{16(ab+bc+ca)-16(a+b+c)+16}{9}=\frac{16}{9}(ab+bc+ca)-\frac{16}{9}$$

Do đó:

$$a^2+b^2+c^2+2abc\geq a^2+b^2+c^2+\frac{16}{9}(ab+bc+ca)-\frac{16}{9}=(a+b+c)^2-\frac{2(ab+bc+ca)}{9}-\frac{16}{9}\geq (a+b+c)^2-\frac{2(a+b+c)^2}{27}-\frac{16}{9}=\frac{52}{27}$$

có ai bit về phương pháp u.c.t  trong cm bất đẳng thức k ?  bày vs

Tài liệu này cũng khá hay:

 Phương pháp UCT- CM BĐT.zip   537.51K   248 Số lần tải

Mình cũng đã học đâu,đọc tài liệu thì biết thôi!

Cho $x,y,z$ dương thoả mãn $xyz=1$

Tìm max $A=\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}+\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}+\frac{ca}{c^{5}+a^{5}+ca}$

Ô! Bài này là đề thi GV giỏi trường em! Em làm thế này ko biết đúng không ?

Dễ chứng minh : $x^5+y^5\geq xy(x^3+y^3)$ và $x^3+y^3\geq xy(x+y)$

Áp dụng BĐT trên vào ta được:

$A\leq \sum \frac{ab}{ab(a^3+b^3)+ab}=\sum \frac{abc}{abc(a^3+b^3)+abc}= \sum \frac{1}{a^3+b^3+1}\leq \sum \frac{1}{ab(a+b)+1}=\sum \frac{c}{abc(a+b)+c}=\sum \frac{c}{a+b+c}=1$

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1

biết xyzt=1 và x,y,z,t>0. cm: $\frac{1}{x^{3}(zy+zt+yt)}+\frac{1}{y^{3}(xz+zt+xt)}+\frac{1}{z^{3}(xy+yt+xt)}+\frac{1}{t^{3}(xy+yz+xz)}\geq \frac{4}{3}$

Áp dụng BĐT schwarz, Cauchy có:

$\frac{1}{x^{3}(zy+zt+yt)}+\frac{1}{y^{3}(xz+zt+xt)}+\frac{1}{z^{3}(xy+yt+xt)}+\frac{1}{t^{3}(xy+yz+xz)}= \frac{\frac{1}{x^2}}{x(zy+zt+yt)}+\frac{\frac{1}{y^2}}{y(xz+zt+xt)}+\frac{\frac{1}{z^2}}{z(xy+yt+xt)}+\frac{\frac{1}{t^2}}{t(xy+yz+xz)}\geq \frac{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})^2}{3(xyz+xzt+xyt+yzt)}=\frac{(xyz+xzt+xyt+yzt)^2}{3(xyz+xzt+xyt+yzt)}=\frac{xyz+xzt+xyt+yzt}{3}\geq \frac{4\sqrt[4]{(xyzt)^3}}{3}=\frac{4}{3}$

Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. CMR b+c$\geq$ 16abc

Ta có:

VT=$\sum \frac{\frac{1}{x^2}}{x(y+z)}\geq \frac{(\sum \frac{1}{x})^2}{2\sum xy}=\frac{\sum \frac{1}{x}}{2}\geq \frac{3\frac{1}{\sqrt[3]{xyz}}}{2}=\frac{3}{2}(dpcm)$

A = x² + y² + $\frac{1}{x^{2}}$ + $\frac{1}{y^{2}}$ + 4

2A   = 2(  x² + y² ) +  $\frac{2(x^{2} + y^{2})}{x^{2}.y^{2}}$ + 8 

 x + y = 1 => 2(  x² + y² ) $\geq$ 1

                và 1/4  $\geq$  xy => $\frac{2(x^{2} + y^{2})}{x^{2}.y^{2}}$  $\geq$ 16 => 2A  $\geq$  25 => A  $\geq$  12,5

  Dấu = xảy ra khi và chỉ khi : x = y = 1/2

phải là $2A\geq 1+16+8=25\Rightarrow A\geq \frac{25}{2}$ chứ?

Cho x,y thỏa mãn $2x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}=4$ (x khác 0)

Tìm min xy.

Áp dụng AM-GM ta có:

$(x+\frac{1}{x})^{2}+(y+\frac{1}{y})^{2}\leq \frac{\left [ (x+\frac{1}{x})+(y+\frac{1}{y}) \right ]^{2}}{2}$

=$\frac{\left [(x+y)+(\frac{x+y}{xy})\right]^{2}}{2}$

Mà $xy\leq \frac{(x+y)^{2}}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{1}{xy}\geq 4\Rightarrow \frac{x+y}{xy}\geq 4$(vì x+y=1)

Do đó A=$(x+\frac{1}{x})^{2}+(y+\frac{1}{y})^{2}\leq \frac{\left [ (x+\frac{1}{x})+(y+\frac{1}{y}) \right ]^{2}}{2}$=$\frac{(1+4)^{2}}{4}$=$\frac{25}{2}$

Vậy MinA=$\frac{25}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

bạn nhầm dấu rồi, phải là $\geq$ chứ!

$xyz=1\Rightarrow x+y+y^{3}z=x+y+\frac{y^{2}}{x}=\frac{x^{2}+xy+y^{2}}{x}$

$\Rightarrow \frac{x^{2}}{x+y+y^{3}z}=\frac{x^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}$

Dễ có $(x+y+z)^{2}\geq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})\Rightarrow \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}\geq \frac{x+y+z}{3}$

          $x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3$(do xyz=1)                

Khi đó bđt cần chứng minh $\Leftrightarrow \frac{x^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}+\frac{y^{2}}{y^{2}+yz+z^{2}}+\frac{z^{3}}{z^{2}+zx+x^{2}}$$\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x+y+z)}=\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}\geq \frac{x+y+z}{3}\geq \frac{3\sqrt[3]{xyz}}{3}=1$

Vậy ta có đpcm

Chỗ màu xanh nhầm dấu anh ơi!

Biết x,y dương và  $x+y+z =4$ chứng minh $x+y \geq xyz$

Áp dụng bđt $(a+b)^2\geq 4ab$

$16(x+y)=(x+y+z)^2(x+y)\geq 4(x+y)z(x+y)=4z(x+y)^2\geq 16xyz\Rightarrow x+y\geq xyz$ (đpcm)

Cho 3 số x,y,z thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm GTLN $B=xy+yz+xz$

ý tưởng xuất phát từ đâu vậy ban?

$(a^3+b^3)(a+b)=(a^5+b^5)(a+b)$\geq \left ( a^{3} \right+b^{3} )^{2}\Rightarrow a+b\geq a^{3}+b^{3}\Rightarrow 1\geq a^{2}-ab+b^{2}\Rightarrow 1+ab\geq a^{2}+b^{2}$  (đpcm)

Cho a,b là các số dương thỏa mãn: $a^3+b^3=a^5+b^5$. Chứng minh rằng: $a^2+b^2\leq 1+ab$

bạn có thể xem tại http://diendantoanho...1y2geq-frac252/