Chủ đề này có 1205 trả lời

[Element hero Neos]

cho$x,y> 0,x+y=1.tìm GTNN của$

$A=\left ( x+\frac{1}{x} \right )^{2}+\left ( y+\frac{1}{y} \right )^{2}$

Áp dụng AM-GM ta có:

$(x+\frac{1}{x})^{2}+(y+\frac{1}{y})^{2}\leq \frac{\left [ (x+\frac{1}{x})+(y+\frac{1}{y}) \right ]^{2}}{2}$

=$\frac{\left [(x+y)+(\frac{x+y}{xy})\right]^{2}}{2}$

Mà $xy\leq \frac{(x+y)^{2}}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{1}{xy}\geq 4\Rightarrow \frac{x+y}{xy}\geq 4$(vì x+y=1)

Do đó A=$(x+\frac{1}{x})^{2}+(y+\frac{1}{y})^{2}\leq \frac{\left [ (x+\frac{1}{x})+(y+\frac{1}{y}) \right ]^{2}}{2}$=$\frac{(1+4)^{2}}{4}$=$\frac{25}{2}$

Vậy MinA=$\frac{25}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

[Element hero Neos]

cho$x,y> 0,x+y=1.tìm GTNN của$

$A=\left ( x+\frac{1}{x} \right )^{2}+\left ( y+\frac{1}{y} \right )^{2}$

Bạn cũng có thể xem ở đây nhé, cả đây và đây nữa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 10-11-2015 - 21:50

[tpdtthltvp]

Áp dụng AM-GM ta có:

$(x+\frac{1}{x})^{2}+(y+\frac{1}{y})^{2}\leq \frac{\left [ (x+\frac{1}{x})+(y+\frac{1}{y}) \right ]^{2}}{2}$

=$\frac{\left [(x+y)+(\frac{x+y}{xy})\right]^{2}}{2}$

Mà $xy\leq \frac{(x+y)^{2}}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{1}{xy}\geq 4\Rightarrow \frac{x+y}{xy}\geq 4$(vì x+y=1)

Do đó A=$(x+\frac{1}{x})^{2}+(y+\frac{1}{y})^{2}\leq \frac{\left [ (x+\frac{1}{x})+(y+\frac{1}{y}) \right ]^{2}}{2}$=$\frac{(1+4)^{2}}{4}$=$\frac{25}{2}$

Vậy MinA=$\frac{25}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

bạn nhầm dấu rồi, phải là $\geq$ chứ!

[tpdtthltvp]

Cho x,y thỏa mãn $2x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}=4$ (x khác 0)

Tìm min xy.

[kuhaza]

cho$x,y> 0,x+y=1.tìm GTNN của$

$A=\left ( x+\frac{1}{x} \right )^{2}+\left ( y+\frac{1}{y} \right )^{2}$

A = x² + y² + $\frac{1}{x^{2}}$ + $\frac{1}{y^{2}}$ + 4

2A   = 2(  x² + y² ) +  $\frac{2(x^{2} + y^{2})}{x^{2}.y^{2}}$ + 8 

 x + y = 1 => 2(  x² + y² ) $\geq$ 1

                và 1/4  $\geq$  xy => $\frac{2(x^{2} + y^{2})}{x^{2}.y^{2}}$  $\geq$ 16 => 2A  $\geq$  25 => A  $\geq$  12,5

  Dấu = xảy ra khi và chỉ khi : x = y = 1/2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kuhaza: 11-11-2015 - 19:35

[tpdtthltvp]

A = x² + y² + $\frac{1}{x^{2}}$ + $\frac{1}{y^{2}}$ + 4

2A   = 2(  x² + y² ) +  $\frac{2(x^{2} + y^{2})}{x^{2}.y^{2}}$ + 8 

 x + y = 1 => 2(  x² + y² ) $\geq$ 1

                và 1/4  $\geq$  xy => $\frac{2(x^{2} + y^{2})}{x^{2}.y^{2}}$  $\geq$ 16 => 2A  $\geq$  25 => A  $\geq$  12,5

  Dấu = xảy ra khi và chỉ khi : x = y = 1/2

phải là $2A\geq 1+16+8=25\Rightarrow A\geq \frac{25}{2}$ chứ?

[tpdtthltvp]

Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. CMR b+c$\geq$ 16abc

[le truong son]

$Ta có a+b+c\geq 2\sqrt{a(b+c)}<=>1\geq 4a(b+c) <=>b+c\geq 4a(b+c)^{2}\geq 16abc$

[Element hero Neos]

bạn nhầm dấu rồi, phải là $\geq$ chứ!

Nếu $a^{2}+b^{2}\geq\frac{(a+b)^{2}}{2}$ thì đúng là mình sai rồi, như vậy sửa thành dấu "=" thì ra min

[Element hero Neos]

Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. CMR b+c$\geq$ 16abc

đây

[Element hero Neos]

$Ta có a+b+c\geq 2\sqrt{a(b+c)}<=>1\geq 4a(b+c) <=>b+c\geq 4a(b+c)^{2}\geq 16abc$

Thiếu dấu "=" xảy ra rồi

Dấu "=" xảy ra khi a=b+c=0.5

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 11-11-2015 - 21:24

[vutuannam]

cho a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác thỏa mãn

$\frac{c^{2013}}{a+b-c}+\frac{b^{2013}}{a-b+c}+\frac{a^{2013}}{b+c-a}=a^{2012}+b^{2012}+c^{2012}$

chứng minh tam giác đó là tam giác đều

[Element hero Neos]

Cho x,y thỏa mãn $2x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}=4$ (x khác 0)

Tìm min xy.

Bài trên gần giống bài này

[vutuannam]

cho a,b,c>0.CMR$\frac{a^{5}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{5}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{5}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}$

[Element hero Neos]

cho a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác thỏa mãn

$\frac{c^{2013}}{a+b-c}+\frac{b^{2013}}{a-b+c}+\frac{a^{2013}}{b+c-a}=a^{2012}+b^{2012}+c^{2012}$

chứng minh tam giác đó là tam giác đều

Chuyển vế, rút $a^{2012},b^{2012},c^{2012}$ ra được $\left\{\begin{matrix} a=b & \\ b=c & \\ c=a & \end{matrix}\right.$

Vậy ta có đpcm 

[Element hero Neos]

cho a,b,c>0.CMR$\frac{a^{5}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{5}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{5}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}$

Gợi ý: áp dụng bổ đề $(a+b)^{3}\geq ab(a+b)$ 

[Element hero Neos]

cho a,b,c>0.CMR$\frac{a^{5}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{5}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{5}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}$

áp dụng bổ đề $(a+b)^{3}\geq ab(a+b)$

[vutuannam]

Chuyển vế, rút $a^{2012},b^{2012},c^{2012}$ ra được $\left\{\begin{matrix} a=b & \\ b=c & \\ c=a & \end{matrix}\right.$

Vậy ta có đpcm 

chưa hẳn$\frac{a}{b+c-a}-1$ luôn ko âm, lm sao kết luận luôn đc

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuannam: 11-11-2015 - 21:55

[vutuannam]

áp dụng bổ đề $(a+b)^{3}\geq ab(a+b)$

 

áp dụng bổ đề $(a+b)^{3}\geq ab(a+b)$

 

áp dụng bổ đề $(a+b)^{3}\geq ab(a+b)$

bạn chỉ ra ra một chút đc ko

[HoangVienDuy]

cho a,b,c>0.CMR$\frac{a^{5}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{5}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{5}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}$

Áp dụng BĐT CBS dạng Engel ta có: $\sum \frac{a^{6}}{a^{3}+ab(a+b)}\geq \frac{(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}}{\sum a^{3}+\sum ab(a+b)}\geq \frac{(\sum a^{3})^{2}}{\sum a^{3}+\sum (a^{3}+b^{3})}\geq \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}$ (sử dụng bổ đề $x^{3}+y^{3}\geq xy(x+y)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangVienDuy: 13-11-2015 - 20:33