PTS hay sao mà đùi trắng hơn cả dùng OMO thế

Tắm bằng nước javen 3 lần/ ngày

Bài 112: Cho x,y,z > 0 và $x^2+y^2+z^2=3$
CMR: $\frac{(x^2+y^2+z^2)^3}{(x^3+y^3+z^3)^2}\leq 3$
Singapore MO 2001
Bài này mặc dù là bài thi quốc tế nhưng bài này khá đơn giản

CM: ĐPCM $\Leftrightarrow (x^3+y^3+z^3)^2\geq\frac{1}{3}(x^2+y^2+z^2)^3$

Ta có:$(x^3+y^3+z^3)(x^3+y^3+z^3)(1+1+1)\geq (x^2+y^2+z^2)^3$ ( Holder)
$\Rightarrow $ ĐPCM

Nhưng mà dùng Holder sẽ ngắn đi "cơ số" bước biến đổi như trên đấy Ko phải lăn tăn nhiều =))

Một bài quen thuộc

Bài 61 Giải phương trình sau $2x^2+4x=\sqrt{\frac{x+3}{2}}$

P/S 1: Giải bằng nhiều cách nhé
P/S 2: Mọi người sôi nổi lên nào

Nhân bài làm của bạn danganhaaa, mình cũng xin nói thêm về cách 3 của bạn : Đặt $2y-3=\sqrt{4x+5}$

Nhiều bạn cũng sẽ thắc mắc, tại sao lại đặt như thế

Xét phương trình $2x^2-6x-1=\sqrt{4x+5}$, ta đặt $\sqrt{4x+5}=ay+b$ để đưa về hệ đối xứng (II), nghĩa là ta có hệ sau

$\left\{\begin{matrix} (ay+b)^2=4x+5 & & \\4x^2-12x-2=2(ay+b) & & \end{matrix}\right.$, để hệ này là đối xứng, ta dễ dàng suy ra

$\left\{\begin{matrix} a=2 & & \\ b=-3 & & \end{matrix}\right.$

Vậy ta đặt $\sqrt{4x+5}=2y-3$, để đưa về hệ đối xứng.



Bài 57: Giải phương trình $x^2-2x=2\sqrt{2x-1}$. Thử áp dụng cách ở trên nhé.

Bài 56: Giải phương trình $2x^2-6x-1=\sqrt{4x+5}$

Cái trên chỉ do đánh giá cá nhân anh thôi :-?. Gửi 1 bài tương tự dùng phương pháp trên.
Bài 62: Giải phương trình
$$7x^2+7x=\sqrt{\frac{4x+9}{28}}$$

Lời giải

ĐK:..............

Đặt $\sqrt{\frac{4x+9}{28}}=y+\frac{1}{2}\Rightarrow 7(y+\frac{1}{2})^2=x+\frac{9}{4}(1)$

Mặt khác, từ đề bài, ta có

$7(x+\frac{1}{2})^2=y+\frac{9}{4}(2)$

Từ $(1)(2)$ ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix}
7(x+\frac{1}{2})^2=y+\frac{9}{4} & & \\7(y+\frac{1}{2})^2=x+\frac{9}{4}
& &
\end{matrix}\right.$

Đây là hệ đối xứng loại $(II)$, giải hệ trên, kết hợp với điều kiên, ta được

$x=\frac{5\sqrt{2}-6}{14}\vee x=\frac{-8-\sqrt{46}}{14}$

Vậy $\fbox{$x=\frac{5\sqrt{2}-6}{14}\vee x=\frac{-8-\sqrt{46}}{14}$}$.

-----------------------------------------------------------------------

Một bài quen thuộc

Bài 61 Giải phương trình sau $2x^2+4x=\sqrt{\frac{x+3}{2}}$

P/S 1: Giải bằng nhiều cách nhé
P/S 2: Mọi người sôi nổi lên nào

Lời giải khác

ĐK:..............

$PT\Leftrightarrow (x+1)^2-1=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x+1}{2}+1}$

Đặt $\sqrt{\frac{x+1}{2}+1}=y\Rightarrow \frac{x+1}{2}=y^2-1(1)$

Mặt khác, theo đầu bài, ta có

$(x+1)^2-1=\frac{1}{2}.y(2)$

Từ $(1)(2)$ ta có hệ

$\left\{\begin{matrix}
(x+1)^2-1=\frac{1}{2}.y & & \\
y^2-1=\frac{1}{2}(x+1) & &
\end{matrix}\right.$

Giải hệ trên ta được

$x=\frac{-5-\sqrt{13}}{4}\vee x=\frac{-3+\sqrt{17}}{4}$

Vậy $\fbox{$x=\frac{-5-\sqrt{13}}{4}\vee x=\frac{-3+\sqrt{17}}{4}$}$.

-------------------------------------------------------------------------------------

Cách này có thể tổng quát cho các bài dạng này à anh?

Dạng này không có tổng quát đâu, quan trọng là đặt cái căn thế nào để đưa về hệ đối xứng, giải hệ thì bạn sẽ tìm được cách đặt phù hợp.

Bài 61,62 còn một cách nữa là đưa về dạng

$\sqrt{ax+b}=c(dx+e)^2+fx+g$ trong đó các hệ số phải thoả mãn $\left\{\begin{matrix} d=ac+f & & \\e=bc+g & & \end{matrix}\right.$

Khi đó ta đặt $\sqrt{ax+b}=dy+e$

BÀi 68: GPT
$$\sqrt{\frac{x}{3}-3}+\sqrt{7-\frac{x}{3}}=2x-7-\frac{x^2}{9}$$
Bìa 69:GHPT
$$\left\{\begin{matrix} 2x^2+xy=1 & \\ \frac{9x^2}{2(1-x)^4}=1+\frac{3xy}{2(1-x)^2} & \end{matrix}\right.$$

Bài 68

Cách khác

Nhận thấy $VP$ là hàm số bậc 2, $min_{f(x)}=2 \Leftrightarrow x=\frac{-b}{2a}=9$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakopski cho $VT$, nhận thấy $VT\leq\sqrt{2.2}=2$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=9$.

Vậy $\fbox{$x=9$}$.

Bài 85. Giải phương trình sau $$\sqrt{x-1}+\sqrt[3]{3x-7}+\sqrt[4]{4x-19}+\sqrt[5]{5x-24}+\sqrt[6]{6x-29}+\sqrt[7]{30x-22}=9$$

P/S: for fun là chính

GPT: $\sqrt{x+1}+\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[3]{5x}$

Một cách THPT cho bài này

$VT=f(x)\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}}>0$

Với $x\neq \pm 1$

Nên $VT$ đồng biến $VP=g(x)$ cũng đồng biến mà $f(0)=g(0)$ nên $x=0$ là nghiệm duy nhất.

Xin đừng ..........

Bài 78. Giải phương trình $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}+x+2y+\frac{1}{2}=\sqrt{(x^2+2x+3)(-y^2+4y-2)}$

Bài 54: Giải phương trình sau $\sqrt{5x+4}-x-3=(6x+7)^2$

Cách 2: Vì $VP\geq0$ nên để phương trình có nghiệm, $VT\geq0$ hay là $\sqrt{5x+4}\geq x+3$, vô lí, vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Anh WWW ơi cho em hỏi bài 19 em vừa hỏi mà Topic anh đã khóa ạ cách giải đầu tiên em thấy có cái kiểm tra gì đó rồi mới đặt ẩn phụ là sao ạ em không hiểu ạ.

Phần 3. #147 đó bạn.

Thử giải:
$$\sqrt[3]{2x-1}=x\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{2x+1}$$
$$\Leftrightarrow \sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{2x+1}=x\sqrt[3]{16}$$
$$\Leftrightarrow (\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{2x+1})^3=(x\sqrt[3]{16})^3$$
$$\Leftrightarrow 4x+(\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{2x+1})\sqrt[3]{4x^2-1}=16x^3$$
$$\Rightarrow x\sqrt[3]{16}.\sqrt[3]{4x^2-1}=16x^3-4x$$

___________________________________________
P\s: Bạn có nhận xét gì về lời giải trên, liệu nó có đúng hay là sai, cùng thảo luận nhé !!!

Nhận xét 1: Theo mình thì cơ bản là lời giải của bạn đúng hướng, nhưng hình như nhầm trong tính toán thì phải

Nhận xét 2: Từ phần này, để không đưa bậc của phương trình lên quá cao, ta có nhận xét sau:

Nhận thấy, $x=0;\pm \frac{1}{2}$ là nghiệm (sao bạn lại bỏ nghiêm $x=-\frac{1}{2}$ nhỉ?).

Xét $x\neq \pm \frac{1}{2};0$

Phương trình trở thành $3\sqrt[3]{16}=4\sqrt[3]{(4x^2-1)^2}\Leftrightarrow (4x^2-1)^2=\frac{27}{4}\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{\frac{2+3\sqrt{3}}{8}}$

Thử lại thấy đúng. Vậy ........

P/S: cái bước thế ở trên, chỉ cho phương trình hệ quả, ra nghiệm phải thử lại . Lần đầu mình làm bài này đã ngộ nhận chỗ đấy

Bài 35:
Giải phương trình sau: $\sqrt{x^2+x-6}+3\sqrt{x-1}=\sqrt{3x^2-6x+19}$

Lời giải khác:

Biến đổi hệ quả (lười tìm điều kiện ) ta được

$PT\Leftrightarrow x^2+x-6+9(x-1)+2\sqrt{(x-1)(x-2)(x+3)}=3x^2-6x+19$

Làm gọn lại 2 vế, phương trình viết lại là

$x^2-8x+17=\sqrt{(x^2+2x-3)(x-2)}$

Đặt $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+2x-3}=a & & \\\sqrt{x-2}=b & & \end{matrix}\right.$

Nhận thấy $x^2-8x+17=(x^2+2x-3)-10(x-2)$

Phương trình được viết lại thành

$a^2-10b^2=ab\Leftrightarrow a=\frac{1\pm \sqrt{41}}{2}$

Đến đây chỉ cần thế $a;b$ vào là xong.

Đáp số: $\boxed{x=\frac{23\pm \sqrt{341}}{2}}$

Bài 18:

$PT\Leftrightarrow \sqrt{x-1}(\sqrt{2x-7}+\sqrt{3x-18}-\sqrt{7x-1})=0$

Cái này cơ bản rồi, ra nghiệm $\fbox{x=1;x=9}$

Bài 17 :
Giải PT: $(4x-1)\sqrt{x^{2}+1}= 2x^{2}+2x+1$

Bài 17:

$PT\Leftrightarrow 2(x^2+1)-(4x-1)\sqrt{x^2+1}+2x-1=0$

Đặt $\sqrt{x^2+1}=a$

$PT\rightarrow 2a^2-(4x-1)a+2x-1=0$

Coi đây là phương trình bậc 2, ẩn là $a$, tham số $x$ có $\Delta=(4x-3)^2$

Nên ta có

$\sqrt{x^2+1}=\frac{4x-1\pm (4x-3)}{4}$

Đây là phương trình cơ bản rồi.
___

Chú ý: Lần sau post bài nhớ trích dẫn đề bài, để tiện cho việc theo dõi, thân !
___

Bài 9: Giải phương trình:
$$x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=2\sqrt{2}$$

Lời giải:

ĐKXĐ: $x>1$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho vế trái ta được

$x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\geq2\sqrt{\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}}$

Mặt khác, lại nhận thấy rằng

$\sqrt{\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}}\geq\sqrt{2}(\Leftrightarrow (\sqrt{x^2-1}-1)^2 \geq 0)$

Nên $VT \geq VP $. Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $x=\sqrt{2}$

Hix, lỡ tay xoá mất mấy bài post

Bài 36
Giải phương trình $2\sqrt{x^2-7x+10}-\sqrt{x^2-12x+20}=x$

Bài 37
Giải phương trình $\frac{\sqrt{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}}{x^2-4x+7}=\frac{2\sqrt{x-2}}{x^2-6x+11}$

Hix, lỡ tay xoá mất mấy bài post
Bài 36
Giải phương trình $2\sqrt{x^2-7x+10}-\sqrt{x^2-12x+20}=x$

Lời giải khác:
Điều kiên: $x\leq2 \vee x\geq10$

Đặt $\left\{\begin{matrix} a=\sqrt{x^2-7x+10} & & \\b=\sqrt{x^2-12x+20} & & \end{matrix}\right.\Rightarrow 2a-b=x$

$PT\Leftrightarrow 2\left [ \sqrt{x^2-7x+10}-(x+1) \right ]=\sqrt{x^2-12x+20}-(x+2)$

$\frac{2[(x^2-7x+10)-(x+1)^2]}{\sqrt{x^2-7x+10}+(x+1)}=\frac{(x^2-12x+20)-(x+2)^2}{\sqrt{x^2-12x+20}+(x+2)}$

$\Leftrightarrow -(x-1)(\frac{18}{a+x+1}-\frac{16}{b+x+2})=0\Leftrightarrow x=1 \vee \frac{18}{a+x+1}=\frac{16}{b+x+2}$

Xét phuơng trình $\frac{18}{a+x+1}=\frac{16}{b+x+2}\Leftrightarrow 9(b+x+2)=8(a+x+1)$ (#)

Kết hợp với đầu bài, $2a-b=x\Rightarrow b=2a-x$

(#) viết lại là $5\sqrt{x^2-7x+10}=4x-5\Leftrightarrow x=\frac{15\pm 5\sqrt{5}}{2}$

Thử lại chỉ thấy nghiệm $x=\frac{15+5\sqrt{5}}{2}$ là thỏa mãn.

$\fbox{$S=1;\frac{15+5\sqrt{5}}{2}$}$

Bài 53: Giải phương trình sau $\sqrt[3]{2x-1}=x\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{2x+1}$

Bài 52: Giải phương trình sau $x^2+2x+2=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{x}{4}-\frac{3}{4}}$

Bài 43: Tìm nghiệm dương của phương trình $2x+\frac{x-1}{x}=\sqrt{1-\frac{1}{x}}+3\sqrt{x-\frac{1}{x}}$

Bài 44: Giải phương trình$\sqrt{x-1}+\sqrt{x^3+x^2+x+1}=1+\sqrt{x^4-1}$

Bài 45: Giải phương trình sau $x^2-4x+6=\sqrt{2x^2-5x+3}+\sqrt{-3x^2+9x-5}$

Bài 46: Giải phương trình sau $2(x^2-3x+2)=3\sqrt{x^3+8}$

Bài 47: Giải phương trình sau $\sqrt{\frac{5\sqrt{2}+7}{x+1}}+4x=3\sqrt{2}-1$

Bài 39
Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{x+4}{-2y+1}}+\sqrt{\frac{-2y+1}{x+4}}=4\\ x-y^{2}=7 \end{matrix}\right.$
Bài 40
Giải hệ
$\left\{\begin{matrix} 2x^{2}-y^{2}=-2\\ x^{2}y^{2}-3x^{2}=28 \end{matrix}\right.$

Bài 42
Giải phương trình
$\sqrt{x(x+2)}+\sqrt{x(x-5)}=\sqrt{x(x+3)}$

Bài 39: Giải ra số rất là "đẹp", xem lại hộ mình cái đề nhé !!
Bài 42:
Biến đổi hệ quả .
$PT\Rightarrow \sqrt{x}(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-5}-\sqrt{x+3})\rightarrow x=0\vee \sqrt{x+2}+\sqrt{x-5}=\sqrt{x+3}\rightarrow x=0\vee x=2\sqrt{\frac{19}{3}}(true)$
Bài 40:
Thế $y^2=2x^2+2$ từ phương trình trên xuống phương trình dưới.
Phương trình dưới có dạng
$(2x^2+2)x^2-3x^2=28\Leftrightarrow x^2=4\Leftrightarrow x=\pm 2 \Rightarrow y=\pm \sqrt{10}$

Bài 54: Giải phương trình sau $\sqrt{5x+4}-x-3=(6x+7)^2$