Còn nếu cậu muốn xem nó như các complex thì thực chất cậu đang muốn định nghĩa derived category $D^b_c(X,\mathbb{Z}_l)$. Nó được định nghĩa là "giới hạn" (theo nghĩa nào đó)
$$D^b_c(X,\mathbb{Z}_l) = \underset{\longleftarrow}{\lim} D^b_{ctf}(X,\mathbb{Z}/l^n)$$
của các derived categories theo nghĩa thông thường, ở đây $D^b_{ctf}(X,\mathbb{Z}/l^n)$ là derived cat của các phức có bó đối đồng điều là constructible và ta yêu cầu nó đẳng cấu với một $\mathbb{Z}/l^n$-flat complex.
Cảm ơn Bằng nhiều. Định nghĩa này nhìn có vẻ khá phức tạp ... Bằng giải thích nôm na vì sao ta cần đẳng cấu với $\mathbb{Z}/\ell^n$-flat complex không?
Chỗ này theo tớ không thật sự dùng constructible, constructible là về mặt cohomology.
Edit: tớ hiểu ý cậu rồi, tớ đoán là cậu đang hiểu function-sheaf dictionary cho constructible sheaves rồi extend cho complex, từ sheaves lên complexes of sheaves thì mình dùng tổng đan dấu của các cohomology (giống kiểu Euler-characteristic).
Thật ra ý tớ cậu trả lời trước khi edit rồi, tức là ta có để xây dựng function $\text{Trace}_{\mathcal{F}}: X(k)\to \overline{\mathbb{Q}_{\ell}}$ cho mọi $\mathcal{F}\in D^b(X,\overline{\mathbb{Q}_{\ell}})$, không nhất thiết phải $D^b_c(X,\overline{\mathbb{Q}_{\ell}})$?
Thật ra tớ có đọc được một cách khác để định nghĩa $\text{Trace}_{\mathcal{F}}$ nhưng phải cần điều kiện $\mathcal{F}$ là constructible complex, ví dụ trong trang 3 của https://math.uchicag...u/~ngo/PCMI.pdf: Với một điểm $x: \text{Spec }x\to X$, thì $\overline{x}^*\mathcal{F}$ cũng là $\ell$-adic, cụ thể là constructible, tức constructible $H^i(\overline{x}^*\mathcal{F})$ tương ứng với continuous representation of $\text{Gal}(\overline{k}/k) \to GL_n(\overline{\mathbb{Q}_{\ell}})$. Khi đó ta có thể định nghĩa trace của Frobenius của $H^i(\overline{x}^*\mathcal{F})$.
Chắc là hai định nghĩa này giống nhau?