chứng minh rằng $\frac{a^{2}}{^{\sqrt{(1+a^{3})(1+b^{3})}}}+\frac{b^{2}}{\sqrt{(1+b^{3})(1+c^{3})}}+\frac{c^{2}}{\sqrt{(1+c^{3})(1+b^{3})}}\geq \frac{4}{3}$
với a,b,c là các số dương và abc=8

http://diendantoanhoc.net/index.php?showtopic=68981

Giải hệ phương trình

\[\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + xy + 1 = 4y\\
y{(x + y)^2} - 2{x^2} - 2 = 7y
\end{array} \right.\]

cho $a, b, c$ là các số dương và abc=8. CMR:

$\dfrac{a^2}{(1+a^3)(1+b^3)}+\dfrac{b^2}{(1+b^3)(1+c^3)}+\dfrac{c^2}{(1+c^3)(1+a^3)} \geq \dfrac{4}{3}$

ta có $4\left ( 1+x^{3} \right )\leq \left ( x^{2}+2 \right )^{2}$ $\Leftrightarrow x^{2}\left ( x-2 \right )^{2}\geq 0$ (luôn đúng)
áp dụng bất đẳng thức trên suy ra
vế trái $\geq \frac{4a^{2}}{\left ( 2+a^{2} \right )\left ( 2+b^{2} \right )}+\frac{4b^{2}}{\left ( 2+b^{2} \right )\left ( 2+c^{2} \right )}+\frac{4c^{2}}{\left ( 2+c^{2} \right )\left ( 2+a^{2} \right )}$
đặt $x=\frac{a^{2}}{4}; y=\frac{b^{2}}{4}; z=\frac{c^{2}}{4}$ khi đó $xyz=1$
ta phải chứng minh $\frac{x}{\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )}+\frac{y}{\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )}+\frac{z}{\left ( 1+2z \right )\left ( 1+2x \right )}\geq \frac{1}{3}$
$\Leftrightarrow x\left ( 1+2z \right )+y\left ( 1+2x \right )+z\left ( 1+2y \right )\geq \frac{1}{3}\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )$
áp dụng bdt AM-GM ta chứng minh được $\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )\geq 3^{3}$
suy ra $2\left ( xy+yz+xz \right )+x+y+z\geq 9$ (đúng do xyz=1)
=> đpcm

Nhưng như thế VT và VP đều lớn hơn 3 nên đâu so sánh được đâu bạn?

vừa rồi mình viết nhầm đúng phải là $\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )\geq 3^{3}$
dùng tính chất bắc cầu
$x\left ( 1+2z \right )+y\left ( 1+2x \right )+z\left ( 1+2y \right )\geq \frac{1}{3}\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )\geq \frac{1}{3}\times 3^{3}=9$

Hiz Bạn làm gần ra thì lại gặp một lỗi sai, đó là đi sai đường ở đoạn sau.
Phải là
$$\left ( 1+2z \right )+y\left ( 1+2x \right )+z\left ( 1+2y \right )\geq \frac{1}{3}\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right ) \Leftrightarrow 2(xy + yz + zx) + x + y + z \ge 8xyz + 1$$ $$ \Leftrightarrow 2(xy + yz + zx) + (x + y + z) \ge 9$$
Cái này chỉ cần áp dụng $AM-GM$ thôi.

mình k hiểu lắm, bạn có thể nói rõ mình sai như thế nào ko?

uh. mình chép nhầm đề.

nhưng mình không hiểu chỗ

áp dụng AM-GM ta CM được

$(1+2x)(1+2y)(1+2z) \geq 3^3$

suy ra $2\left ( xy+yz+xz \right )+x+y+z\geq 9$ (đúng do xyz=1)
=> đpcm

cái này cm kiểu gì vậy bạn? giải thích giúp mình với!

uhm, đơn giản thôi
áp dụng AM-GM ta có:
$1+2x= 1+x+x \geq 3\sqrt[3]{x^{2}}$
tương tự với 1+2y, 1+2z thì ta có $\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )\geq 3^{3}\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}=$3^{3}$$ vì xyz=1

còn chứng minh $2\left ( xy+yz+xz \right )+x+y+z\geq 9$ thì ta áp dụng AM-GM cho 9 số xy, yz, xz, xy, yz, xz, x, y, z và có xyz=1 => đpcm

mình không hiểu cách giải này lắm

áp dụng bất đẳng thức trên phải suy ra
vế trái $\geq \dfrac{16a^2}{(a^2+2)^2(b^2+2)^2}+\dfrac{16b^2}{(b^2+2)^2(c^2+2)^2}+\dfrac{16c^2}{(c^2+2)^2(a^2+2)^2}$
chứ

sr bạn nha mình xem sai đề
mà hình như đề của bạn sai rồi, dưới mẫu có căn ko z? nếu có căn thì làm được theo cách của mình

Hi !!!
Bài 1: Sử dụng đổi biến

Bài 2: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$\frac{1}{\left ( a-b \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( b-c \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( c-a \right )^{2}}\geq \frac{4}{ab+bc+ca} $
Ta chú ý rằng: $ \left( {a - c} \right)^2 + \left( {b - c} \right)^2 = \left( {a - b} \right)^2 + 2\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right) $
và $ \left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right) \le ab + bc + ca $
Áp dụng bđt AM-GM, ta đc:

$ \sum {\frac{1}{{\left( {a - b} \right)^2 }}} = \frac{1}{{\left( {a - b} \right)^2 }} + \frac{{\left( {a - b} \right)^2 }}{{\left( {a - c} \right)^2 \left( {b - c} \right)^2 }} + \frac{2}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}} $

$ \ge \frac{2}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{2}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}} \ge \frac{4}{{ab + bc + ca}} $

ZZ

bạn có thể nói rõ cách làm bài 1 k?
còn bài 2 chỗ chứng minh $ \left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right) \le ab + bc + ca $ mình ko hiểu lắm

Bài 1: Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn abc=1. CMR:
$\frac{ab}{c^{2}a^{2}+c^{2}b^{2}}+\frac{bc}{a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}}+\frac{ac}{b^{2}a^{2}+b^{2}c^{2}}\geq \frac{3}{2}$
Bài 2: Cho a,b,c khác nhau đôi một và ab+bc+ca=4. CMR:
$\frac{1}{\left ( a-b \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( b-c \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( c-a \right )^{2}}\geq 1$

Công thức kẹp trong cặp dấu $

Cho $a\geq b>0$
CMR: $\left ( 2^{a}+\frac{1}{2^{a}} \right )^{b}\leq \left ( 2^{b} +\frac{1}{2^{b}}\right )^{a}$
Đề thi khối D - 2007

Giải phương trình:

1/ $\left | cos x+2sin2x-cos3x \right |=1+2sinx-cos2x$

2/ $\sqrt[3]{cos5x +2cosx}-\sqrt[3]{2cos5x+cosx}=2\sqrt[3]{cosx}(cos4x-cos2x)$

Mình nghĩ ở PT đầu là $\frac{y}{x}$.Chứ nếu không thì cùng mẫu việc gì phải để tách ra nhỉ?
DKXD: $x > 0$
PT (1) cho ta: $\frac{y+\sqrt{x}}{x}=\frac{2(y+\sqrt{x})}{y}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y+\sqrt{x}=0 \\ y=2x \end{bmatrix}$$\frac{y+\sqrt{x}}{x}=\frac{2(y+\sqrt{x})}{y}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y+\sqrt{x}=0 \\ y=2x \end{bmatrix}$
Đến đây thay y vào PT 2 ta được x => y

có lẽ mình chép sai đề , nếu cứ như thế mình thấy đề nó là lạ nhưng ko có đề gốc nên ko xem lại được

Câu 1: Có vấn đề (sai đề hoặc nhầm đề)
Từ giả thiết ta có:
$$2x^3+xy-y^2-5x+y+2-(2x-2)(x^2+y^2+x+y-4)=0$$
$$\Rightarrow -xy+y^2+5x+3y-6-2xy^2=0$$
$$\Rightarrow x=\frac{y^2+3y-6}{2y^2+y-5}$$
Thay vào phương trình:
$$x^{2}+y^{2}+x+y-4=0$$
$$\Rightarrow 2\,{\frac { \left( y-1 \right) \left( 2\,{y}^{5}+6\,{y}^{4}-8\,{y}^{3
}-24\,{y}^{2}+13\,y+17 \right) }{ \left( y-5+2\,{y}^{2} \right) ^{2}}}=0$$
$$y \in \{1;1,35872920025512;1,39474032928349;-0,699602211918315\}$$
Thử lại thấy $\{x = 1, y = 1\}, \{x = 0,453917755672023; y = 1,39474032928358\}$ thỏa mãn !
____________________________________
Nếu đề là $\left\{\begin{matrix} 2x^{2}+xy-y^{2}-5x+y+2=0\\x^{2}+y^{2}+x+y-4=0 \end{matrix}\right.$ thì làm như sau:
$2x^{2}+xy-y^{2}-5x+y+2=(x+y-2)(2x-y-1)$ nên dễ dàng làm tiếp !

chắc mình chép nhầm đề đấy, k biết mắt mũi thế nào chép sai mấy câu liền

Giải hpt:

1.$\left\{\begin{matrix} 2x^{3}+xy-y^{2}-5x+y+2=0\\x^{2}+y^{2}+x+y-4=0 \end{matrix}\right.$

2.$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{y}{\sqrt{x}}=\frac{2\sqrt{x}}{y}+2\\ y(\sqrt{x^{2}+1}-1)=\sqrt{3(x^{2}+1)} \end{matrix}\right.$

3.$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x-1}+\sqrt{6-y}=3\\ \sqrt{y-1}+\sqrt{6-x}=3 \end{matrix}\right.$

P/S: Mọi người xem lại bài 3 cho mình nhé, lúc đầu mình post nhầm đề

Làm nào:
Nhận xét:2 PT của hệ có các biến chia đều ở 2 PT.Ta chỉ cần giải từng PT rồi giao chúng lại với nhau.
DKXD:$1\leq x,y\leq 6$
$\sqrt{x-1}+\sqrt{6-x}=3\Leftrightarrow 5+2\sqrt{-x^2+7x-6}=9\Leftrightarrow \sqrt{-x^2+7x-6}=2\Leftrightarrow -x^2+7x-6=4\Leftrightarrow x^2-7x+10\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=2 \\x=5 \end{bmatrix}$
Tưng tự GIải (2),ta được:
$\begin{bmatrix} y=2 \\ y=5 \end{bmatrix}$
Giao lại,ta có hệ có nghiệm: $\begin{bmatrix} x=2,y=2 \\ x=5,y=5 \\ x=2,y=5 \\ x=5,y=2 \end{bmatrix}(Q.E.D)$

oh, sorry mình nhầm đề

Giải pt và hệ pt:

 

1. $2x^{2}-6x+10-5(x+2)\sqrt{x+1}=0$

 

2.$\left\{\begin{matrix} (x-y)^{2}+x+y=x^{2}\\ 4y^{2}x-3y^{2}-y^{4}=x^{2} \end{matrix}\right.$

Giải hệ pt:

1. $\left\{\begin{matrix} x^{2}+2y^{2}=xy+2y\\ 2x^{3}+3xy^{2}=2y^{2}+3x^{2}y \end{matrix}\right.$

2. $\left\{\begin{matrix} 2y(x^{2}-y^{2})=3x\\ x(x^{2}+y^{2})=10y \end{matrix}\right.$

3. $\left\{\begin{matrix} x(x^{4}+y^{4})=y^{6}(1+y^{4})\\ \sqrt{x+5}+\sqrt{y^{2}-3}=4 \end{matrix}\right.$

Bạn xem ở đâychỉ khác chút thôi

Ngoài cách này còn cách nào khác không?

PT đã cho tương đương với:
$(x+2y-2)^2+\frac{(3y+2)^2(3y-4)^2}{27}+\frac{(9y-7)^2}{81}+\frac{2}{81}=0$
PT này vô nghiệm

sao bạn lại nghĩ ra biến đổi như thế để chứng minh vô nghiệm?

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^{3}+y=2\\ y^{3}+x=2 \end{matrix}\right.$

trừ 2 pt ta được
$x^3-y^3+y-x=0 \Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2-1)=0 \Leftrightarrow x=y$ hoặc $x^2+xy+y^2=1$
đến đây bạn tự giải được nhé

bạn giải cho mình pt $x^{2}++xy+y^{2}=1$được không? mình bị mắc ở pt đó, còn đoạn trên mình cũng làm được ra đến đó rồi

Giải hpt
$\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}-xy^{2}=1\\ 4x^{4}+y^{4}=4x+y \end{matrix}\right.$

Giải pt
$\sqrt[3]{14-x^{2}}+x=2(1+\sqrt{x^{2}-2x-1})$

$\sqrt{5x^{2}-14x+9}-\sqrt{x^{2}-x-20}=5\sqrt{x+1}$

$\sqrt{x^{2}+9x-1}+x\sqrt{11-3x}=2x+3$

$2(x-2)(\sqrt[3]{4x-4}+\sqrt{2x-2})=3x-1$

$4\sqrt{x+2}+\sqrt{22-3x}=x^{2}+8$

GPT: $(1+cos x)(1+cos 2x)(1+cos3x)=\frac{1}{2}$

+ Trường hợp 1:
$$\Leftrightarrow \cos x ( 2\cos \dfrac{x}{2} \cos \dfrac{3x}{2}) = \dfrac{1}{2}$$
$$\Leftrightarrow \cos x (\cos 2x + \cos x) =\dfrac{1}{2}$$
$$\Leftrightarrow 2\cos x \cos 2x + 2\cos^2 x - 1 = 0$$
$$\Leftrightarrow 2\cos x \cos 2x + \cos 2x = 0$$
$$\Leftrightarrow \cos 2x (2\cos x + 1) = 0$$

Bạn tự làm nốt và cả trường hợp 2 nhé

TH2 vô nghiệm thì chứng minh như thế nào? bạn làm tiếp đc k? mình chỉ bị mắc ở th2 thôi