1 số bài khó 
177) Cho $a_1,a_2,..,a_n>0$ với $n \ge 2$. C/m 
$(a_1^3+1)(a_2^2+1)...(a_n^3+1) \ge (a_1^2a_2+1)....(a_n^2a_1+1)$ ( Cuộc thi Czech-Slovanikia-Balan 2002) 
178) Cho $x,y,z>1$ sao cho $\sum \frac{1}{x}=2$. C/m 
$\sqrt{x+z+y} \ge \sum \sqrt{x-1}$ ( Iran 1998) 
179) C/m với $a,b,c>0$ thì : 
$\sum \frac{(b+c-a)^2}{a^2+(b+c)^2} \ge \frac{3}{5}$ ( Nhật Bản 1997)

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1. CMR

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương : 
$\sum \frac{bc}{a+bc} \ge \frac{3}{4}$ (1)
Nhận xét $a+bc=a(a+b+c)+bc=(a+b)(a+c)$ 
(1) được viết lại thành và điều ta cần chứng minh là 
$\sum \frac{bc}{(a+b)(a+c)} \ge \frac{3}{4}$ 
Hay $4.(bc(b+c)+ac(a+c)+ab(a+b)) \ge 3(a+b)(b+c)(a+c)$ 
Hay $ab^2+a^2b+b^2c+c^2b+a^2c+c^2a \ge 6abc$ 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : 
$ab^2+a^2b+b^2c+c^2b+a^2c+c^2a \ge 6.\sqrt[6]{a^6b^6c^6}=6abc$ 
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

$Q(x)-(3x-1)$ chia hết cho $B(x)$ thì mọi nghiệm của $B(x)$ là mọi nghiệm của $Q(x)-(3x-1)$, nhưng tại sao lại thế vậy anh ?

Ý bạn là sao ? 

Câu 6a mình có ý tưởng về việc sử dụng định lý sau : 
Định lí Lerch : Với $p$ là số nguyên tố thì : $\sum_{i=1}^{p-1} i^{p-1} \equiv p+(p-1)! \pmod{p^2}$ 

mình làm hết ngày 2 nè he he

Incredable

 

Bài 5 . (6,0 điểm).

 

Tìm tất cả các hàm số : $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn hệ thức:

 

$$f\left ( xf\left ( y \right )-f\left ( x \right ) \right )=2f\left ( x \right )+xy$$ (1)

 

với mọi số thực $x,y$

Lời giải  : 
Theo chứng minh của các bạn trên thì ta có $f$ là một song ánh 
Ta tiếp tục làm như sau : 
Kí hiệu $P(u,v)$ chỉ việc thay $x$ bởi $u,y$ bởi $v$ vào $(1)$ 
Ta có $P(0,0) \Rightarrow f(-f(0))=2f(0)$    (2) 
$P(-f(0),2) \Rightarrow f(-f(0)f(2)-2f(0))=2f(0)$ (3) 
Từ $(2),(3) \Rightarrow f(0)=-f(0)f(2) \Rightarrow f(0)=0$ hoặc $f(2)=-1$ 
Trường hợp 1 : $f(0)=0$  . $P(x,0) \Rightarrow f(-f(x))=2f(x) (4)$ 
$P(1,y) \Rightarrow f(f(y)-f(1))=2f(1) (5)$
Từ $(4)$ cho $x=1$ và kết hợp với $(5)$ cho ta $f(y)-f(1)=-f(1) \Rightarrow f(x) \equiv 0$  
Cho $P(1,2)$ thì thấy không thỏa mãn nên loại trường hợp này  
Trường hợp 2 : $f(2)=-1$  
$P(2,2) \Rightarrow f(-1)=2$ 
Tính được $f(0)=1$  
$P(1,y) \Rightarrow f(f(x))=x$ 
$P(x,2) \Rightarrow f(-x-f(x))=2f(x)+2x (6)$
$P(f(x+f(x)),2)$ kết hợp với $f(f(x))=x  \Rightarrow f(-x-f(x))=2(x+f(x))+2f(x+f(x)) (7)$
Từ $(6),(7)$ cho ta $f(x+f(x))=0=f(1) \Rightarrow x+f(x)=1 \Rightarrow f(x)=1-x$ (thỏa)  
 

Bài 6 (Hong Kong TST). Cho ba số thực dương $a,\,b,\,c$ thỏa mãn $abc=1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của

$$\frac{a^3+8}{a^3(b+c)}+\frac{b^3+8}{b^3(a+c)}+\frac{c^3+8}{c^3(b+a)}.$$

 

 

Không biết giải bài ở đây có vi phạm không anh nhỉ  
$VT=\sum \frac{a^3+1+1+6}{a^3(b+c)} \ge \sum \frac{3a+6}{a^3(b+c)}=\sum \frac{3(a+2)}{a^3(b+c)}$ 
Ta sẽ chứng minh $\sum \frac{3(a+2)}{a^3(b+c)} \ge \frac{27}{2}$ (*)
Chợt nhận thấy bài toán quen thuộc của IMO 1995  
Nếu $abc=1$ thì $\sum \frac{1}{a^3(b+c)} \ge \frac{3}{2}$ 
Áp dụng suy ra $\frac{6}{a^3(b+c)} \ge 9$ 
Lại có $\sum \frac{3}{a^2(b+c)}=\sum \frac{3(bc)^2}{b+c} \ge \frac{3(\sum ab)^2}{2\sum a}$ (1) 
Lại có $(\sum ab)^2 \ge 3.abc(a+b+c)$ nên từ (1) suy ra $\frac{3(\sum ab)^2}{2\sum a} \ge \frac{9}{2}$ 
Cộng lại suy ra (*) được chứng minh 
Vậy giá trị nhỏ nhất là $\frac{27}{2}$ khi và chỉ khi $a=b=c=1$

Cầu đề Nghệ An câu dịch đề dùm tớ với ,ko thấy dấu căn (câu hệ)

Nhiệt tình đăng số + đại nhé ( đừng đăng bất nhiều quá) 
168) Cho $a,b,c,d$ là các số nguyên dương thỏa $ab=cd$. C/m $a^n+b^n+c^n+d^n$ là hợp số 
169) Tìm tất cả số nguyên tố có dạng: $2^{1994^{n}}+17,n$ là số tự nhiên 
170 ) Tìm $p,q$ là số nguyên tố : $p^2-2q^2=1$  
171) Ta đánh số các số nguyên tố theo thứ tự tăng dần sau : 
$p_1=2,p_2=3,p_3=5,p_4=7$ 
Tồn tại $n$ hay ko  sao cho $p_{n+1}-p^n>10^{2005}$ 
172) Tìm các chữ số $a,b,c,d$ sao cho với mỗi số tự nhiên $n$ ta có : 
$\overline{aa...abbb..bbccc...c}+1=(\overline{ddd...dd}+1)^3$ ($n$ số a,b,c,d)

bài này nữa  

cho x,y,z>o

1) biết x+y+z=3. c/m : x² + y² + z² + xyz $\geq$ 4

2) biết x+y+z=1. c/m : x³ + y³ + z³ + 6xyz $\geq$ 1/4

3) biết x+y+z=5 và xy + yz + xz = 8. tìm min, max của x,y,z.

Câu 1) đặt $x=1+a,y=1+b$ suy ra $z=1-a-b$ 
Thế vào ta có $VT=(1-a).b^2+(a-a^2).b+a^2+4$ 
Nếu $x>2$ thì ko còn gì để nói 
$a \le 1$ suy ra đpcm 

Bài 172: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x\sqrt{5-x^2}+y\sqrt{5-4y^2}=1\\ \sqrt{5-x^2}+\sqrt{5-4y^2}=x-2y \end{matrix}\right.$

Bài 173: Tìm $11$ số không âm sao cho mỗi số bằng bình phương của tổng $10$ số còn lại

Bài 174: Cho $p$ là số nguyên tố $>3$ và $p^n$ có $20$ chữ số ($n$ là số tự nhiên). Chứng minh rằng trong các chữ số của $p^n$ có ít nhất $3$ số trùng nhau

Bài 175: Cho 2 đa thức $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ và $g(x)=dx^3+cx^2+bx+a$ với $a,b,c,d\in Z$ ;$d$ không chia hết cho 5. Giả sử $f(m)$ chia hết cho 5 với $m$ nguyên.  Chứng minh rằng có thể tìm được số nguyên $n$ sao cho $g(n)\vdots 5$

Bài 176: Cho số thực $x;y;z$ thỏa mãn $xyz=1$. Tìm GTNN của $D=\frac{x}{x+2y}+\frac{y}{y+2z}+\frac{z}{z+2x}$

Bài 177: Có $1999$ tách uống trà đặt trên bàn. Lúc đầu tất cả đều được đặt ngửa. Mỗi một nước đi, ta làm cho đúng $100$ tách trong số chúng lật ngược lại. Sau một số nước đi, có thể làm cho tất cả chúng đều úp xuống được không? Tại sao? 

Đăng giải luôn đi bạn 

sôi nổi lên mọi người ơi!!!!!!!!!!!

Bài 137:    TÌM MAX $\sum \frac{1}{x+1}$ biết xyz=1 và x;y;z dương.

Dự đoán max xảy ra khi $x=y=z=1$ hay $LHS=\frac{3}{2}$ 
Ta có $\sum \frac{x-1}{x+1} \ge \frac{(x+y+z-3)^2}{\sum x^2-3}$ 
Ta có $\sum x^2 \ge 3.\sqrt[3]{(xyz)^2}=3$ 
Nên $\sum \frac{x-1}{x+1} \ge \frac{(x+y+z-3)^2}{\sum x^2-3} \ge 0$ 
Hay $\frac{3}{2} \ge \sum \frac{1}{x+1}$

Tặng Happylife 
Trên mặt phẳng cho $n$ đường thẳng đôi một ko song song và ko có $3$ đường thẳng nào đồng quy 
a) Tìm số miền mà $n$ đường thẳng này định ra trên mặt phẳng. 
b) Chứng minh rằng có thể tô mỗi miền trên bằng một màu xanh hoặc đỏ sao cho $2$ miền kế nhau thì khác màu.

$x+y=5-z$ 
$xy=8-z(x+y)=8-z(5-z)=z^2-z.5+8$ 
$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=(x-y)^2+4xy=(5-z)^2 \ge 4(z^2-z.5+8)$ 
$\rightarrow \frac{7}{3} \ge z \ge 1$

Đóng góp chút "lòng thành" 

Hics có cái bài này mà em giải cách dị dễ sợ  
Bài 248 (TS chuyên toán QH) : Giải hệ : 
$\begin{cases} &\sqrt{x}+\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{y}}=3&\\&(x+1)\sqrt{y}=2\sqrt{x}& \end{cases}$

Bài 272: (Bài của hát)

 

Giải phương trình nghiệm nguyên:

$x^2+xy+y^2=(\frac{x+y}{3}+1)^{3}$

 

Bài 273: Tìm giá trị "cụ thể" của $t$ để:

$\frac{1}{t+1}+\frac{1}{t+2}+\frac{1}{t+3}=\frac{1}{t}$

 to @PlanbyFESN 
Bạn đưa link bài pt nghiệm nguyên được ko ? 

Bài 201:

 

 

 

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (x-y)(x^{2}+y^{2}+z^{2})=-28 & & \\ (y-z)(x^{2}+y^{2}+z^{2})=14 & & \\ (z-x)(x^{2}+y^{2}+z^{2})=14 & & \end{matrix}\right.$

 

...................................

Rồi sao nữa ?

Bài 132 : Từ giả thiết ta có thể thấy được $x,y,z>0$ 
Sau đó dễ dàng đưa về hệ : 
$\begin{cases}  & f(x)=g(y) & \\ &f(y)=g(z)& \\ &f(z)=g(x)& \end{cases}$
Sử dụng tính chất suy ra $x=y=z$ thế vào tự giải 
Trong đó $f(k)=\frac{2015}{k^2}+4$ $g(k)=\frac{2016}{k}$ 

Tài liệu quý và hay cuối cùng cũng post đc  

Bài 30: Giải PT: $\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+\sqrt{7x+2}}=4$

Bài 31: Giải PT: $3x^{2}-6x^{2}-3x-17=3\sqrt[3]{9(-3x^{2}+21x+5)}$

Bài 32: Giải PT: $3x(2+\sqrt{9x^{2}+3})+(4x+2)(\sqrt{x^{2}+x+1}+1)=0$ 

Bài 30 : Sử dụng đánh giá 
Xét $x>1$ thì $VT>\sqrt{4}+\sqrt{1+3}=4$ 
Tương tự với $x<1$ 
Xét $x=1$ thì thỏa vậy $S={1}$

một câu tương tự http://diendantoanho...-năm-2015-2016/

Mọi người đâu hết rồi tết đến nơi rồi . Quẩy TOPIC đi nào  

Bài tiếp : 
Giải phương trình $13[(x^2-3x+6)^2+(x^2-2x+7)^2]=(5x^2-12x+33)^2$

Rảnh rảnh rang rang ngồi đăng bài :l  
Bài 169 : (số xida :v) Giải hệ phương trình : 
$\begin{cases} &abc=1&\\&\sum \sqrt{a^2+1}=\sqrt{2}.(a+b+c)& \end{cases}$

Ta có thể tổng quát bài toán : .Có thể coi đây là bài 171  
Giải hệ phương trình : 
$\begin{cases} &a_1a_2...a_n=1&\\&\sum_{i=1}^n \sqrt{a_i^2+1}=\sqrt{2}.(\sum_{i=1}^n a_i)& \end{cases}$ 

Kiến thức : Phương trình có hệ số phản hồi : 
Đặt $a_{2n}.x^{2n}+a_{2n-1}.x^{2n-1}+...+a_1x+a_0=0$ (1)
(1) được gọi là phương trình có hệ số phản hồi nếu : 
$\frac{a_0}{a_{2n}}=(\frac{a_{n-1}}{a_{n+1}})^{n},\frac{a_1}{a_{2n-1}}=(\frac{a_{n-1}}{a_{n+1}})^{n-1}$ 
..... 
$\frac{a_{n-2}}{a_{n+2}}=(\frac{a_{n-1}}{a_{n+1}})^{2}$ 
Cách giải quyết phương trình : 
Chia $2$ vế cho $x^n$ và đặt $y=x+\frac{\beta}{x}$ 
Trong đó $\beta=\frac{a_{n-1}}{a_{n+1}}$
Khi $\beta=1$ được gọi là phương trình hệ số đối xứng còn $\beta=-1$ gọi là phương trình hệ nửa đối xứng